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19.提升题＞如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P,Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3。
(1)小长方形M的长为（用含a的代数式表示）。
(2)若b=12.5，能否求出阴影图形P,Q的周长之和？若能，求出其值；若不能，说明理由。
(1)小长方形M的长为（用含a的代数式表示）。
(2)若b=12.5，能否求出阴影图形P,Q的周长之和？若能，求出其值；若不能，说明理由。
答案
(1) $\boldsymbol{a-9}$
(2) 能，周长之和为$\boldsymbol{56}$。
(2) 能，周长之和为$\boldsymbol{56}$。
解析
【分析】
(1) 观察图形可知，右侧有3个竖放的小长方形M，每个宽为3，3个宽的总长度为$3×3=9$，大长方形的长为a，且3个小长方形的宽之和加1个小长方形M的长等于大长方形的长a，因此用a减去9即可得到小长方形M的长。
(2) 求阴影P、Q的周长之和思路如下：第一步先分别表示出P和Q的长与宽，P的长等于小长方形M的长，宽等于大长方形的宽b减去2个小长方形M的宽；Q的长等于3个小长方形M的宽之和，宽等于大长方形的宽b减去小长方形M的长。第二步分别写出P、Q的周长公式，相加后化简会发现含a的项抵消，仅剩含b的式子，代入b=12.5即可算出结果。
【解析】
(1) 右侧3个小长方形M的宽总和为$3×3=9$，结合大长方形长为a，可得小长方形M的长为$a-9$。
(2) 能求出周长之和，计算过程如下：
① 阴影P的长为$a-9$，宽为$b-2×3=b-6$，因此P的周长为：
$2×[(a-9)+(b-6)]=2a+2b-30$
② 阴影Q的长为$3×3=9$，宽为$b-(a-9)=b-a+9$，因此Q的周长为：
$2×[9+(b-a+9)]=-2a+2b+36$
③ 两者周长之和为：
$(2a+2b-30)+(-2a+2b+36)=4b+6$
代入$b=12.5$，得周长之和为$4×12.5+6=56$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-9}$
(2) 能，周长之和为$\boldsymbol{56}$
【知识点】
列代数式、整式的加减、周长计算
【点评】
本题是结合几何图形的代数运算题，解题核心是通过观察图形找到各部分边长的数量关系，化简周长和时注意抵消无关未知量即可快速求解。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图形可知，右侧有3个竖放的小长方形M，每个宽为3，3个宽的总长度为$3×3=9$，大长方形的长为a，且3个小长方形的宽之和加1个小长方形M的长等于大长方形的长a，因此用a减去9即可得到小长方形M的长。
(2) 求阴影P、Q的周长之和思路如下：第一步先分别表示出P和Q的长与宽，P的长等于小长方形M的长，宽等于大长方形的宽b减去2个小长方形M的宽；Q的长等于3个小长方形M的宽之和，宽等于大长方形的宽b减去小长方形M的长。第二步分别写出P、Q的周长公式，相加后化简会发现含a的项抵消，仅剩含b的式子，代入b=12.5即可算出结果。
【解析】
(1) 右侧3个小长方形M的宽总和为$3×3=9$，结合大长方形长为a，可得小长方形M的长为$a-9$。
(2) 能求出周长之和，计算过程如下：
① 阴影P的长为$a-9$，宽为$b-2×3=b-6$，因此P的周长为：
$2×[(a-9)+(b-6)]=2a+2b-30$
② 阴影Q的长为$3×3=9$，宽为$b-(a-9)=b-a+9$，因此Q的周长为：
$2×[9+(b-a+9)]=-2a+2b+36$
③ 两者周长之和为：
$(2a+2b-30)+(-2a+2b+36)=4b+6$
代入$b=12.5$，得周长之和为$4×12.5+6=56$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-9}$
(2) 能，周长之和为$\boldsymbol{56}$
【知识点】
列代数式、整式的加减、周长计算
【点评】
本题是结合几何图形的代数运算题，解题核心是通过观察图形找到各部分边长的数量关系，化简周长和时注意抵消无关未知量即可快速求解。
【难度系数】
0.6
20.观察下列等式：$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，….
(1)填空：$10×12+1=$$=$.
(2)计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})(1+\dfrac{1}{2×4})(1+\dfrac{1}{3×5})(1+\dfrac{1}{4×6})···(1+\dfrac{1}{97×99})·(1+\dfrac{1}{98×100})$.
五、解答题
21.【提升题】【阅读】若数轴上点A，B表示的数分别为$a,b$，则A，B两点之间的距离表示为$|AB|=|a-b|$.
【理解】
(1)数轴上表示$x$和$-5$的两点A和B之间的距离$|AB|=$.
(2)当代数式$|x-4|+|x+3|$取最小值时，相应的$x$的取值范围是，最小值是.
(3)代数式$|x-2|+|x+4|+|x-5|$的最小值是.
【应用】
(4)2025年11月9日，南昌马拉松鸣枪开跑.此赛事吸引了近四万名选手参与，他们沿着英雄城的赛道，追逐江水与历史的足迹，品味南昌这座城市的独特魅力.在某段经过八一起义纪念馆O的笔直跑道上有A，B，C三个补给站，分别位于八一起义纪念馆左侧3 km，右侧5 km和右侧9 km处.为减轻工作人员负担，将使用无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A，B，C三个补给站进行货物配送，工作人员只配送A补给站，无人机配送B，C两个补给站.工作人员配送成本为2元/千米，无人机配送成本为1元/千米.请问：物资存放处设在何处能使单次配送成本最低？并求出最低的配送成本费.
(1)填空：$10×12+1=$$=$.
(2)计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})(1+\dfrac{1}{2×4})(1+\dfrac{1}{3×5})(1+\dfrac{1}{4×6})···(1+\dfrac{1}{97×99})·(1+\dfrac{1}{98×100})$.
五、解答题
21.【提升题】【阅读】若数轴上点A，B表示的数分别为$a,b$，则A，B两点之间的距离表示为$|AB|=|a-b|$.
【理解】
(1)数轴上表示$x$和$-5$的两点A和B之间的距离$|AB|=$.
(2)当代数式$|x-4|+|x+3|$取最小值时，相应的$x$的取值范围是，最小值是.
(3)代数式$|x-2|+|x+4|+|x-5|$的最小值是.
【应用】
(4)2025年11月9日，南昌马拉松鸣枪开跑.此赛事吸引了近四万名选手参与，他们沿着英雄城的赛道，追逐江水与历史的足迹，品味南昌这座城市的独特魅力.在某段经过八一起义纪念馆O的笔直跑道上有A，B，C三个补给站，分别位于八一起义纪念馆左侧3 km，右侧5 km和右侧9 km处.为减轻工作人员负担，将使用无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A，B，C三个补给站进行货物配送，工作人员只配送A补给站，无人机配送B，C两个补给站.工作人员配送成本为2元/千米，无人机配送成本为1元/千米.请问：物资存放处设在何处能使单次配送成本最低？并求出最低的配送成本费.
答案
20. 解答
(1)
$10×12+1=\boldsymbol{121}=\boldsymbol{11^2}$
(2)
解：由已知等式规律可得：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，因此
$\begin{aligned}1+\frac{1}{n(n+2)}&=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}\\&=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\end{aligned}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{99^2}{98×100}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{99×99}{98×100}\\&=\frac{2}{1}×\frac{99}{100}\\&=\frac{99}{50}\end{aligned}$
---
21. 解答
(1)
根据数轴两点距离公式：$|AB|=|x-(-5)|=\boldsymbol{|x+5|}$
(2)
$|x-4|$表示数轴上点$x$到4的距离，$|x+3|$表示数轴上点$x$到$-3$的距离。当两点之间的点到两个端点的距离和最小，因此$x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ x≤4}$，最小值为$4-(-3)=\boldsymbol{7}$。
(3)
代数式$|x-2|+|x+4|+|x-5|$表示数轴上点$x$到$-4、2、5$三个点的距离之和，当$x=2$时距离和最小，最小值为$0+6+3=\boldsymbol{9}$。
(4)
解：设八一起义纪念馆$O$为数轴原点，向右为正方向，单位为km，则补给站A对应数$-3$，B对应数$5$，C对应数$9$，设物资存放处对应的数为$x$。
单次配送总成本为：
$\begin{aligned}W&=2|x+3| + |x-5| + |x-9|\end{aligned}$
分区间讨论：
① 当$x≤-3$时，$W=-4x+8$，$W$随$x$增大而减小，$x=-3$时$W$最小为20；
② 当$-3＜x≤5$时，$W=2x+6 +5-x +9-x=20$，$W$恒等于20；
③ 当$5＜x≤9$时，$W=2x+6 +x-5 +9-x=2x+10$，$W$随$x$增大而增大，$W＞20$；
④ 当$x＞9$时，$W=2x+6 +x-5 +x-9=4x-8$，$W$随$x$增大而增大，$W＞28$。
答：当物资存放处设在A补给站（纪念馆左侧3km）到B补给站（纪念馆右侧5km）之间的任意位置时，单次配送成本最低，最低配送成本为20元。
(1)
$10×12+1=\boldsymbol{121}=\boldsymbol{11^2}$
(2)
解：由已知等式规律可得：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，因此
$\begin{aligned}1+\frac{1}{n(n+2)}&=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}\\&=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\end{aligned}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{99^2}{98×100}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{99×99}{98×100}\\&=\frac{2}{1}×\frac{99}{100}\\&=\frac{99}{50}\end{aligned}$
---
21. 解答
(1)
根据数轴两点距离公式：$|AB|=|x-(-5)|=\boldsymbol{|x+5|}$
(2)
$|x-4|$表示数轴上点$x$到4的距离，$|x+3|$表示数轴上点$x$到$-3$的距离。当两点之间的点到两个端点的距离和最小，因此$x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ x≤4}$，最小值为$4-(-3)=\boldsymbol{7}$。
(3)
代数式$|x-2|+|x+4|+|x-5|$表示数轴上点$x$到$-4、2、5$三个点的距离之和，当$x=2$时距离和最小，最小值为$0+6+3=\boldsymbol{9}$。
(4)
解：设八一起义纪念馆$O$为数轴原点，向右为正方向，单位为km，则补给站A对应数$-3$，B对应数$5$，C对应数$9$，设物资存放处对应的数为$x$。
单次配送总成本为：
$\begin{aligned}W&=2|x+3| + |x-5| + |x-9|\end{aligned}$
分区间讨论：
① 当$x≤-3$时，$W=-4x+8$，$W$随$x$增大而减小，$x=-3$时$W$最小为20；
② 当$-3＜x≤5$时，$W=2x+6 +5-x +9-x=20$，$W$恒等于20；
③ 当$5＜x≤9$时，$W=2x+6 +x-5 +9-x=2x+10$，$W$随$x$增大而增大，$W＞20$；
④ 当$x＞9$时，$W=2x+6 +x-5 +x-9=4x-8$，$W$随$x$增大而增大，$W＞28$。
答：当物资存放处设在A补给站（纪念馆左侧3km）到B补给站（纪念馆右侧5km）之间的任意位置时，单次配送成本最低，最低配送成本为20元。
解析
第20题
【分析】
第(1)问先观察已知等式，可总结规律：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，将$n=10$代入规律即可求解。第(2)问先利用总结的规律，将每个括号内的式子通分变形为$\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$的形式，代入原式后通过交叉约分简化计算得到结果。
【解析】
(1) 根据规律$n(n+2)+1=(n+1)^2$，当$n=10$时：
$10×12+1=121=11^2$
(2) 由规律得$n(n+2)+1=(n+1)^2$，因此：
$1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{99^2}{98×100}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{99×99}{98×100}\\&=\frac{2}{1}×\frac{99}{100}\\&=\frac{99}{50}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{121}$，$\boldsymbol{11^2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{99}{50}}$
【知识点】
数字规律探究，分式化简，约分运算
【点评】
本题重点考查数字规律的归纳与应用，需要先从已知等式中总结通用公式，再代入分式运算中通过约分简化计算，对观察归纳能力和分式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
---
第21题
【分析】
(1) 直接套用数轴两点距离公式：两点距离等于两点所表示数的差的绝对值，代入即可求解。(2) 利用绝对值的几何意义，$|x-4|$表示$x$到4的距离，$|x+3|$表示$x$到-3的距离，当$x$在两个点之间时，距离和最小，最小值为两点之间的距离。(3) 三个点的距离和，当$x$取中间点对应值时，距离和最小，代入计算即可。(4) 先将实际问题转化为数轴模型，设物资存放处对应数为$x$，列出成本的绝对值表达式，再分区间化简绝对值，讨论各区间的最小值，最终得到全局最小值。
【解析】
(1) 根据数轴两点距离公式，$x$和$-5$的距离为：
$|AB|=|x-(-5)|=|x+5|$
(2) $|x-4|$表示数轴上点$x$到4的距离，$|x+3|$表示点$x$到-3的距离，当$x$在$-3$和4之间时距离和最小，取值范围为$-3≤x≤4$，最小值为$4-(-3)=7$。
(3) 代数式表示$x$到-4、2、5三个点的距离之和，当$x$取中间点2时，距离和最小，最小值为$|2-2|+|2+4|+|2-5|=0+6+3=9$。
(4) 设O为原点，向右为正方向，单位为km，则A对应-3，B对应5，C对应9，设物资存放处对应数为$x$，总成本为$W$：
$W=2|x+3| + |x-5| + |x-9|$
分区间讨论：
① 当$x≤-3$时，$W=2(-x-3)+(5-x)+(9-x)=-4x+8$，$W$随$x$增大而减小，$x=-3$时$W$最小为20；
② 当$-3＜x≤5$时，$W=2(x+3)+(5-x)+(9-x)=20$，$W$恒为20；
③ 当$5＜x≤9$时，$W=2(x+3)+(x-5)+(9-x)=2x+10$，$W$随$x$增大而增大，$W＞20$；
④ 当$x＞9$时，$W=2(x+3)+(x-5)+(x-9)=4x-8$，$W$随$x$增大而增大，$W＞28$。
综上，当物资存放处在A到B之间（含端点）时成本最低。
【答案】
(1) $\boldsymbol{|x+5|}$；(2) $\boldsymbol{-3≤x≤4}$，$\boldsymbol{7}$；(3) $\boldsymbol{9}$；(4) 物资存放处设在A补给站（纪念馆左侧3km）到B补给站（纪念馆右侧5km）之间的任意位置时成本最低，最低配送成本为$\boldsymbol{20}$元。
【知识点】
数轴两点距离，绝对值的几何意义，分段讨论求最值
【点评】
本题结合绝对值的几何意义考查数轴距离的应用，从基础公式到距离和最值规律，再到实际问题建模，需要掌握绝对值的化简方法和分段讨论的思路，能将实际问题转化为数学模型求解。
【难度系数】
0.6
【分析】
第(1)问先观察已知等式，可总结规律：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，将$n=10$代入规律即可求解。第(2)问先利用总结的规律，将每个括号内的式子通分变形为$\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$的形式，代入原式后通过交叉约分简化计算得到结果。
【解析】
(1) 根据规律$n(n+2)+1=(n+1)^2$，当$n=10$时：
$10×12+1=121=11^2$
(2) 由规律得$n(n+2)+1=(n+1)^2$，因此：
$1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{99^2}{98×100}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×\dots×\frac{99×99}{98×100}\\&=\frac{2}{1}×\frac{99}{100}\\&=\frac{99}{50}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{121}$，$\boldsymbol{11^2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{99}{50}}$
【知识点】
数字规律探究，分式化简，约分运算
【点评】
本题重点考查数字规律的归纳与应用，需要先从已知等式中总结通用公式，再代入分式运算中通过约分简化计算，对观察归纳能力和分式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
---
第21题
【分析】
(1) 直接套用数轴两点距离公式：两点距离等于两点所表示数的差的绝对值，代入即可求解。(2) 利用绝对值的几何意义，$|x-4|$表示$x$到4的距离，$|x+3|$表示$x$到-3的距离，当$x$在两个点之间时，距离和最小，最小值为两点之间的距离。(3) 三个点的距离和，当$x$取中间点对应值时，距离和最小，代入计算即可。(4) 先将实际问题转化为数轴模型，设物资存放处对应数为$x$，列出成本的绝对值表达式，再分区间化简绝对值，讨论各区间的最小值，最终得到全局最小值。
【解析】
(1) 根据数轴两点距离公式，$x$和$-5$的距离为：
$|AB|=|x-(-5)|=|x+5|$
(2) $|x-4|$表示数轴上点$x$到4的距离，$|x+3|$表示点$x$到-3的距离，当$x$在$-3$和4之间时距离和最小，取值范围为$-3≤x≤4$，最小值为$4-(-3)=7$。
(3) 代数式表示$x$到-4、2、5三个点的距离之和，当$x$取中间点2时，距离和最小，最小值为$|2-2|+|2+4|+|2-5|=0+6+3=9$。
(4) 设O为原点，向右为正方向，单位为km，则A对应-3，B对应5，C对应9，设物资存放处对应数为$x$，总成本为$W$：
$W=2|x+3| + |x-5| + |x-9|$
分区间讨论：
① 当$x≤-3$时，$W=2(-x-3)+(5-x)+(9-x)=-4x+8$，$W$随$x$增大而减小，$x=-3$时$W$最小为20；
② 当$-3＜x≤5$时，$W=2(x+3)+(5-x)+(9-x)=20$，$W$恒为20；
③ 当$5＜x≤9$时，$W=2(x+3)+(x-5)+(9-x)=2x+10$，$W$随$x$增大而增大，$W＞20$；
④ 当$x＞9$时，$W=2(x+3)+(x-5)+(x-9)=4x-8$，$W$随$x$增大而增大，$W＞28$。
综上，当物资存放处在A到B之间（含端点）时成本最低。
【答案】
(1) $\boldsymbol{|x+5|}$；(2) $\boldsymbol{-3≤x≤4}$，$\boldsymbol{7}$；(3) $\boldsymbol{9}$；(4) 物资存放处设在A补给站（纪念馆左侧3km）到B补给站（纪念馆右侧5km）之间的任意位置时成本最低，最低配送成本为$\boldsymbol{20}$元。
【知识点】
数轴两点距离，绝对值的几何意义，分段讨论求最值
【点评】
本题结合绝对值的几何意义考查数轴距离的应用，从基础公式到距离和最值规律，再到实际问题建模，需要掌握绝对值的化简方法和分段讨论的思路，能将实际问题转化为数学模型求解。
【难度系数】
0.6
