14. (2024·长春期末)某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为25米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,如图所示,两个场地各留一个1米宽的门(不用木栏),通道的宽HG也为1米(不用木栏).建成后木栏总长45米.设木栏CD的长为x米,解答下列问题:
(1)$BC=$______米.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为189平方米,求边BC的长.
(3)饲养场(矩形ABCD)的面积能达到240平方米吗?若能达到,求出边BC的长;若不能达到,请说明理由.

$(48 - 3x)$ ; 解：​$(2)$​设木栏​$CD$​的长为​$x$​米，则​$BC$​的长为​$(48 - 3x)$​米，依题意，得​$x(48 - 3x)=189，$​​$ \begin {aligned}x(48 - 3x)&=189\\48x-3x^2&=189\\3x^2-48x + 189&=0\\x ^2-16x + 63&=0\\(x - 7)(x - 9)&=0\end {aligned}$​​$ $​解得​$x_{1} = 7，$​​$x_{2} = 9，$​当​$x_{1} = 7$​时，​$48 - 3x = 48 - 3×7 = 27$​米​$＞25$​米，舍去，当​$x_{2} = 9$​时，​$48 - 3x = 48 - 3×9 = 21$​米​$＜25$​米，符合题意。 答：饲养场面积是​$189$​平方米，此时边​$BC$​的长为​$21$​米。​$ (3)$​饲养场​$($​矩形​$ABCD)$​的面积不能达到​$240$​平方米。理由如下：​$ $​设木栏​$CD$​的长为​$x$​米，则​$BC$​的长为​$(48 - 3x)$​米，依题意，得​$x(48 - 3x)=240，$​​$ \begin {aligned}x(48 - 3x)&=240\\48x-3x^2&=240\\3x^2-48x + 240&=0\\x ^2-16x + 80&=0\end {aligned}$​ ∵​$b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4×80 = 256 - 320$​​$=-64<0，$​∴​$x^2 - 16x + 80 = 0$​没有实数根，∴饲养场​$($​矩形​$ABCD)$​的面积不能达到​$240$​平方米。

15. 一个矩形纸片内放入两个边长分别为 3 cm和 4 cm 的小正方形纸片.按照图①放置时,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为 8 cm²;按照图②放置时,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 11 cm²;按照图③放置时,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）

A. 5 cm²
B. 6 cm²
C. 7 cm²
D. 8 cm²

C

16. (宜昌中考)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3、4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量;
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加$m\%$.5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求$m$的值;
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.

解：​$(1)$​设​$3$​月份再生纸产量为​$x$​吨，则​$4$​月份的再生纸产量为​$(2x - 100)$​吨，​$ $​由题意得​$x+(2x - 100)=800，$​​$ \begin {aligned}x+2x - 100&=800\\3x&=800 + 100\\3x&=900\\x &=300\end {aligned}$​ ∴​$2x - 100 = 2×300 - 100 = 500。$​故​$4$​月份再生纸的产量为​$500$​吨。​$ (2)$​由题意得​$500(1 + m\%)×1000(1+\frac {m}{2}\%) = 660000，$​​$ $​设​$m\% = t，$​则方程化为​$500(1 + t)×1000(1+\frac {t}{2}) = 660000，$​​$ \begin {aligned}(1 + t)(1+\frac {t}{2})&=\frac {660000}{500×1000}\\(1 + t)(1+\frac {t}{2})&=\frac {33}{250}\\1+\frac {t}{2}+t+\frac {t^2}{2}&=\frac {33}{250}\\250 + 125t+250t + 125t^2&=33\\125t^2+375t + 250 - 33&=0\\125t^2+375t + 217&=0\end {aligned}$​​$ $​根据求根公式​$t=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}(a = 125，$​​$b = 375，$​​$c = 217)，$​​$ \begin {aligned}t&=\frac {-375\pm \sqrt {375^2 - 4×125×217}}{2×125}\\&=\frac {-375\pm \sqrt {140625 - 108500}}{250}\\&=\frac {-375\pm \sqrt {32125}}{250}\\&=\frac {-375\pm 5\sqrt {1285}}{250}\\&=\frac {-75\pm \sqrt {1285}}{50}\end {aligned}$​​$ $​解得​$t_{1} = 0.2 = 20\%，$​​$t_{2}($​负值舍去​$)，$​∴​$m = 20，$​∴​$m $​的值为​$20。$​​$ (3)$​设​$4$​至​$6$​月每吨再生纸利润的月平均增长率为​$y，$
​​$5$​月份再生纸的产量为​$a$​吨，​$ 1200(1 + y)^2·a(1 + y)=(1 + 25\%)×1200·(1 + y)·a，$​​$ $​两边同时除以​$a(1 + y)(a\neq 0，$​​$y\neq - 1)$​得​$1200(1 + y)^2 = 1500，$​​$ \begin {aligned}(1 + y)^2&=\frac {1500}{1200}\\(1 + y)^2&=\frac {5}{4}\\1 + y&=\pm \frac {\sqrt {5}}{2}\end {aligned}$​​$ $​解得​$y_{1}=\frac {\sqrt {5}}{2}-1，$​​$y_{2}=-\frac {\sqrt {5}}{2}-1($​舍去​$)，$​所以​$6$​月份每吨再生纸的利润是​$1200(1 + y)^2 = 1500$​元。