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12.当$x$取何值时，下列分式的值为零？
(1) $\frac{x+1}{x}$
(2) $\frac{x^2 - x}{x^2 -1}$
(3) $\frac{4 - x^2}{x + 2}$
(4) $\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9}$
(1) $\frac{x+1}{x}$
(2) $\frac{x^2 - x}{x^2 -1}$
(3) $\frac{4 - x^2}{x + 2}$
(4) $\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9}$
答案
12.(1)$x=-1$. (2)$x=0$. (3)$x=2$. (4)$x=3$.
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先明确分式值为0需同时满足两个核心条件：①分子的值为0；②分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先通过解方程求出使分子为0的x的所有可能取值，再逐一验证这些取值是否满足分母不为0，舍去使分母为0的增根，剩余的就是符合要求的x的值。
【解析】
分式值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
(1) 对于$\frac{x+1}{x}$：
令分子为0：$x+1=0$，解得$x=-1$；
验证分母：当$x=-1$时，分母$x=-1≠0$，符合要求。
(2) 对于$\frac{x^2 - x}{x^2 -1}$：
令分子为0：$x^2 -x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$；
验证分母：$x^2 -1=(x+1)(x-1)≠0$，即$x≠-1$且$x≠1$，舍去$x=1$，仅剩$x=0$符合要求。
(3) 对于$\frac{4 - x^2}{x + 2}$：
令分子为0：$4 - x^2=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
验证分母：$x+2≠0$，即$x≠-2$，舍去$x=-2$，仅剩$x=2$符合要求。
(4) 对于$\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9}$：
令分子为0：$x^2 -9=0$，解得$x=3$或$x=-3$；
验证分母：$x^2 +6x +9=(x+3)^2≠0$，即$x≠-3$，舍去$x=-3$，仅剩$x=3$符合要求。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=0$；(3)$x=2$；(4)$x=3$
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；因式分解的应用
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，解题关键是牢记分式值为0的两个必要条件，缺一不可，尤其不能忽略分母不为0的限制，否则容易产生增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先明确分式值为0需同时满足两个核心条件：①分子的值为0；②分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先通过解方程求出使分子为0的x的所有可能取值，再逐一验证这些取值是否满足分母不为0，舍去使分母为0的增根，剩余的就是符合要求的x的值。
【解析】
分式值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
(1) 对于$\frac{x+1}{x}$：
令分子为0：$x+1=0$，解得$x=-1$；
验证分母：当$x=-1$时，分母$x=-1≠0$，符合要求。
(2) 对于$\frac{x^2 - x}{x^2 -1}$：
令分子为0：$x^2 -x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$；
验证分母：$x^2 -1=(x+1)(x-1)≠0$，即$x≠-1$且$x≠1$，舍去$x=1$，仅剩$x=0$符合要求。
(3) 对于$\frac{4 - x^2}{x + 2}$：
令分子为0：$4 - x^2=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
验证分母：$x+2≠0$，即$x≠-2$，舍去$x=-2$，仅剩$x=2$符合要求。
(4) 对于$\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9}$：
令分子为0：$x^2 -9=0$，解得$x=3$或$x=-3$；
验证分母：$x^2 +6x +9=(x+3)^2≠0$，即$x≠-3$，舍去$x=-3$，仅剩$x=3$符合要求。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=0$；(3)$x=2$；(4)$x=3$
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；因式分解的应用
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，解题关键是牢记分式值为0的两个必要条件，缺一不可，尤其不能忽略分母不为0的限制，否则容易产生增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
13.当 x 取何值时，分式$\frac{x-4}{5-x}$的值为正数？
答案
13.$4＜x＜5$.
解析
【分析】
要判断分式的值为正数，需依据有理数除法“同号得正”的规则，可知分式的分子和分母符号相同，同时要保证分式有意义即分母不为0。因此我们可以将问题拆分为两种情况：分子分母同时为正、分子分母同时为负，分别列出一元一次不等式组求解，最后合并符合条件的解集即可。
【解析】
要使分式$\frac{x-4}{5-x}$的值为正数，需分子与分母同号，分两种情况讨论：
1. 当分子、分母均为正数时：
$\begin{cases}x-4＞0 \\5-x＞0\end{cases}$
解不等式$x-4＞0$，得$x＞4$；
解不等式$5-x＞0$，得$x＜5$；
因此该不等式组的解集为$4＜x＜5$。
2. 当分子、分母均为负数时：
$\begin{cases}x-4＜0 \\5-x＜0\end{cases}$
解不等式$x-4＜0$，得$x＜4$；
解不等式$5-x＜0$，得$x＞5$；
该不等式组无公共解集，无解。
综上，同时满足分式有意义、分式值为正的$x$的取值范围是$4＜x＜5$。
【答案】
$4＜x＜5$
【知识点】
1. 分式值的正负判断
2. 一元一次不等式组的解法
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，解题核心是将分式正负性的问题转化为不等式组问题求解，需要注意不要忽略分母不为0的隐含要求，熟练掌握不等式组的解集取法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断分式的值为正数，需依据有理数除法“同号得正”的规则，可知分式的分子和分母符号相同，同时要保证分式有意义即分母不为0。因此我们可以将问题拆分为两种情况：分子分母同时为正、分子分母同时为负，分别列出一元一次不等式组求解，最后合并符合条件的解集即可。
【解析】
要使分式$\frac{x-4}{5-x}$的值为正数，需分子与分母同号，分两种情况讨论：
1. 当分子、分母均为正数时：
$\begin{cases}x-4＞0 \\5-x＞0\end{cases}$
解不等式$x-4＞0$，得$x＞4$；
解不等式$5-x＞0$，得$x＜5$；
因此该不等式组的解集为$4＜x＜5$。
2. 当分子、分母均为负数时：
$\begin{cases}x-4＜0 \\5-x＜0\end{cases}$
解不等式$x-4＜0$，得$x＜4$；
解不等式$5-x＜0$，得$x＞5$；
该不等式组无公共解集，无解。
综上，同时满足分式有意义、分式值为正的$x$的取值范围是$4＜x＜5$。
【答案】
$4＜x＜5$
【知识点】
1. 分式值的正负判断
2. 一元一次不等式组的解法
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，解题核心是将分式正负性的问题转化为不等式组问题求解，需要注意不要忽略分母不为0的隐含要求，熟练掌握不等式组的解集取法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
