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$(x+a)(x-a)=\_\_\_\_\_\_;$
$(m+n)(m-n)=\_\_\_\_\_\_;$
$(x+2y)(x-2y)=\_\_\_\_\_\_.$
你有什么发现？
你的发现正确吗？
$(m+n)(m-n)=\_\_\_\_\_\_;$
$(x+2y)(x-2y)=\_\_\_\_\_\_.$
你有什么发现？
你的发现正确吗？
答案
解：
$(x+a)(x-a)=x^2 - a^2$；
$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$；
$(x+2y)(x-2y)=x^2 - 4y^2$。
发现：两个数的和与这两个数的差相乘，所得的结果等于这两个数的平方差。
验证正确性：根据多项式乘法运算法则展开$(a+b)(a-b)$：
$(a+b)(a-b)=a^2 -ab +ab -b^2 = a^2 - b^2$
展开后结果与两数平方差一致，因此上述发现是正确的。
$(x+a)(x-a)=x^2 - a^2$；
$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$；
$(x+2y)(x-2y)=x^2 - 4y^2$。
发现：两个数的和与这两个数的差相乘，所得的结果等于这两个数的平方差。
验证正确性：根据多项式乘法运算法则展开$(a+b)(a-b)$：
$(a+b)(a-b)=a^2 -ab +ab -b^2 = a^2 - b^2$
展开后结果与两数平方差一致，因此上述发现是正确的。
两数和与这两数差的乘法公式(平方差公式):
文字语言:两数和与这两数差的积,等于这两数的
符号语言:$(a+b)(a-b)=$
文字语言:两数和与这两数差的积,等于这两数的
平方差
.符号语言:$(a+b)(a-b)=$
$a^2-b^2$
.答案
平方差 $a^2-b^2$
(1) $(2m - 3n)(2m + 3n)$.
(2) $(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)$.
(3) $(x + 5)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)$.
答案:(1) $(2m - 3n)(2m + 3n) = (2m)^2 - (3n)^2 = 4m^2 - 9n^2$.
(2) $(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y) = (-y)^2 - (\frac{1}{3}x)^2 = y^2 - \frac{1}{9}x^2$.
(3) $(x + 5)(x - 1) - (x + 3)(x - 3) = x^2 + 4x - 5 - x^2 + 9 = 4x + 4$.
方法点拨 本题主要考查多项式乘以多项式和平方差公式,正确掌握多项式乘法法则和平方差公式是解题的关键.
(2) $(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)$.
(3) $(x + 5)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)$.
答案:(1) $(2m - 3n)(2m + 3n) = (2m)^2 - (3n)^2 = 4m^2 - 9n^2$.
(2) $(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y) = (-y)^2 - (\frac{1}{3}x)^2 = y^2 - \frac{1}{9}x^2$.
(3) $(x + 5)(x - 1) - (x + 3)(x - 3) = x^2 + 4x - 5 - x^2 + 9 = 4x + 4$.
方法点拨 本题主要考查多项式乘以多项式和平方差公式,正确掌握多项式乘法法则和平方差公式是解题的关键.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}(2m-3n)(2m+3n)&=(2m)^2-(3n)^2\\&=4m^2-9n^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(\frac{1}{3}x-y)(-\frac{1}{3}x-y)&=(-y+\frac{1}{3}x)(-y-\frac{1}{3}x)\\&=(-y)^2-(\frac{1}{3}x)^2\\&=y^2-\frac{1}{9}x^2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x+5)(x-1)-(x+3)(x-3)&=(x^2+4x-5)-(x^2-9)\\&=x^2+4x-5-x^2+9\\&=4x+4\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}(2m-3n)(2m+3n)&=(2m)^2-(3n)^2\\&=4m^2-9n^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(\frac{1}{3}x-y)(-\frac{1}{3}x-y)&=(-y+\frac{1}{3}x)(-y-\frac{1}{3}x)\\&=(-y)^2-(\frac{1}{3}x)^2\\&=y^2-\frac{1}{9}x^2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x+5)(x-1)-(x+3)(x-3)&=(x^2+4x-5)-(x^2-9)\\&=x^2+4x-5-x^2+9\\&=4x+4\end{aligned}$
例2 用平方差公式计算：
(1)$401×399$.
(2)$10\dfrac{2}{3}×9\dfrac{1}{3}$.
答案：(1) 原式$=(400 + 1)(400 - 1)=160000 - 1=159999$.
(2) 原式$=(10+\dfrac{2}{3})×(10-\dfrac{2}{3})=100-\dfrac{4}{9}=99\dfrac{5}{9}$.
方法点拨 本题主要考查平方差公式的应用，先对原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可.
(1)$401×399$.
(2)$10\dfrac{2}{3}×9\dfrac{1}{3}$.
答案：(1) 原式$=(400 + 1)(400 - 1)=160000 - 1=159999$.
(2) 原式$=(10+\dfrac{2}{3})×(10-\dfrac{2}{3})=100-\dfrac{4}{9}=99\dfrac{5}{9}$.
方法点拨 本题主要考查平方差公式的应用，先对原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可.
答案
解：
(1) 原式$=(400+1)(400-1)$
$=400^2 - 1^2$
$=160000 - 1$
$=159999$
(2) 原式$=(10+\dfrac{2}{3})×(10-\dfrac{2}{3})$
$=10^2 - (\dfrac{2}{3})^2$
$=100 - \dfrac{4}{9}$
$=99\dfrac{5}{9}$
(1) 原式$=(400+1)(400-1)$
$=400^2 - 1^2$
$=160000 - 1$
$=159999$
(2) 原式$=(10+\dfrac{2}{3})×(10-\dfrac{2}{3})$
$=10^2 - (\dfrac{2}{3})^2$
$=100 - \dfrac{4}{9}$
$=99\dfrac{5}{9}$
小明遇到下面一个问题:计算$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$.
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题.具体解法如下:
$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$=2^{16}-1$.
请你仿照小明解决问题的方法计算:
$(6+1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)(6^{8}+1)$.
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题.具体解法如下:
$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$=2^{16}-1$.
请你仿照小明解决问题的方法计算:
$(6+1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)(6^{8}+1)$.
答案
原式$=\frac{1}{5}×(6-1)(6+1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^2-1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^4-1)(6^4+1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^8-1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^{16}-1)$
$=\frac{6^{16}-1}{5}.$
$=\frac{1}{5}×(6^2-1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^4-1)(6^4+1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^8-1)(6^8+1)$
$=\frac{1}{5}×(6^{16}-1)$
$=\frac{6^{16}-1}{5}.$
