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17.下面是小颖同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
$4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)$
$=8xy-4y^2-(9y^2-3xy)$ (第一步)
$=8xy-4y^2-9y^2-3xy$ (第二步)
$=5xy-13y^2$. (第三步)
(1)填空:
①以上化简步骤中,第一步的依据是;
②以上化简步骤中,第步开始出现错误,这一步错误的原因是.
(2)请写出该整式正确的化简结果,并计算当$x=-\dfrac{2}{11},y=-1$时该整式的值.
$4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)$
$=8xy-4y^2-(9y^2-3xy)$ (第一步)
$=8xy-4y^2-9y^2-3xy$ (第二步)
$=5xy-13y^2$. (第三步)
(1)填空:
①以上化简步骤中,第一步的依据是;
②以上化简步骤中,第步开始出现错误,这一步错误的原因是.
(2)请写出该整式正确的化简结果,并计算当$x=-\dfrac{2}{11},y=-1$时该整式的值.
答案
解：
(1) ① 乘法分配律
② 二；去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)&=8xy-4y^2-9y^2+3xy\\&=11xy-13y^2\end{aligned}$
当$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=11×(-\dfrac{2}{11})×(-1)-13×(-1)^2\\&=2-13\\&=-11\end{aligned}$
(1) ① 乘法分配律
② 二；去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)&=8xy-4y^2-9y^2+3xy\\&=11xy-13y^2\end{aligned}$
当$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=11×(-\dfrac{2}{11})×(-1)-13×(-1)^2\\&=2-13\\&=-11\end{aligned}$
解析
【分析】
对于第(1)问：①第一步是将括号外的系数分别乘括号内的每一项，符合乘法分配律的特征，因此依据是乘法分配律；②去括号的法则为：括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要变号。观察第二步，对$-(9y^2-3xy)$去括号时，仅改变了$9y^2$的符号，$-3xy$未变号，因此第二步开始出错。
对于第(2)问：先按照去括号法则正确去掉两个括号，再合并同类项得到最简整式，最后将$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$代入最简式，按照有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) ①第一步是将4乘进$(2xy-y^2)$、-3乘进$(3y^2-xy)$，依据是乘法分配律；
②第二步去括号时，$-(9y^2-3xy)$应化为$-9y^2+3xy$，但题目中写为$-9y^2-3xy$，因此第二步开始出现错误，错误原因是：去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)&=8xy-4y^2-(9y^2-3xy)\\&=8xy-4y^2-9y^2+3xy\\&=11xy-13y^2\end{aligned}$
当$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$时，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=11×(-\dfrac{2}{11})×(-1)-13×(-1)^2\\&=2-13\\&=-11\end{aligned}$
【答案】
(1) ① 乘法分配律；② 二；去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则
(2) 化简结果为$11xy-13y^2$，当$x=-\dfrac{2}{11},y=-1$时，整式的值为$-11$
【知识点】
乘法分配律；去括号法则；整式化简求值
【点评】
本题侧重考察整式运算的基础技能，去括号时的符号判断是高频易错点，代入求值时需注意负数乘方、乘法的符号规则，熟练掌握基础运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问：①第一步是将括号外的系数分别乘括号内的每一项，符合乘法分配律的特征，因此依据是乘法分配律；②去括号的法则为：括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要变号。观察第二步，对$-(9y^2-3xy)$去括号时，仅改变了$9y^2$的符号，$-3xy$未变号，因此第二步开始出错。
对于第(2)问：先按照去括号法则正确去掉两个括号，再合并同类项得到最简整式，最后将$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$代入最简式，按照有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) ①第一步是将4乘进$(2xy-y^2)$、-3乘进$(3y^2-xy)$，依据是乘法分配律；
②第二步去括号时，$-(9y^2-3xy)$应化为$-9y^2+3xy$，但题目中写为$-9y^2-3xy$，因此第二步开始出现错误，错误原因是：去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}4(2xy-y^2)-3(3y^2-xy)&=8xy-4y^2-(9y^2-3xy)\\&=8xy-4y^2-9y^2+3xy\\&=11xy-13y^2\end{aligned}$
当$x=-\dfrac{2}{11}$，$y=-1$时，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=11×(-\dfrac{2}{11})×(-1)-13×(-1)^2\\&=2-13\\&=-11\end{aligned}$
【答案】
(1) ① 乘法分配律；② 二；去括号时，括号前是负号，括号内的$-3xy$没有变号，未正确应用去括号法则
(2) 化简结果为$11xy-13y^2$，当$x=-\dfrac{2}{11},y=-1$时，整式的值为$-11$
【知识点】
乘法分配律；去括号法则；整式化简求值
【点评】
本题侧重考察整式运算的基础技能，去括号时的符号判断是高频易错点，代入求值时需注意负数乘方、乘法的符号规则，熟练掌握基础运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
四、解答题
18.如图,小李在某运动App中设定了每天的步数目标为8000步,该App用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数,例如星期二,小李少于目标步数600步.
(1)这5天中,步数最多的是星期,步数最少的是星期,步数相差步.
(2)小李这5天平均每天的步数是多少?
(3)小李运动时,每1000步消耗的热量约为50卡,请计算该App显示的小李这5天运动消耗的总热量.
18.如图,小李在某运动App中设定了每天的步数目标为8000步,该App用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数,例如星期二,小李少于目标步数600步.
(1)这5天中,步数最多的是星期,步数最少的是星期,步数相差步.
(2)小李这5天平均每天的步数是多少?
(3)小李运动时,每1000步消耗的热量约为50卡,请计算该App显示的小李这5天运动消耗的总热量.
答案
解：
(1) 三；五；1800
(2) 5天相对于目标步数的差值分别为+750，-600，+900，+850，-900。
5天的总步数为：
$\begin{aligned}&8000×5 + (750 - 600 + 900 + 850 - 900)\\=&40000 + 1000\\=&41000(\mathrm{步})\end{aligned}$
平均每天的步数为：$41000÷5=8200(\mathrm{步})$
答：小李这5天平均每天的步数是8200步。
(3) 这5天运动消耗的总热量为：
$41000÷1000×50=2050(\mathrm{卡})$
答：小李这5天运动消耗的总热量为2050卡。
(1) 三；五；1800
(2) 5天相对于目标步数的差值分别为+750，-600，+900，+850，-900。
5天的总步数为：
$\begin{aligned}&8000×5 + (750 - 600 + 900 + 850 - 900)\\=&40000 + 1000\\=&41000(\mathrm{步})\end{aligned}$
平均每天的步数为：$41000÷5=8200(\mathrm{步})$
答：小李这5天平均每天的步数是8200步。
(3) 这5天运动消耗的总热量为：
$41000÷1000×50=2050(\mathrm{卡})$
答：小李这5天运动消耗的总热量为2050卡。
解析
【分析】
解题时首先明确图表规则：目标步数为8000步，目标线上方的数值是超出目标的步数，下方是少于目标的步数。
(1) 总步数=8000+当天的差值（超出为正，不足为负），所以正差值最大的那天步数最多，负差值绝对值最大的那天步数最少，再将两者的总步数作差即可得到相差步数。
(2) 求平均步数，先计算5天的总步数：先算5天的目标总步数，再加上5天的差值总和，最后除以天数5即可得到平均每天步数。
(3) 先算出总步数，再看总步数包含多少个1000步，乘以每1000步消耗的50卡，就能得到总消耗热量。
【解析】
(1) 各天总步数：
星期一：$8000+750=8750$步，星期二：$8000-600=7400$步，星期三：$8000+900=8900$步，星期四：$8000+850=8850$步，星期五：$8000-900=7100$步。
对比可知步数最多的是星期三，最少的是星期五，相差：$8900-7100=1800$步。
(2) 5天相对于目标步数的差值分别为$+750$，$-600$，$+900$，$+850$，$-900$。
5天总步数为：
$\begin{aligned}&8000×5 + (750 - 600 + 900 + 850 - 900)\\=&40000 + 1000\\=&41000(\mathrm{步})\end{aligned}$
平均每天步数：$41000÷5=8200(\mathrm{步})$
答：小李这5天平均每天的步数是8200步。
(3) 总消耗热量：
$41000÷1000×50=2050(\mathrm{卡})$
答：小李这5天运动消耗的总热量为2050卡。
【答案】
(1) 三；五；1800
(2) 8200步
(3) 2050卡
【知识点】
正负数的实际应用，平均数计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中运动计步的场景，考查了对图表信息的提取能力和有理数的基本运算，只要准确理解正负差值的含义，就能顺利解题，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图表规则：目标步数为8000步，目标线上方的数值是超出目标的步数，下方是少于目标的步数。
(1) 总步数=8000+当天的差值（超出为正，不足为负），所以正差值最大的那天步数最多，负差值绝对值最大的那天步数最少，再将两者的总步数作差即可得到相差步数。
(2) 求平均步数，先计算5天的总步数：先算5天的目标总步数，再加上5天的差值总和，最后除以天数5即可得到平均每天步数。
(3) 先算出总步数，再看总步数包含多少个1000步，乘以每1000步消耗的50卡，就能得到总消耗热量。
【解析】
(1) 各天总步数：
星期一：$8000+750=8750$步，星期二：$8000-600=7400$步，星期三：$8000+900=8900$步，星期四：$8000+850=8850$步，星期五：$8000-900=7100$步。
对比可知步数最多的是星期三，最少的是星期五，相差：$8900-7100=1800$步。
(2) 5天相对于目标步数的差值分别为$+750$，$-600$，$+900$，$+850$，$-900$。
5天总步数为：
$\begin{aligned}&8000×5 + (750 - 600 + 900 + 850 - 900)\\=&40000 + 1000\\=&41000(\mathrm{步})\end{aligned}$
平均每天步数：$41000÷5=8200(\mathrm{步})$
答：小李这5天平均每天的步数是8200步。
(3) 总消耗热量：
$41000÷1000×50=2050(\mathrm{卡})$
答：小李这5天运动消耗的总热量为2050卡。
【答案】
(1) 三；五；1800
(2) 8200步
(3) 2050卡
【知识点】
正负数的实际应用，平均数计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中运动计步的场景，考查了对图表信息的提取能力和有理数的基本运算，只要准确理解正负差值的含义，就能顺利解题，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
