三、解答题
11. 解下列方程：
$\frac{1-2x}{3}=\frac{3x+1}{7}-3.$

解：
去分母，两边同乘21，得
$7(1-2x) = 3(3x+1) - 63$
去括号，得
$7 - 14x = 9x + 3 - 63$
移项，得
$-14x - 9x = 3 - 63 - 7$
合并同类项，得
$-23x = -67$
系数化为1，得
$x=\frac{67}{23}$

【分析】
这是一元一次方程求解的题目，按照解一元一次方程的标准步骤思考即可：首先找分母3和7的最小公倍数为21，利用等式的性质两边同时乘21去掉分母，注意不含分母的常数项-3也要乘21，不能漏乘；之后按去括号法则去掉括号，再把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项要注意变号；接下来合并同类项，最后将未知数的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
解：去分母，两边同乘21，得
$7(1-2x) = 3(3x+1) - 63$
去括号，得
$7 - 14x = 9x + 3 - 63$
移项，得
$-14x - 9x = 3 - 63 - 7$
合并同类项，得
$-23x = -67$
系数化为1，得
$x=\frac{67}{23}$
【答案】
$x=\frac{67}{23}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查一元一次方程的常规求解步骤，易错点是去分母时常数项漏乘公倍数、移项时忘记变号，解题时要注意核对每一步的运算符号和结果，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8

12.某工厂需要生产一批太空漫步器(如图),每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成.工厂现共有45名工人,每人每天平均可生产60个支架或96套脚踏板.
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套?
(2)若将每套太空漫步器按成本价提高40%后标价,再打八五折销售,仍能获得57元的利润,则每套太空漫步器的成本价是多少元?

解：(1)设分配x名工人生产支架，则分配(45 - x)名工人生产脚踏板。
根据配套要求，脚踏板总数量应为支架总数量的2倍，列方程：
$2×60x = 96(45 - x)$
$120x = 4320 - 96x$
$216x = 4320$
$x = 20$
生产脚踏板的工人数为：$45 - 20 = 25$。
(2)设每套太空漫步器的成本价是y元，根据题意列方程：
$0.85×(1 + 40\%)y - y = 57$
$1.19y - y = 57$
$0.19y = 57$
$y = 300$
答：(1)分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板，能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；(2)每套太空漫步器的成本价是300元。

【分析】
(1)本题属于配套问题，解题核心是明确部件的配套比例：1个支架需搭配2套脚踏板，即生产的脚踏板总数量应为支架总数量的2倍，以此作为等量关系列方程。我们可以设分配x名工人生产支架，剩余(45-x)名工人生产脚踏板，分别表示出每天生产的支架数和脚踏板数，根据等量关系列方程求解即可。
(2)本题属于销售利润问题，核心等量关系为：利润=实际售价-成本价。我们先设每套成本价为y元，先计算成本提高40%后的标价，再计算打八五折后的实际售价，结合利润为57元列方程求解即可。
【解析】
(1)设分配x名工人生产支架，则分配(45 - x)名工人生产脚踏板。
根据配套要求，脚踏板总数量应为支架总数量的2倍，列方程：
$2×60x = 96(45 - x)$
$120x = 4320 - 96x$
$216x = 4320$
解得$x = 20$
生产脚踏板的工人数为：$45 - 20 = 25$（名）
(2)设每套太空漫步器的成本价是y元，根据题意列方程：
$0.85×(1 + 40\%)y - y = 57$
$1.19y - y = 57$
$0.19y = 57$
解得$y = 300$
【答案】
(1)分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板，能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；(2)每套太空漫步器的成本价是300元。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、销售利润计算
【点评】
本题结合生产、销售的实际场景考查一元一次方程的应用，解题关键是准确梳理题目中的等量关系，配套问题需明确部件的数量匹配规则，销售问题需掌握售价、成本、利润三者的运算逻辑，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

13.如图,已知长方形ABCD的长AB=a米,宽BC=b米,a,b满足$|a-7|+(b-4)^2=0$,一动点P从点A出发以每秒1米的速度沿着A→D→C→B运动,另一动点Q从点B出发以每秒2米的速度沿B→C→D→A运动,P,Q同时出发,运动时间为t秒.
(1)$a=$,$b=$;
(2)当$t=4.5$时,求$△ APQ$的面积;
(3)当点P,Q都在DC上,且P,Q距离为1时,求t的值.

解：
(1) ∵ $|a-7|≥0$，$(b-4)^2≥0$，且$|a-7|+(b-4)^2=0$
∴ $a-7=0$，$b-4=0$
∴ $a=7$，$b=4$
(2) 当$t=4.5$时，点P运动的路程为$1×4.5=4.5$米
∵ $AD=BC=4$米，∴ 点P在边$DC$上，$DP=4.5-4=0.5$米
点Q运动的路程为$2×4.5=9$米
∵ $BC=4$米，∴ 点Q在边$DC$上，$CQ=9-4=5$米
∴ $DQ=DC-CQ=7-5=2$米
∴ $PQ=DQ-DP=2-0.5=1.5$米
$△ APQ$中，$PQ$边上的高等于$AD$的长度4米
∴ $S_{△ APQ}=\frac{1}{2}×1.5×4=3$（平方米）
(3) 当点P、Q都在$DC$上时，$4≤ t≤9$
此时$DP=t-4$，$CQ=2t-4$
P、Q的距离为$|7-DP-CQ|=|7-(t-4)-(2t-4)|=|15-3t|$
由$PQ=1$，得$|15-3t|=1$
即$15-3t=1$或$15-3t=-1$
解得$t=\frac{14}{3}$或$t=\frac{16}{3}$，均符合题意。
答：(2) $△ APQ$的面积为3平方米；(3) $t$的值为$\frac{14}{3}$或$\frac{16}{3}$。

【分析】
1. 第一问：利用绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值；
2. 第二问：先根据“路程=速度×时间”计算t=4.5时P、Q的运动路程，结合长方形边长判断两点所在的边，再求出△APQ的底边长和对应高，代入三角形面积公式计算即可；
3. 第三问：先确定P、Q都在DC边上的t的取值范围，用含t的式子表示出相关线段长度，再根据PQ=1列绝对值方程求解，最后验证结果符合取值范围即可。
【解析】
(1)
∵ $|a-7|≥0$，$(b-4)^2≥0$，且$|a-7|+(b-4)^2=0$
∴ $a-7=0$，$b-4=0$
解得 $a=7$，$b=4$
(2) 当$t=4.5$时：
点P运动的路程为$1×4.5=4.5$米，
∵ $AD=4$米，$4＜4.5＜4+7$，
∴ 点P在DC边上，$DP=4.5-4=0.5$米；
点Q运动的路程为$2×4.5=9$米，
∵ $BC=4$米，$4＜9＜4+7$，
∴ 点Q在DC边上，$CQ=9-4=5$米，
∴ $DQ=DC-CQ=7-5=2$米，$PQ=DQ-DP=2-0.5=1.5$米，
△APQ中PQ边上的高等于AD的长度4米，
∴ $S_{△APQ}=\frac{1}{2}×1.5×4=3$（平方米）
(3) 当点P、Q都在DC上时，$4≤t≤\frac{11}{2}$，
此时$DP=t-4$，$CQ=2t-4$，
PQ的长度为$|7-DP-CQ|=|7-(t-4)-(2t-4)|=|15-3t|$，
由$PQ=1$得$|15-3t|=1$，
即$15-3t=1$或$15-3t=-1$，
解得$t=\frac{14}{3}$或$t=\frac{16}{3}$，均符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{7}$，$\boxed{4}$
(2) $\boxed{3}$平方米
(3) $\boxed{\frac{14}{3}}$或$\boxed{\frac{16}{3}}$
【知识点】
非负数的性质，动点问题计算，绝对值方程应用
【点评】
本题将代数性质和几何动点问题结合，需要先准确定位动点的位置，再结合图形关系列式计算，解题时要注意两点距离为1存在两种相对位置的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

14.某人沿河游泳逆流而上，途中不慎将水壶掉落，水壶沿河水漂流而下，10 min后此人发现并立即返身回游，则此人回游多少分钟可以追上水壶？

解：设人在静水中的游泳速度为$v\ \mathrm{m/min}$，水流速度为$u\ \mathrm{m/min}$，此人回游$x$分钟可以追上水壶。
水壶掉落10分钟后，人与水壶的距离为：
$10(v-u) + 10u = 10v$
人顺流回游追水壶时，人顺流速度为$(v+u)\ \mathrm{m/min}$，水壶漂流速度为$u\ \mathrm{m/min}$，根据追及路程相等列方程：
$x(v+u) = 10v + xu$
展开得：$xv + xu = 10v + xu$
两边消去$xu$，得$xv=10v$，
由题意可知$v≠0$，两边同除以$v$，得$x=10$。
答：此人回游10分钟可以追上水壶。

【分析】
这是一道流水行船中的追及问题，题目未给出人在静水中的游泳速度和水流速度，我们可以通过设这两个量为参数，先计算水壶掉落10分钟后人与水壶拉开的距离，再根据人回游追水壶时的路程相等关系列一元一次方程求解，计算过程中参数会自然消去，不影响最终结果。
【解析】
设人在静水中的游泳速度为$v\ \mathrm{m/min}$，水流速度为$u\ \mathrm{m/min}$，此人回游$x$分钟可以追上水壶。
水壶掉落10分钟后，人逆流游的路程为$10(v-u)$，水壶顺流漂的路程为$10u$，此时人与水壶的距离为：
$10(v-u) + 10u = 10v$
人顺流回游的速度为$(v+u)\ \mathrm{m/min}$，水壶漂流速度仍为$u\ \mathrm{m/min}$，追及过程中，人顺流游的路程等于人与水壶初始的距离加上水壶在$x$分钟内漂流的路程，据此列方程：
$x(v+u) = 10v + xu$
展开等式左边得：$xv + xu = 10v + xu$
两边同时减去$xu$得：$xv=10v$
由题意可知人游泳速度不为0，即$v≠0$，两边同时除以$v$，解得$x=10$。
【答案】
此人回游10分钟可以追上水壶。
【知识点】
流水行船问题，一元一次方程应用，追及问题
【点评】
本题属于行程类综合应用题，解题关键是理清两个运动阶段（水壶掉落后人逆流前行、人掉头顺流追及）的路程关系，通过设参数的方式解决无具体速度的问题，不需要求出参数的具体值即可得到结果，能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6