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8.起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10 cm，当物体向上提升$3π$ cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（
A.$108°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$27°$
C
）。A.$108°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$27°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先要明确：滑轮和绳索之间无相对滑动，因此物体向上提升的距离等于滑轮上半径OA旋转过程中扫过的对应弧长。已知弧长和滑轮半径，我们可以直接代入弧长公式，反向求解得到圆心角也就是OA旋转的角度。
【解析】
解：由题意可知，半径OA旋转扫过的弧长等于物体上升的距离，即弧长$ l=3π\ \mathrm{cm} $，滑轮半径$ r=10\ \mathrm{cm} $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（$ n $为圆心角度数），将已知量代入得：
$ 3π=\frac{nπ × 10}{180} $
两边同时消去$ π $，整理得：
$ 3=\frac{10n}{180} $
解得$ n=54 $，即OA绕轴心旋转的角度为$ 54° $。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式计算，旋转的性质
【点评】
本题属于结合生活实际的基础应用题，解题核心是找到物体上升距离和滑轮对应弧长的等量关系，再代入弧长公式计算即可，解题时注意公式的正确变形，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：滑轮和绳索之间无相对滑动，因此物体向上提升的距离等于滑轮上半径OA旋转过程中扫过的对应弧长。已知弧长和滑轮半径，我们可以直接代入弧长公式，反向求解得到圆心角也就是OA旋转的角度。
【解析】
解：由题意可知，半径OA旋转扫过的弧长等于物体上升的距离，即弧长$ l=3π\ \mathrm{cm} $，滑轮半径$ r=10\ \mathrm{cm} $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（$ n $为圆心角度数），将已知量代入得：
$ 3π=\frac{nπ × 10}{180} $
两边同时消去$ π $，整理得：
$ 3=\frac{10n}{180} $
解得$ n=54 $，即OA绕轴心旋转的角度为$ 54° $。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式计算，旋转的性质
【点评】
本题属于结合生活实际的基础应用题，解题核心是找到物体上升距离和滑轮对应弧长的等量关系，再代入弧长公式计算即可，解题时注意公式的正确变形，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
9.如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动),求小羊A在草地上的最大活动区域面积。
第9题图
第9题图答案
9.解:如图,小羊的活动范围是
$S=\frac{90π×5^2}{360}+\frac{60π×1^2}{360}=\frac{77}{12}π\ (\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
要计算小羊的最大活动区域面积，首先明确活动区域由两部分扇形组成：1. 绳子未被竖直墙顶端遮挡时，活动区域是以墙角顶点为圆心、绳长5m为半径的扇形，该扇形的圆心角为水平地面与竖直墙面的夹角90°；2. 当绳子绕到竖直墙顶端时，剩余绳长为$5-4=1\mathrm{m}$，此时活动区域是以竖直墙顶端为圆心、剩余绳长1m为半径的扇形，该扇形的圆心角为两堵墙的夹角120°减去竖直墙与地面的90°，即60°。分别计算两个扇形的面积相加即可得到总面积。
【解析】
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
1. 计算大扇形面积：圆心角$n_1=90°$，半径$r_1=5\mathrm{m}$
$S_1=\frac{90π×5^2}{360}$
2. 计算小扇形面积：剩余绳长$r_2=5-4=1\mathrm{m}$，圆心角$n_2=120°-90°=60°$
$S_2=\frac{60π×1^2}{360}$
3. 总面积：$S=S_1+S_2=\frac{90π×25}{360}+\frac{60π×1}{360}=\frac{75π}{12}+\frac{2π}{12}=\frac{77}{12}π\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
小羊A在草地上的最大活动区域面积是$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算、圆心角计算、几何实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查扇形面积的应用，解题关键是准确拆分活动区域，正确确定两个扇形的半径和对应圆心角，避免遗漏小扇形部分或错算圆心角。
【难度系数】
0.6
要计算小羊的最大活动区域面积，首先明确活动区域由两部分扇形组成：1. 绳子未被竖直墙顶端遮挡时，活动区域是以墙角顶点为圆心、绳长5m为半径的扇形，该扇形的圆心角为水平地面与竖直墙面的夹角90°；2. 当绳子绕到竖直墙顶端时，剩余绳长为$5-4=1\mathrm{m}$，此时活动区域是以竖直墙顶端为圆心、剩余绳长1m为半径的扇形，该扇形的圆心角为两堵墙的夹角120°减去竖直墙与地面的90°，即60°。分别计算两个扇形的面积相加即可得到总面积。
【解析】
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
1. 计算大扇形面积：圆心角$n_1=90°$，半径$r_1=5\mathrm{m}$
$S_1=\frac{90π×5^2}{360}$
2. 计算小扇形面积：剩余绳长$r_2=5-4=1\mathrm{m}$，圆心角$n_2=120°-90°=60°$
$S_2=\frac{60π×1^2}{360}$
3. 总面积：$S=S_1+S_2=\frac{90π×25}{360}+\frac{60π×1}{360}=\frac{75π}{12}+\frac{2π}{12}=\frac{77}{12}π\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
小羊A在草地上的最大活动区域面积是$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算、圆心角计算、几何实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查扇形面积的应用，解题关键是准确拆分活动区域，正确确定两个扇形的半径和对应圆心角，避免遗漏小扇形部分或错算圆心角。
【难度系数】
0.6
10.【主题】滤纸与漏斗
[素材]如图甲所示：
1.一张直径为10 cm的圆形滤纸；
2.一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗。
[实践操作]
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中。
[实践探索]
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明。
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积。(结果保留π)
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
[素材]如图甲所示：
1.一张直径为10 cm的圆形滤纸；
2.一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗。
[实践操作]
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中。
[实践探索]
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明。
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积。(结果保留π)
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.解:(1)能;理由:设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 $n°$。
因为漏斗口直径与母线均为 7 cm,
所以滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为5 cm。
$5π=\frac{nπ×5}{180}$。
解得 $n=180°$。
正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同,
所以滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2)滤纸围成圆锥形的侧面积为$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
因为漏斗口直径与母线均为 7 cm,
所以滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为5 cm。
$5π=\frac{nπ×5}{180}$。
解得 $n=180°$。
正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同,
所以滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2)滤纸围成圆锥形的侧面积为$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆锥与侧面展开扇形的对应关系分析：
(1) 判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥和漏斗的圆锥侧面展开扇形的圆心角是否相等，若圆心角相等则可以紧贴。首先根据漏斗的底面直径和母线长，利用“圆锥侧面展开弧长等于底面周长”结合弧长公式计算漏斗侧面展开的圆心角；再计算滤纸折叠后围成圆锥的侧面展开圆心角，对比二者即可得出结论。
(2) 滤纸紧贴漏斗时，侧面积就是围成圆锥的侧面扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 能，理由如下：
已知漏斗口直径为7 cm，母线长为7 cm，因此漏斗底面周长为$7π\ \mathrm{cm}$，设漏斗侧面展开扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（$R$为扇形半径，即圆锥母线长），代入漏斗的数据可得$7π=\frac{nπ×7}{180}$，解得$n=180$，即漏斗侧面展开的圆心角为$180°$。
圆形滤纸直径为10 cm，因此半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$，折叠撑开后围成的圆锥母线长等于滤纸半径5 cm，设该圆锥侧面展开的圆心角为$n'°$，其底面周长等于侧面展开扇形的弧长，由折叠方式可知展开扇形弧长为原滤纸周长的一半，即$\frac{1}{2}×10π=5π$，代入弧长公式得$5π=\frac{n'π×5}{180}$，解得$n'=180$。
二者侧面展开的圆心角相同，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 滤纸围成圆锥的侧面积等于侧面展开扇形的面积，该扇形为半径5 cm的半圆，因此侧面积$S=\frac{1}{2}πr²=\frac{1}{2}π×5²=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 能，理由见解析；
(2) $\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆锥与展开图的关系
【点评】
本题结合生活实际考查圆锥的相关计算，解题关键是将“滤纸紧贴漏斗”的实际问题转化为两个圆锥侧面展开圆心角相等的数学问题，需要熟练掌握圆锥各参数和展开扇形参数的对应关系。
【难度系数】
0.65
要解决本题，需结合圆锥与侧面展开扇形的对应关系分析：
(1) 判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥和漏斗的圆锥侧面展开扇形的圆心角是否相等，若圆心角相等则可以紧贴。首先根据漏斗的底面直径和母线长，利用“圆锥侧面展开弧长等于底面周长”结合弧长公式计算漏斗侧面展开的圆心角；再计算滤纸折叠后围成圆锥的侧面展开圆心角，对比二者即可得出结论。
(2) 滤纸紧贴漏斗时，侧面积就是围成圆锥的侧面扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 能，理由如下：
已知漏斗口直径为7 cm，母线长为7 cm，因此漏斗底面周长为$7π\ \mathrm{cm}$，设漏斗侧面展开扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（$R$为扇形半径，即圆锥母线长），代入漏斗的数据可得$7π=\frac{nπ×7}{180}$，解得$n=180$，即漏斗侧面展开的圆心角为$180°$。
圆形滤纸直径为10 cm，因此半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$，折叠撑开后围成的圆锥母线长等于滤纸半径5 cm，设该圆锥侧面展开的圆心角为$n'°$，其底面周长等于侧面展开扇形的弧长，由折叠方式可知展开扇形弧长为原滤纸周长的一半，即$\frac{1}{2}×10π=5π$，代入弧长公式得$5π=\frac{n'π×5}{180}$，解得$n'=180$。
二者侧面展开的圆心角相同，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 滤纸围成圆锥的侧面积等于侧面展开扇形的面积，该扇形为半径5 cm的半圆，因此侧面积$S=\frac{1}{2}πr²=\frac{1}{2}π×5²=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 能，理由见解析；
(2) $\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆锥与展开图的关系
【点评】
本题结合生活实际考查圆锥的相关计算，解题关键是将“滤纸紧贴漏斗”的实际问题转化为两个圆锥侧面展开圆心角相等的数学问题，需要熟练掌握圆锥各参数和展开扇形参数的对应关系。
【难度系数】
0.65
