登录
1. 下列方程中,为一元一次方程的是()
A.$x^2 - x = 3$
B.$x + 2y = 5$
C.$\frac{5}{x} + 3 = 6$
D.$\frac{x}{3} + 2x = 1$
A.$x^2 - x = 3$
B.$x + 2y = 5$
C.$\frac{5}{x} + 3 = 6$
D.$\frac{x}{3} + 2x = 1$
答案
D
解析
【分析】
要判断是否为一元一次方程，首先需明确一元一次方程的三个判定要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时逐一对照三个要点排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。我们对每个选项逐一分析：
A. 方程$x^2 - x = 3$中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
B. 方程$x + 2y = 5$中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
C. 方程$\frac{5}{x} + 3 = 6$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元一次方程；
D. 方程$\frac{x}{3} + 2x = 1$只含有未知数$x$，$x$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定，整式方程的识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题时紧扣定义的三个判断标准逐一验证即可，需特别注意分母含未知数的方程属于分式方程，不属于一元一次方程。
【难度系数】
0.9
要判断是否为一元一次方程，首先需明确一元一次方程的三个判定要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时逐一对照三个要点排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。我们对每个选项逐一分析：
A. 方程$x^2 - x = 3$中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
B. 方程$x + 2y = 5$中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
C. 方程$\frac{5}{x} + 3 = 6$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元一次方程；
D. 方程$\frac{x}{3} + 2x = 1$只含有未知数$x$，$x$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定，整式方程的识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题时紧扣定义的三个判断标准逐一验证即可，需特别注意分母含未知数的方程属于分式方程，不属于一元一次方程。
【难度系数】
0.9
2. 在方程$3x - \frac{1}{2}=1,\frac{1}{3}(x + 1)=\frac{1}{2},6x -5=2x -3$和$x + \frac{1}{2}=2x$中，与方程$2x=1$的解相同的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要判断给出的方程是否和$2x=1$的解相同，首先先求出$2x=1$的解，再依次求解4个待判断的一元一次方程，对比它们的解是否与$2x=1$的解一致，最后统计符合要求的方程个数即可。解一元一次方程的核心步骤为移项（注意移项要变号）、合并同类项、系数化为1，按步骤计算即可。
【解析】
1. 先求解目标方程$2x=1$：
系数化为1，得$x=\frac{1}{2}$。
2. 逐个求解其余4个方程，对比解是否为$\frac{1}{2}$：
① 解方程$3x - \frac{1}{2}=1$：
移项得$3x=1+\frac{1}{2}$，合并同类项得$3x=\frac{3}{2}$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
② 解方程$\frac{1}{3}(x + 1)=\frac{1}{2}$：
两边同乘3得$x+1=\frac{3}{2}$，移项得$x=\frac{3}{2}-1$，计算得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
③ 解方程$6x -5=2x -3$：
移项得$6x-2x=-3+5$，合并同类项得$4x=2$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
④ 解方程$x + \frac{1}{2}=2x$：
移项得$2x-x=\frac{1}{2}$，合并同类项得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同。
综上，4个方程的解都与$2x=1$的解相同。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程、同解方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查一元一次方程的基本解法，只要熟练掌握移项变号、系数化为1等运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要判断给出的方程是否和$2x=1$的解相同，首先先求出$2x=1$的解，再依次求解4个待判断的一元一次方程，对比它们的解是否与$2x=1$的解一致，最后统计符合要求的方程个数即可。解一元一次方程的核心步骤为移项（注意移项要变号）、合并同类项、系数化为1，按步骤计算即可。
【解析】
1. 先求解目标方程$2x=1$：
系数化为1，得$x=\frac{1}{2}$。
2. 逐个求解其余4个方程，对比解是否为$\frac{1}{2}$：
① 解方程$3x - \frac{1}{2}=1$：
移项得$3x=1+\frac{1}{2}$，合并同类项得$3x=\frac{3}{2}$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
② 解方程$\frac{1}{3}(x + 1)=\frac{1}{2}$：
两边同乘3得$x+1=\frac{3}{2}$，移项得$x=\frac{3}{2}-1$，计算得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
③ 解方程$6x -5=2x -3$：
移项得$6x-2x=-3+5$，合并同类项得$4x=2$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同；
④ 解方程$x + \frac{1}{2}=2x$：
移项得$2x-x=\frac{1}{2}$，合并同类项得$x=\frac{1}{2}$，与$2x=1$解相同。
综上，4个方程的解都与$2x=1$的解相同。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程、同解方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查一元一次方程的基本解法，只要熟练掌握移项变号、系数化为1等运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 一张试卷，只有25道选择题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小李做了全部试题，共得70分，他做对题目的数量是()
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
答案
C
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程应用类的计分问题，解题时首先要明确题目中的两个等量关系：①做对题数+做错题数=总题数25道；②总得分=做对题目得的总分 - 做错题目倒扣的总分。我们可以设做对的题数为未知数，用总题数表示出错题数，再根据得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设小李做对了$ x $道题，则他做错的题数为$ (25-x) $道。
根据总得分的等量关系可列方程：
$ 4x - 1×(25-x) = 70 $
去括号得：$ 4x -25 +x =70 $
合并同类项得：$ 5x -25 =70 $
移项得：$ 5x = 70+25 $
计算得：$ 5x =95 $
系数化为1得：$ x=19 $
即小李做对了19道题。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是准确找到等量关系，尤其要注意“做错倒扣1分”是从做对的总分里减去错题扣的分数，避免列方程时符号出错。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的一元一次方程应用类的计分问题，解题时首先要明确题目中的两个等量关系：①做对题数+做错题数=总题数25道；②总得分=做对题目得的总分 - 做错题目倒扣的总分。我们可以设做对的题数为未知数，用总题数表示出错题数，再根据得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设小李做对了$ x $道题，则他做错的题数为$ (25-x) $道。
根据总得分的等量关系可列方程：
$ 4x - 1×(25-x) = 70 $
去括号得：$ 4x -25 +x =70 $
合并同类项得：$ 5x -25 =70 $
移项得：$ 5x = 70+25 $
计算得：$ 5x =95 $
系数化为1得：$ x=19 $
即小李做对了19道题。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是准确找到等量关系，尤其要注意“做错倒扣1分”是从做对的总分里减去错题扣的分数，避免列方程时符号出错。
【难度系数】
0.7
4.已知方程$7x + 2 = 3x - 6$与关于$x$的方程$x - 1 = k$的解相同，则$3k^2 - 1$的值为()
A.18
B.20
C.26
D.−26
A.18
B.20
C.26
D.−26
答案
C
解析
【分析】
两个方程解相同，说明第一个方程的解也满足第二个方程。解题分三步：第一步先解不含参数的一元一次方程$7x+2=3x-6$，求出$x$的值；第二步将$x$的值代入方程$x-1=k$，求出$k$的值；第三步把$k$代入代数式$3k^2-1$计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先解方程$7x + 2 = 3x - 6$
移项，得：$7x - 3x = -6 - 2$
合并同类项，得：$4x = -8$
系数化为1，得：$x = -2$
∵两个方程的解相同，将$x=-2$代入$x - 1 = k$
得：$k = -2 - 1 = -3$
将$k=-3$代入$3k^2 - 1$，得：
$3×(-3)^2 - 1 = 3×9 - 1 = 27 - 1 = 26$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解法，同解方程的定义，代数式求值
【点评】
本题考查同解方程的应用，解题逻辑清晰，核心是先求解已知系数的一元一次方程，再代入含参数的方程求出参数，最后计算代数式结果。计算时要注意移项变号规则、乘方运算的符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
两个方程解相同，说明第一个方程的解也满足第二个方程。解题分三步：第一步先解不含参数的一元一次方程$7x+2=3x-6$，求出$x$的值；第二步将$x$的值代入方程$x-1=k$，求出$k$的值；第三步把$k$代入代数式$3k^2-1$计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先解方程$7x + 2 = 3x - 6$
移项，得：$7x - 3x = -6 - 2$
合并同类项，得：$4x = -8$
系数化为1，得：$x = -2$
∵两个方程的解相同，将$x=-2$代入$x - 1 = k$
得：$k = -2 - 1 = -3$
将$k=-3$代入$3k^2 - 1$，得：
$3×(-3)^2 - 1 = 3×9 - 1 = 27 - 1 = 26$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解法，同解方程的定义，代数式求值
【点评】
本题考查同解方程的应用，解题逻辑清晰，核心是先求解已知系数的一元一次方程，再代入含参数的方程求出参数，最后计算代数式结果。计算时要注意移项变号规则、乘方运算的符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为()
A.24里
B.12里
C.6里
D.3里
A.24里
B.12里
C.6里
D.3里
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目的核心等量关系：6天行走的总路程为378里。已知从第二天起每天走的路程是前一天的一半，也就是前一天走的路程是后一天的2倍。为了避免分数计算，我们可以直接设第六天的路程为x里，依次往前推出前5天的路程分别为2x、4x、8x、16x、32x，再将六天路程相加等于总路程，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设此人第六天走的路程为$ x $里。
根据“每天走的路程为前一天的一半”可得：
第五天走的路程为$ 2x $里，
第四天走的路程为$ 4x $里，
第三天走的路程为$ 8x $里，
第二天走的路程为$ 16x $里，
第一天走的路程为$ 32x $里。
根据六天总路程为378里，列方程：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 378 $
合并同类项，得：$ 63x = 378 $
系数化为1，得：$ x = 6 $
即此人第六天走的路程为6里。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、找等量关系
【点评】
本题以古代数学典籍的问题为背景，趣味性较强，主要考查用方程解决实际问题的能力，解题的关键是抓住每天路程的倍数关系合理设未知数，准确利用总路程的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
首先明确题目的核心等量关系：6天行走的总路程为378里。已知从第二天起每天走的路程是前一天的一半，也就是前一天走的路程是后一天的2倍。为了避免分数计算，我们可以直接设第六天的路程为x里，依次往前推出前5天的路程分别为2x、4x、8x、16x、32x，再将六天路程相加等于总路程，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设此人第六天走的路程为$ x $里。
根据“每天走的路程为前一天的一半”可得：
第五天走的路程为$ 2x $里，
第四天走的路程为$ 4x $里，
第三天走的路程为$ 8x $里，
第二天走的路程为$ 16x $里，
第一天走的路程为$ 32x $里。
根据六天总路程为378里，列方程：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 378 $
合并同类项，得：$ 63x = 378 $
系数化为1，得：$ x = 6 $
即此人第六天走的路程为6里。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、找等量关系
【点评】
本题以古代数学典籍的问题为背景，趣味性较强，主要考查用方程解决实际问题的能力，解题的关键是抓住每天路程的倍数关系合理设未知数，准确利用总路程的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
6. x 的 3 倍与 7 的差等于 12,可列方程为
.
.
答案
解：
x的3倍表示为$3x$，x的3倍与7的差表示为$3x-7$，根据题意可列方程为
$3x-7=12$
x的3倍表示为$3x$，x的3倍与7的差表示为$3x-7$，根据题意可列方程为
$3x-7=12$
解析
【分析】
解题时需将文字描述逐段转化为数学表达式：首先明确“x的3倍”是x乘3，可写出对应的代数式；再理解“与7的差”是用前面得到的代数式减去7；最后根据“等于12”的等量关系，将两部分结合即可列出方程。
【解析】
第一步，先表示x的3倍，即$3x$；
第二步，表示x的3倍与7的差，用减法运算可得$3x-7$；
第三步，根据“差等于12”的等量关系，列方程为$3x-7=12$。
【答案】
$3x-7=12$
【知识点】
代数式表示、列一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，考查文字语言到数学表达式的转化能力，解题核心是准确把握“倍”“差”等关键词对应的运算规则，掌握这类转化是求解列方程问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时需将文字描述逐段转化为数学表达式：首先明确“x的3倍”是x乘3，可写出对应的代数式；再理解“与7的差”是用前面得到的代数式减去7；最后根据“等于12”的等量关系，将两部分结合即可列出方程。
【解析】
第一步，先表示x的3倍，即$3x$；
第二步，表示x的3倍与7的差，用减法运算可得$3x-7$；
第三步，根据“差等于12”的等量关系，列方程为$3x-7=12$。
【答案】
$3x-7=12$
【知识点】
代数式表示、列一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，考查文字语言到数学表达式的转化能力，解题核心是准确把握“倍”“差”等关键词对应的运算规则，掌握这类转化是求解列方程问题的基础。
【难度系数】
0.9
7.已知方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$的解满足$|x - 2| = 0$，则$\frac{1}{a} =$.
答案
解：
由$|x - 2| = 0$，得
$x - 2 = 0$
$x = 2$
把$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，得
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
整理得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
$a = -\frac{27}{2}$
所以$\frac{1}{a} = -\frac{2}{27}$
由$|x - 2| = 0$，得
$x - 2 = 0$
$x = 2$
把$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，得
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
整理得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
$a = -\frac{27}{2}$
所以$\frac{1}{a} = -\frac{2}{27}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$|x-2|=0$入手，根据绝对值的性质，绝对值为0时绝对值内的代数式等于0，可先求出x的值；再根据方程的解的定义，把求得的x代入原一元一次方程，就能得到关于参数a的一元一次方程，解出a的值；最后根据倒数的定义计算$\frac{1}{a}$即可得到结果。
【解析】
由$|x - 2| = 0$，得
$x - 2 = 0$
解得$x = 2$
把$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，得
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
整理得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
计算得$a = -\frac{27}{2}$
所以$\frac{1}{a} = -\frac{2}{27}$
【答案】
$-\frac{2}{27}$
【知识点】
绝对值的性质，一元一次方程的解，倒数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将绝对值运算和一元一次方程的知识结合考查，解题的核心是先根据绝对值的性质求出x的值，再代入方程求解参数，计算过程中要注意移项的符号变化，求倒数时不要混淆分子和分母的位置。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$|x-2|=0$入手，根据绝对值的性质，绝对值为0时绝对值内的代数式等于0，可先求出x的值；再根据方程的解的定义，把求得的x代入原一元一次方程，就能得到关于参数a的一元一次方程，解出a的值；最后根据倒数的定义计算$\frac{1}{a}$即可得到结果。
【解析】
由$|x - 2| = 0$，得
$x - 2 = 0$
解得$x = 2$
把$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，得
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
整理得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
计算得$a = -\frac{27}{2}$
所以$\frac{1}{a} = -\frac{2}{27}$
【答案】
$-\frac{2}{27}$
【知识点】
绝对值的性质，一元一次方程的解，倒数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将绝对值运算和一元一次方程的知识结合考查，解题的核心是先根据绝对值的性质求出x的值，再代入方程求解参数，计算过程中要注意移项的符号变化，求倒数时不要混淆分子和分母的位置。
【难度系数】
0.8
8.对于两个不相等的有理数a、b,我们规定符号max{a,b}表示a,b两数中较大的数,例如max{2,4}=4,max{-2,-4)=-2.按照这个规律,那么方程max{x,5x)=2x+6的解为.
答案
解：
分两种情况讨论：
① 当$x ＞ 5x$，即$x ＜ 0$时，$\max\{x,5x\}=x$，
原方程化为$x = 2x + 6$，
移项得：$x - 2x = 6$，
$-x = 6$，
解得$x = -6$，符合$x＜0$的条件；
② 当$5x ＞ x$，即$x ＞ 0$时，$\max\{x,5x\}=5x$，
原方程化为$5x = 2x + 6$，
移项得：$5x - 2x = 6$，
$3x = 6$，
解得$x = 2$，符合$x＞0$的条件。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-6$。
分两种情况讨论：
① 当$x ＞ 5x$，即$x ＜ 0$时，$\max\{x,5x\}=x$，
原方程化为$x = 2x + 6$，
移项得：$x - 2x = 6$，
$-x = 6$，
解得$x = -6$，符合$x＜0$的条件；
② 当$5x ＞ x$，即$x ＞ 0$时，$\max\{x,5x\}=5x$，
原方程化为$5x = 2x + 6$，
移项得：$5x - 2x = 6$，
$3x = 6$，
解得$x = 2$，符合$x＞0$的条件。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-6$。
解析
【分析】
首先明确符号$\max\{a,b\}$的含义是取两个不相等的数中较大的数，要解$\max\{x,5x\}=2x+6$，需先判断$x$和$5x$的大小关系。由于$x$的正负性会影响二者的大小，因此分两种情况讨论：一是$x＞5x$（即$x＜0$）时，将$\max\{x,5x\}$替换为$x$，转化为一元一次方程求解，解完验证是否满足$x＜0$的前提；二是$5x＞x$（即$x＞0$）时，将$\max\{x,5x\}$替换为$5x$，同样转化为一元一次方程求解，再验证是否满足$x＞0$的前提，最后综合两种情况得到方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x ＞ 5x$，即$x ＜ 0$时，$\max\{x,5x\}=x$，
原方程化为$x = 2x + 6$，
移项得：$x - 2x = 6$，
合并同类项得：$-x = 6$，
系数化为1得：$x = -6$，符合$x＜0$的条件，是方程的解；
② 当$5x ＞ x$，即$x ＞ 0$时，$\max\{x,5x\}=5x$，
原方程化为$5x = 2x + 6$，
移项得：$5x - 2x = 6$，
合并同类项得：$3x = 6$，
系数化为1得：$x = 2$，符合$x＞0$的条件，是方程的解。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-6$。
【答案】
$x=2$或$x=-6$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，根据两个数大小的不确定性合理分类讨论，求出解后要注意检验是否符合对应分类的取值范围，避免产生不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
首先明确符号$\max\{a,b\}$的含义是取两个不相等的数中较大的数，要解$\max\{x,5x\}=2x+6$，需先判断$x$和$5x$的大小关系。由于$x$的正负性会影响二者的大小，因此分两种情况讨论：一是$x＞5x$（即$x＜0$）时，将$\max\{x,5x\}$替换为$x$，转化为一元一次方程求解，解完验证是否满足$x＜0$的前提；二是$5x＞x$（即$x＞0$）时，将$\max\{x,5x\}$替换为$5x$，同样转化为一元一次方程求解，再验证是否满足$x＞0$的前提，最后综合两种情况得到方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x ＞ 5x$，即$x ＜ 0$时，$\max\{x,5x\}=x$，
原方程化为$x = 2x + 6$，
移项得：$x - 2x = 6$，
合并同类项得：$-x = 6$，
系数化为1得：$x = -6$，符合$x＜0$的条件，是方程的解；
② 当$5x ＞ x$，即$x ＞ 0$时，$\max\{x,5x\}=5x$，
原方程化为$5x = 2x + 6$，
移项得：$5x - 2x = 6$，
合并同类项得：$3x = 6$，
系数化为1得：$x = 2$，符合$x＞0$的条件，是方程的解。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-6$。
【答案】
$x=2$或$x=-6$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，根据两个数大小的不确定性合理分类讨论，求出解后要注意检验是否符合对应分类的取值范围，避免产生不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
9.移动公司推出了如下表所示的19元30G数据流量套餐，小华订购了该流量套餐，且上个月数据流量费用为124元，则他上个月使用了流量G.
答案
75
解析
【分析】
这是分段计费类应用题，解题思路如下：首先明确收费的三个分段标准，先计算使用60G流量时的总费用，将其与小华的实际花费对比，判断小华使用的流量是否超过60G；若超过，先算出超出60G部分的费用，再根据60G以上的单价算出超出部分的流量，最后加上60G即可得到总流量。
【解析】
1. 计算使用60G流量的总费用：
30G及以内收费19元；30G到60G共有流量：$60-30=30(\mathrm{G})$，这部分费用为：$30×2=60(\mathrm{元})$；
因此使用60G的总费用为：$19+60=79(\mathrm{元})$。
2. 判断流量区间：小华实际花费124元，$124＞79$，说明使用流量超过60G。
3. 计算超出60G部分的流量：
超出60G部分的费用为：$124-79=45(\mathrm{元})$，60G以上部分单价为3元/G，因此超出的流量为：$45÷3=15(\mathrm{G})$。
4. 计算总流量：$60+15=75(\mathrm{G})$。
【答案】
75
【知识点】
1.分段计费问题 2.整数四则混合运算
【点评】
本题是贴近生活实际的分段计费题型，解题核心是先根据收费标准判断消费对应的流量区间，再分段计算对应流量，考查学生读取表格信息、分步分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类应用题，解题思路如下：首先明确收费的三个分段标准，先计算使用60G流量时的总费用，将其与小华的实际花费对比，判断小华使用的流量是否超过60G；若超过，先算出超出60G部分的费用，再根据60G以上的单价算出超出部分的流量，最后加上60G即可得到总流量。
【解析】
1. 计算使用60G流量的总费用：
30G及以内收费19元；30G到60G共有流量：$60-30=30(\mathrm{G})$，这部分费用为：$30×2=60(\mathrm{元})$；
因此使用60G的总费用为：$19+60=79(\mathrm{元})$。
2. 判断流量区间：小华实际花费124元，$124＞79$，说明使用流量超过60G。
3. 计算超出60G部分的流量：
超出60G部分的费用为：$124-79=45(\mathrm{元})$，60G以上部分单价为3元/G，因此超出的流量为：$45÷3=15(\mathrm{G})$。
4. 计算总流量：$60+15=75(\mathrm{G})$。
【答案】
75
【知识点】
1.分段计费问题 2.整数四则混合运算
【点评】
本题是贴近生活实际的分段计费题型，解题核心是先根据收费标准判断消费对应的流量区间，再分段计算对应流量，考查学生读取表格信息、分步分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知线段$AB=24\ \mathrm{cm},OA=OP=2\ \mathrm{cm},∠ POQ=60°$,现点$P$绕着点$O$以$30°/\mathrm{s}$的速度逆时针旋转一周后停止,同时点$Q$沿直线$BA$自点$B$向点$A$运动.若点$P,Q$两点能相遇,则点$Q$运动的速度为 $\mathrm{cm/s}$.
答案
解：
由题意可知，点P只有在直线AB上时，才能与沿BA运动的点Q相遇。
点P逆时针旋转，第一次落到直线AB上时，旋转的角度为60°，
所用时间 $ t_1 = \frac{60°}{30°/\mathrm{s}} = 2\ \mathrm{s} $。
由 $ AB=24\ \mathrm{cm} $，$ OA=2\ \mathrm{cm} $，得 $ OB = AB - OA = 22\ \mathrm{cm} $，
此时相遇点距离点B的距离为 $ 22 - OP = 22 - 2 = 20\ \mathrm{cm} $，
对应点Q的速度 $ v_1 = \frac{20}{2} = 10\ \mathrm{cm/s} $。
点P第二次落到直线AB上时，旋转的角度为 $ 60° + 180° = 240° $，
所用时间 $ t_2 = \frac{240°}{30°/\mathrm{s}} = 8\ \mathrm{s} $，
此时相遇点为点A，距离点B的距离为24 cm，
对应点Q的速度 $ v_2 = \frac{24}{8} = 3\ \mathrm{cm/s} $。
综上，点Q运动的速度为3或10 cm/s。
由题意可知，点P只有在直线AB上时，才能与沿BA运动的点Q相遇。
点P逆时针旋转，第一次落到直线AB上时，旋转的角度为60°，
所用时间 $ t_1 = \frac{60°}{30°/\mathrm{s}} = 2\ \mathrm{s} $。
由 $ AB=24\ \mathrm{cm} $，$ OA=2\ \mathrm{cm} $，得 $ OB = AB - OA = 22\ \mathrm{cm} $，
此时相遇点距离点B的距离为 $ 22 - OP = 22 - 2 = 20\ \mathrm{cm} $，
对应点Q的速度 $ v_1 = \frac{20}{2} = 10\ \mathrm{cm/s} $。
点P第二次落到直线AB上时，旋转的角度为 $ 60° + 180° = 240° $，
所用时间 $ t_2 = \frac{240°}{30°/\mathrm{s}} = 8\ \mathrm{s} $，
此时相遇点为点A，距离点B的距离为24 cm，
对应点Q的速度 $ v_2 = \frac{24}{8} = 3\ \mathrm{cm/s} $。
综上，点Q运动的速度为3或10 cm/s。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确点Q始终沿直线BA运动，因此只有当点P旋转到直线AB上时，两点才有可能相遇。点P绕O逆时针旋转一周的过程中，共有2次落在直线AB上，我们分这两种情况讨论即可：先计算每种情况下点P的旋转时间，再根据相遇点的位置求出点Q运动的路程，最后根据“速度=路程÷时间”算出点Q的运动速度。
【解析】
解：点P、Q相遇时，点P一定在直线AB上，点P旋转一周共有2次落在直线AB上，分两种情况计算：
① 点P第一次落到直线AB上时，旋转角度为$60°$，
所用时间：$ t_1 = \frac{60°}{30°/\mathrm{s}} = 2\ \mathrm{s} $
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，$OA=2\ \mathrm{cm}$，则$ OB = AB - OA = 24-2=22\ \mathrm{cm} $
此时相遇点在O右侧，距O点$2\ \mathrm{cm}$，因此点Q运动的路程为：$22-2=20\ \mathrm{cm}$
对应点Q的速度：$ v_1 = \frac{20}{2} = 10\ \mathrm{cm/s} $
② 点P第二次落到直线AB上时，旋转角度为$60°+180°=240°$，
所用时间：$ t_2 = \frac{240°}{30°/\mathrm{s}} = 8\ \mathrm{s} $
此时相遇点在O左侧，即点A的位置，点Q运动的路程为AB全长$24\ \mathrm{cm}$
对应点Q的速度：$ v_2 = \frac{24}{8} = 3\ \mathrm{cm/s} $
综上，点Q的运动速度为$3\ \mathrm{cm/s}$或$10\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】$3$或$10$
【知识点】
动点行程计算，旋转角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题是旋转与动点结合的行程类问题，解题核心是抓住两点相遇的前提条件，即点P落在直线AB上，注意分两种情况讨论，避免漏解，同时需准确对应不同情况下的运动路程和时间。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确点Q始终沿直线BA运动，因此只有当点P旋转到直线AB上时，两点才有可能相遇。点P绕O逆时针旋转一周的过程中，共有2次落在直线AB上，我们分这两种情况讨论即可：先计算每种情况下点P的旋转时间，再根据相遇点的位置求出点Q运动的路程，最后根据“速度=路程÷时间”算出点Q的运动速度。
【解析】
解：点P、Q相遇时，点P一定在直线AB上，点P旋转一周共有2次落在直线AB上，分两种情况计算：
① 点P第一次落到直线AB上时，旋转角度为$60°$，
所用时间：$ t_1 = \frac{60°}{30°/\mathrm{s}} = 2\ \mathrm{s} $
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，$OA=2\ \mathrm{cm}$，则$ OB = AB - OA = 24-2=22\ \mathrm{cm} $
此时相遇点在O右侧，距O点$2\ \mathrm{cm}$，因此点Q运动的路程为：$22-2=20\ \mathrm{cm}$
对应点Q的速度：$ v_1 = \frac{20}{2} = 10\ \mathrm{cm/s} $
② 点P第二次落到直线AB上时，旋转角度为$60°+180°=240°$，
所用时间：$ t_2 = \frac{240°}{30°/\mathrm{s}} = 8\ \mathrm{s} $
此时相遇点在O左侧，即点A的位置，点Q运动的路程为AB全长$24\ \mathrm{cm}$
对应点Q的速度：$ v_2 = \frac{24}{8} = 3\ \mathrm{cm/s} $
综上，点Q的运动速度为$3\ \mathrm{cm/s}$或$10\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】$3$或$10$
【知识点】
动点行程计算，旋转角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题是旋转与动点结合的行程类问题，解题核心是抓住两点相遇的前提条件，即点P落在直线AB上，注意分两种情况讨论，避免漏解，同时需准确对应不同情况下的运动路程和时间。
【难度系数】
0.6
