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7. (分类讨论思想)在△ABC 中,BC= 10,AB 的垂直平分线与 AC 的垂直平分线分别交 BC 所在的直线于点 D,E,且 DE= 4,则 AD+AE 的长为( )
A.6
B.10
C.6 或 14
D.6 或 10
A.6
B.10
C.6 或 14
D.6 或 10
答案
C
解析
∵AB的垂直平分线交BC所在直线于点D，
∴AD=BD，
∵AC的垂直平分线交BC所在直线于点E，
∴AE=CE，
情况1：点D、E在BC上且D在E左侧
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6；
情况2：点D、E在BC上且E在D左侧
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14；
AD+AE的长为6或14.
C
8. (整体思想)如图,∠AOB 内有一点 P,分别作出点 P 关于 OA,OB 的对称点$ P_1,P_2,$连接$ P_1P_2,$交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,连接 PM,PN. 当$ P_1P_2= 12 cm $时,△PMN 的周长为cm.
答案
12
解析
∵点P关于OA的对称点为$P_1$，
∴OA垂直平分$PP_1$，
∴$PM = P_1M$。
∵点P关于OB的对称点为$P_2$，
∴OB垂直平分$PP_2$，
∴$PN = P_2N$。
∵$P_1P_2 = 12\ cm$，
∴$\triangle PMN$的周长$= PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2 = 12\ cm$。
12
9. 在△ABC 中,∠A= 90°,若 BD 是△ABC 的角平分线,且 ED 是 BC 的垂直平分线,垂足为 E,则∠ABD 的度数为.
答案
30°
解析
连接CD，
∵ED是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
设∠ABD=x，则∠DBC=∠DCB=x，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB=90°，
x+x+x=90°，
3x=90°，
x=30°，
∠ABD=30°
∵ED是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
设∠ABD=x，则∠DBC=∠DCB=x，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB=90°，
x+x+x=90°，
3x=90°，
x=30°，
∠ABD=30°
10. (新情境·现实生活)为了推进农村新型合作医疗改革,某镇准备新建一个医疗点 P,使点 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的距离都相等(A 村、B 村、C 村不在同一条直线上,地理位置如图所示). 请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置(不写作法,保留作图痕迹).
答案
10.如图，点P即为所求 解析:线段AB与线段AC的垂直平分线的交点P即为所求作的医疗点的位置.
11. 如图,D 是线段 BC 的中点,分别以点 B,C 为圆心,大于1/2BC 的长为半径画弧,两弧相交于点 A,连接 AB,AC,AD,E 为 AD 上一点,连接 BE,CE. 求证:BE= CE.
答案
11.
∵D是线段BC的中点,
∴BD=CD.根据画图过程,得AB=AC.在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴AD⊥BC,
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴BE=CE
∵D是线段BC的中点,
∴BD=CD.根据画图过程,得AB=AC.在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ADB=∠ADC=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴AD⊥BC,
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴BE=CE
12. 如图,AB= CD,AC,BD 的垂直平分线 EM,EN 相交于点 E,连接 BE,DE,BC. 求证:∠ABE= ∠CDE.
答案
12.如图,连接AE,CE.
∵AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.在△ABE和△CDE中,AB=CD,BE=DE,AE=CE,
∴ △ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE
