1. ★★（2025·大庆期中）函数$y=(m-2)x^{3-m^2}$是反比例函数，则$m=$（）

A.1
B.2
C.-2
D.2或-2

1. C

【分析】
要解决这道题，首先要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），也可写成$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，需同时满足两个要求：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不能为0。解题时先根据指数要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量$x$的指数为$-1$，即：
$3-m^2=-1$
移项得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$。
2. 自变量的系数不为0，即：
$m-2\ne0$，解得$m\ne2$。
结合两个条件排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的隐含限制条件，误选D选项，解题时要注意对定义的完整理解，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7

2. 已知直线$y=-2x$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的一个交点为$(-1,2)$，则它们另一个交点坐标是
()

A.$(1,2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(1,-2)$
D.$(2,-1)$

2. C

【分析】
解题可采用两种思路：思路一利用对称性简化计算，正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接求其关于原点对称的点即可得到另一个交点；思路二为常规计算法，先将已知交点代入反比例函数解析式求出k值，再联立两个函数的解析式解方程组，得到另一个交点坐标。
【解析】
方法1（利用对称性求解）：
∵ 正比例函数$y=-2x$、反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两个函数的交点也关于原点中心对称。
∵ 已知一个交点为$(-1,2)$，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ 另一个交点的坐标为$(1,-2)$。
方法2（联立解析式求解）：
将$(-1,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=-2x \\ y=-\frac{2}{x} \end{cases}$，
消去y可得$-2x=-\frac{2}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，即另一个交点坐标为$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的对称性；正比例函数的对称性；函数交点求解
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数交点的相关性质，利用图象对称性解题可大幅提升做题速度，用联立解析式的方法也可求解，熟练掌握函数图象的性质能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8

3. 关于函数$y=\frac{2}{x+3}$的图象有以下四个结论:①函数图象与坐标轴没有公共点;②函数图象关于直线$y=x+3$对称;③函数图象关于直线$y=-x-3$对称;④函数图象关于$(-3,0)$成中心对称.其中正确的个数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

3. C

【分析】
本题考查反比例函数的图象性质及对称性，解题思路如下：首先明确函数$y=\frac{2}{x+3}$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$向左平移3个单位得到的，我们可以通过代入验证对称点是否在函数图象上的方法，逐一判断4个结论是否正确，也可以结合平移前后反比例函数的对称性质对应推导。
【解析】
我们对四个结论逐一分析判断：
1. 判断结论①：函数$y=\frac{2}{x+3}$的定义域为$x≠ -3$，值域为$y≠ 0$。当$x=0$时，$y=\frac{2}{0+3}=\frac{2}{3}$，即函数图象与y轴交于点$(0,\frac{2}{3})$，因此函数图象与坐标轴有公共点，结论①错误。
2. 判断结论②：任取函数图象上一点$P(a,\frac{2}{a+3})$，点$P$关于直线$y=x+3$的对称点为$P'(\frac{2}{a+3}-3,a+3)$。将$x=\frac{2}{a+3}-3$代入函数解析式，得$y=\frac{2}{(\frac{2}{a+3}-3)+3}=\frac{2}{\frac{2}{a+3}}=a+3$，与$P'$的纵坐标一致，说明$P'$也在函数图象上，因此函数图象关于直线$y=x+3$对称，结论②正确。
3. 判断结论③：任取函数图象上一点$P(a,\frac{2}{a+3})$，点$P$关于直线$y=-x-3$的对称点为$P'(-\frac{2}{a+3}-3,-a-3)$。将$x=-\frac{2}{a+3}-3$代入函数解析式，得$y=\frac{2}{(-\frac{2}{a+3}-3)+3}=\frac{2}{-\frac{2}{a+3}}=-(a+3)=-a-3$，与$P'$的纵坐标一致，说明$P'$也在函数图象上，因此函数图象关于直线$y=-x-3$对称，结论③正确。
4. 判断结论④：任取函数图象上一点$P(a,\frac{2}{a+3})$，点$P$关于点$(-3,0)$的对称点为$P'(-6-a,-\frac{2}{a+3})$。将$x=-6-a$代入函数解析式，得$y=\frac{2}{(-6-a)+3}=\frac{2}{-3-a}=-\frac{2}{a+3}$，与$P'$的纵坐标一致，说明$P'$也在函数图象上，因此函数图象关于$(-3,0)$成中心对称，结论④正确。
综上，②③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；函数对称性；函数图象平移
【点评】
本题的易错点是容易误判结论①，忽略x=0在定义域内、函数与y轴有交点；解题核心是掌握判断函数对称性的通用方法：验证任意一点的对称点是否也在函数图象上，也可以结合反比例函数平移的规律快速推导对称中心和对称轴。
【难度系数】
0.65

4. 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试.
【理解】反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
证明:在函数图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$，则点$A$关于原点对称的点$B$为(,)，因为，所以点$B$也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.因为点$A$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，所以反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
【拓展】请运用代数推理证明反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=x$和直线$y=-x$对称.

4. 【理解】$(-x,-\frac{2}{x})$ $-x·(-\frac{2}{x})=2$
【拓展】①在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点A关于直线y=x对称的点B为$(\frac{2}{x},x),\because \frac{2}{x}· x=2,\therefore$ 点B也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线y=x对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线y=x对称；
②在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点A关于直线y=-x对称的点B为$(-\frac{2}{x},-x),\because (-\frac{2}{x})·(-x)=2,\therefore$ 点B也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线y=-x对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线y=-x对称.

【分析】
要证明函数图象的对称性，通用思路是：在图象上任取一点，证明该点关于对称中心或对称轴的对称点也在函数图象上即可。①【理解】部分：首先根据关于原点对称的点横、纵坐标均变号的特征，写出点A的对称点B的坐标，再根据反比例函数的定义（横纵坐标乘积等于比例系数k）验证点B在图象上即可。②【拓展】部分：先回忆点关于直线y=x、y=-x对称的坐标变换规律，任取图象上一点，求出对应对称点坐标，验证对称点的横纵坐标乘积等于2，即可证明对称点在图象上，进而得出图象的对称性。
【解析】
【理解】
点$A(x,\frac{2}{x})$关于原点对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，故点B坐标为$\boldsymbol{(-x,-\frac{2}{x})}$；
计算点B横纵坐标的乘积：$-x·(-\frac{2}{x})=2$，符合反比例函数$y=\frac{2}{x}$即$xy=2$的形式，因此点B在该反比例函数图象上。
【拓展】
① 证明图象关于直线$y=x$对称：
在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$，点A关于直线$y=x$对称的点横纵坐标互换，即点B为$(\frac{2}{x},x)$；
计算点B横纵坐标乘积：$\frac{2}{x}·x=2$，满足$y=\frac{2}{x}$的解析式，故点B也在该反比例函数图象上。
因为点A是图象上任意一点，其关于$y=x$的对称点都在图象上，因此$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=x$对称。
② 证明图象关于直线$y=-x$对称：
在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$，点A关于直线$y=-x$对称的点为$(-\frac{2}{x},-x)$；
计算点B横纵坐标乘积：$(-\frac{2}{x})·(-x)=2$，满足$y=\frac{2}{x}$的解析式，故点B也在该反比例函数图象上。
因为点A是图象上任意一点，其关于$y=-x$的对称点都在图象上，因此$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线$y=-x$对称。
【答案】
【理解】$-x$，$-\frac{2}{x}$；$-x·(-\frac{2}{x})=2$
【拓展】①在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点A关于直线y=x对称的点B为$(\frac{2}{x},x),\because \frac{2}{x}· x=2,\therefore$ 点B也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线y=x对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线y=x对称；
②在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上任取一点$A(x,\frac{2}{x})$,则点A关于直线y=-x对称的点B为$(-\frac{2}{x},-x),\because (-\frac{2}{x})·(-x)=2,\therefore$ 点B也在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上.$\because$ 点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}$上的任意一点,它关于直线y=-x对称的点都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象关于直线y=-x对称。
【知识点】
反比例函数定义，对称点坐标特征，图象对称性证明
【点评】
本题考查代数推理在函数性质证明中的应用，核心方法是“任取图象上一点，验证对称点满足函数解析式”，既巩固了对称坐标变换的知识，也有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7