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6. 已知关于x的多项式$-2x^2 + mx + nx^2 -5x -1$的值与x的取值无关，则m=
5
，n=2
。答案
m=5，n=2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明式子中所有含有x的项的系数都为0。解题思路分为两步：第一步先对多项式合并同类项，把含x²的项、含x的项分别合并整理；第二步根据含x的项系数为0的条件，分别列等式求出m、n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=-2x^2 + nx^2 + mx - 5x - 1$
按照合并同类项规则，同类项系数相加，字母和指数不变，整理得：
$=(n - 2)x^2 + (m - 5)x - 1$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项系数均为0：
1. 二次项系数：$n - 2 = 0$，解得$n=2$
2. 一次项系数：$m - 5 = 0$，解得$m=5$
【答案】
$m=5$，$n=2$
【知识点】
合并同类项；多项式系数的应用
【点评】
本题是合并同类项的经典基础题型，核心是掌握“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项系数均为0，解题时要注意合并同类项的符号运算，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理解“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明式子中所有含有x的项的系数都为0。解题思路分为两步：第一步先对多项式合并同类项，把含x²的项、含x的项分别合并整理；第二步根据含x的项系数为0的条件，分别列等式求出m、n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=-2x^2 + nx^2 + mx - 5x - 1$
按照合并同类项规则，同类项系数相加，字母和指数不变，整理得：
$=(n - 2)x^2 + (m - 5)x - 1$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项系数均为0：
1. 二次项系数：$n - 2 = 0$，解得$n=2$
2. 一次项系数：$m - 5 = 0$，解得$m=5$
【答案】
$m=5$，$n=2$
【知识点】
合并同类项；多项式系数的应用
【点评】
本题是合并同类项的经典基础题型，核心是掌握“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同次项系数均为0，解题时要注意合并同类项的符号运算，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a,b$为常数，且三个单项式$2x^2y$，$ax^b y$，$-3xy$的和仍然是单项式，求$a+b$值。
答案
当$2x^2 y + ax^b y = 0$时,$a=-2,b=2,a+b=0$；
当$ax^b y - 3xy = 0$时,$a=3,b=1,a+b=4$。
综上所述,$a+b$的值为0或4。
当$ax^b y - 3xy = 0$时,$a=3,b=1,a+b=4$。
综上所述,$a+b$的值为0或4。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），二是几个单项式的和仍为单项式，意味着合并同类项后最终仅剩余1项。
首先观察已知的两个确定单项式：$2x^2y$和$-3xy$，二者x的指数分别为2和1，显然不是同类项，无法直接合并。因此要让三个项的和为单项式，只能是未知单项式$ax^b y$与其中一个确定单项式是同类项，且二者合并后互相抵消（系数和为0），这样最终就只剩另一个确定的单项式，满足和为单项式的要求。
接下来分两种情况讨论：①$ax^b y$与$2x^2y$是同类项且合并抵消；②$ax^b y$与$-3xy$是同类项且合并抵消，分别求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
解：
∵三个单项式的和仍然是单项式，
∴合并同类项后最终仅剩余1项，
又
∵$2x^2y$与$-3xy$的x指数不同，不是同类项，无法合并，因此分两种情况讨论：
情况1：$ax^b y$与$2x^2y$是同类项，且二者合并后抵消
根据同类项定义，相同字母指数相等，得$b=2$
二者抵消则系数和为0，即$2+a=0$，解得$a=-2$
此时$a+b=-2+2=0$
情况2：$ax^b y$与$-3xy$是同类项，且二者合并后抵消
根据同类项定义，相同字母指数相等，得$b=1$
二者抵消则系数和为0，即$a-3=0$，解得$a=3$
此时$a+b=3+1=4$
综上所述，$a+b$的值为0或4。
【答案】
0或4
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 合并同类项
3. 单项式的概念
【点评】
本题是合并同类项的典型题型，需要结合题目限定条件分类讨论，易错点是容易遗漏其中一种情况，解题时要先排除不可能的组合，再逐个分析可行情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），二是几个单项式的和仍为单项式，意味着合并同类项后最终仅剩余1项。
首先观察已知的两个确定单项式：$2x^2y$和$-3xy$，二者x的指数分别为2和1，显然不是同类项，无法直接合并。因此要让三个项的和为单项式，只能是未知单项式$ax^b y$与其中一个确定单项式是同类项，且二者合并后互相抵消（系数和为0），这样最终就只剩另一个确定的单项式，满足和为单项式的要求。
接下来分两种情况讨论：①$ax^b y$与$2x^2y$是同类项且合并抵消；②$ax^b y$与$-3xy$是同类项且合并抵消，分别求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
解：
∵三个单项式的和仍然是单项式，
∴合并同类项后最终仅剩余1项，
又
∵$2x^2y$与$-3xy$的x指数不同，不是同类项，无法合并，因此分两种情况讨论：
情况1：$ax^b y$与$2x^2y$是同类项，且二者合并后抵消
根据同类项定义，相同字母指数相等，得$b=2$
二者抵消则系数和为0，即$2+a=0$，解得$a=-2$
此时$a+b=-2+2=0$
情况2：$ax^b y$与$-3xy$是同类项，且二者合并后抵消
根据同类项定义，相同字母指数相等，得$b=1$
二者抵消则系数和为0，即$a-3=0$，解得$a=3$
此时$a+b=3+1=4$
综上所述，$a+b$的值为0或4。
【答案】
0或4
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 合并同类项
3. 单项式的概念
【点评】
本题是合并同类项的典型题型，需要结合题目限定条件分类讨论，易错点是容易遗漏其中一种情况，解题时要先排除不可能的组合，再逐个分析可行情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 某商场一种商品的成本是销售收入的50%，税款和其他费用（不列入成本）合计为销售收入的10%。若该种商品的销售收入为x万元，则该商场获利润多少万元？（用含x的代数式表示）
答案
0.4x 万元
解析
【分析】
解题时首先明确利润的计算逻辑：利润是销售收入扣除所有成本、费用后的剩余金额。本题已知销售收入为x万元，我们可以先根据题干给出的比例分别算出成本、税款及其他费用的代数式，再用销售收入依次减去这两部分支出，最后通过合并同类项化简即可得到利润的表达式。也可以先算出利润占销售收入的总比例，再乘以销售收入x简化计算。
【解析】
解：根据题意可得：
成本为销售收入的50%，即成本 = 50%x 万元；
税款和其他费用为销售收入的10%，即税款和其他费用 = 10%x 万元。
根据利润计算公式：利润 = 销售收入 - 成本 - 税款和其他费用，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=x - 50\%x - 10\%x\\&=(1 - 0.5 - 0.1)x\\&=0.4x \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
【答案】
0.4x万元
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理清实际问题中的数量关系，明确各个量之间的计算逻辑，再正确进行代数式的化简即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确利润的计算逻辑：利润是销售收入扣除所有成本、费用后的剩余金额。本题已知销售收入为x万元，我们可以先根据题干给出的比例分别算出成本、税款及其他费用的代数式，再用销售收入依次减去这两部分支出，最后通过合并同类项化简即可得到利润的表达式。也可以先算出利润占销售收入的总比例，再乘以销售收入x简化计算。
【解析】
解：根据题意可得：
成本为销售收入的50%，即成本 = 50%x 万元；
税款和其他费用为销售收入的10%，即税款和其他费用 = 10%x 万元。
根据利润计算公式：利润 = 销售收入 - 成本 - 税款和其他费用，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=x - 50\%x - 10\%x\\&=(1 - 0.5 - 0.1)x\\&=0.4x \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
【答案】
0.4x万元
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理清实际问题中的数量关系，明确各个量之间的计算逻辑，再正确进行代数式的化简即可。
【难度系数】
0.8
9. 如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸(墙壁厚度忽略不计,单位:m)。
（1）求该住宅的面积(用含x,y的代数式表示)。
（2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,其中铺厨房地面用了8 m²的地砖。如果地砖的价格是每平方米60元,那么购买地砖至少需要多少元？
（1）求该住宅的面积(用含x,y的代数式表示)。
（2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,其中铺厨房地面用了8 m²的地砖。如果地砖的价格是每平方米60元,那么购买地砖至少需要多少元？
答案
（1）$15xy$
（2）厨房的面积为$2xy$,由$2xy=8$,得$xy=4$。铺地砖的面积为$15xy-8xy=7xy$,则$7xy=28(\mathrm{m}^2),60×28=1680$(元)。
（2）厨房的面积为$2xy$,由$2xy=8$,得$xy=4$。铺地砖的面积为$15xy-8xy=7xy$,则$7xy=28(\mathrm{m}^2),60×28=1680$(元)。
解析
【分析】
（1）求住宅面积可以用两种思路：一是分割法，分别计算卧室、客厅、厨房、卫生间四个区域的面积，再相加得到总面积；二是补形法，先计算外围大矩形的面积，再减去左上角空缺部分的面积，两种方法都能得到含x、y的面积表达式。
（2）第二问先根据厨房的尺寸写出厨房面积的代数式，结合已知厨房地砖面积8m²求出xy的值；再算出卧室以外需要铺地砖的总面积，代入xy的值得到实际铺地砖的面积，最后乘以地砖单价即可求出总费用。
【解析】
（1）方法1（分割求和）：
卧室面积：$4y · 2x = 8xy$
客厅面积：$2y · (4x - 2x) = 4xy$
厨房面积：$(4y - 2y) · x = 2xy$
卫生间面积：$y · (4x - 2x - x) = xy$
总面积 = $8xy + 4xy + 2xy + xy = 15xy$
方法2（补形求差）：
外围大矩形面积：$4x · 4y = 16xy$
左上角空缺部分面积：$x · y = xy$
总面积 = $16xy - xy = 15xy$
因此住宅面积为$15xy \ \mathrm{m}^2$。
（2）由图可知厨房面积为$2xy$，已知铺厨房地面用了$8\ \mathrm{m}^2$地砖，可得：
$2xy = 8$，解得$xy = 4$
需要铺地砖的面积 = 住宅总面积 - 卧室面积 = $15xy - 8xy = 7xy$
将$xy=4$代入，得铺地砖面积 = $7 × 4 = 28\ \mathrm{m}^2$
总费用 = 地砖单价 × 铺地砖面积 = $60 × 28 = 1680$（元）
【答案】
（1）$15xy$平方米
（2）$1680$元
【知识点】
列代数式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题结合住宅面积计算的生活场景，考查了代数式在几何面积计算中的实际应用，解题的核心是准确识别各部分矩形的边长，正确列出面积代数式并代入计算，难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
（1）求住宅面积可以用两种思路：一是分割法，分别计算卧室、客厅、厨房、卫生间四个区域的面积，再相加得到总面积；二是补形法，先计算外围大矩形的面积，再减去左上角空缺部分的面积，两种方法都能得到含x、y的面积表达式。
（2）第二问先根据厨房的尺寸写出厨房面积的代数式，结合已知厨房地砖面积8m²求出xy的值；再算出卧室以外需要铺地砖的总面积，代入xy的值得到实际铺地砖的面积，最后乘以地砖单价即可求出总费用。
【解析】
（1）方法1（分割求和）：
卧室面积：$4y · 2x = 8xy$
客厅面积：$2y · (4x - 2x) = 4xy$
厨房面积：$(4y - 2y) · x = 2xy$
卫生间面积：$y · (4x - 2x - x) = xy$
总面积 = $8xy + 4xy + 2xy + xy = 15xy$
方法2（补形求差）：
外围大矩形面积：$4x · 4y = 16xy$
左上角空缺部分面积：$x · y = xy$
总面积 = $16xy - xy = 15xy$
因此住宅面积为$15xy \ \mathrm{m}^2$。
（2）由图可知厨房面积为$2xy$，已知铺厨房地面用了$8\ \mathrm{m}^2$地砖，可得：
$2xy = 8$，解得$xy = 4$
需要铺地砖的面积 = 住宅总面积 - 卧室面积 = $15xy - 8xy = 7xy$
将$xy=4$代入，得铺地砖面积 = $7 × 4 = 28\ \mathrm{m}^2$
总费用 = 地砖单价 × 铺地砖面积 = $60 × 28 = 1680$（元）
【答案】
（1）$15xy$平方米
（2）$1680$元
【知识点】
列代数式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题结合住宅面积计算的生活场景，考查了代数式在几何面积计算中的实际应用，解题的核心是准确识别各部分矩形的边长，正确列出面积代数式并代入计算，难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
