10.阅读与思考
认真阅读下面的材料,并解答提出的问题:
阿基米德折弦定理:从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦,如图①。古希腊数学家阿基米德发现,若$PA,PB$是$\odot O$的折弦。$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$CE ⊥ PA$于点$E$,则$AE = PE + PB$。这就是著名的“阿基米德折弦定理”。
证明:如图②,在$AE$上截取$AF = PB$,连接$CA,CF,CP,CB$。
则$∠ FAC = ∠ PBC$(依据1)。
因为$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
所以$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$,所以$AC = BC$。
在$△ FAC$和$△ PBC$中,
$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ FAC = ∠ PBC, \\ AF = BP, \end{cases}$
所以$△ FAC ≌ △ PBC$(SAS),所以$CF = CP$。
因为$CE ⊥ PA$于点$E$,所以$FE = PE$(依据2)。
所以$AE = FE + AF = PE + PB$。

(1)填空:材料中的依据1是指;
依据2是指。
(2)某园林景观团队设计圆形休闲廊架,廊架截面为$\odot O$(如图③),$BC$是圆形廊架的直径,$D$是弧$AC$上一处景观装饰点,测量得知$∠ DAC = 45°$,景观支架$AB = 12,\odot O$的半径为10。请结合阿基米德折弦定理相关知识,求出线段$AD$的长。

(1)同弧所对的圆周角相等 等腰三角形三线合一
(2)如图,连接OD,过点D作$DG⊥ AC$于点G,在AC上截取CF,使$CF=AB$,连接DC,DF,DB，
因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠BAC=∠BDC=90°$。
因为$AB=12$,圆的半径为10，
所以$BC=20$。
所以$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$。
因为$∠DAC=45°$，
所以$∠DOC=90°$。
所以D是$\overset{\frown}{BC}$的中点。
所以$BD=DC$。
因为$∠DCA=∠DBA=45°$,$AB=CF$，
所以$△ ABD≌△ FCD$(SAS)。
所以$DF=DA$。
因为$∠DAC=45°$，
所以$△ ADF$是等腰直角三角形。
因为$DG⊥ AC$，
所以$AG=FG$。
所以$CG=CF+FG=AG+AB=\frac{1}{2}(AC-AB)+AB$。
所以$CG=\frac{1}{2}(AC+AB)=\frac{1}{2}(16+12)=14$。
所以$AG=AC-CG=16-14=2$。
因为$∠DAC=45°$,$∠DGA=90°$，
所以$AD=\sqrt{2}AG=2\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 依据1中，∠FAC和∠PBC都是圆中同弧$\overset{\frown}{PC}$所对的圆周角，对应圆周角定理的结论；依据2中，已知$CF=CP$，$△ CFP$是等腰三角形，$CE⊥ PA$是底边上的高，根据等腰三角形的性质可直接得到$FE=PE$。
(2) 求AD长度时，首先利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理算出AC的长；再根据$∠ DAC=45°$推出D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，满足阿基米德折弦定理的应用条件，参考折弦定理的证明思路构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求出AD。
【解析】
(1) 对于依据1：$∠ FAC$和$∠ PBC$都对应$\overset{\frown}{PC}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ FAC=∠ PBC$；
对于依据2：由$CF=CP$可知$△ CFP$是等腰三角形，$CE⊥ PA$是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一，可得CE也是底边FP的中线，因此$FE=PE$。
(2) 如图，连接OD，过点D作$DG⊥ AC$于点G，在AC上截取CF，使$CF=AB$，连接DC,DF,DB，
因为BC是$\odot O$的直径，所以直径所对的圆周角为直角，即$∠BAC=∠BDC=90°$。
已知$\odot O$的半径为10，所以直径$BC=2×10=20$，
在$Rt△ BAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$。
因为$∠ DAC=45°$，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ DOC=2∠ DAC=90°$，
所以D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，因此$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，故$BD=DC$。
又因为同弧所对的圆周角相等，所以$∠DCA=∠DBA$，结合已知$AB=CF$，
在$△ ABD$和$△ FCD$中：
$\begin{cases} AB=CF \\ ∠DBA=∠DCA \\ BD=DC \end{cases}$
所以$△ ABD≌△ FCD$(SAS)，因此$DF=DA$。
因为$∠DAC=45°$，$DF=DA$，所以$△ ADF$是等腰直角三角形，
又因为$DG⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一，得$AG=FG$。
所以$AC=AG+CG=AG+CF+FG=2AG+AB$，
整理得$AG=\frac{AC-AB}{2}=\frac{16-12}{2}=2$。
在$Rt△ ADG$中，$∠ DAG=45°$，所以$AD=\sqrt{2}AG=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一
(2) 线段$AD$的长为$2\sqrt{2}$，辅助线如图
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合阿基米德折弦定理设置问题，既考查了圆的基本性质、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等基础知识点的掌握情况，也考查了知识迁移应用的能力，解题的关键是理解折弦定理的证明思路，合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6