3. 根据：$1+3+5= ( )^2$
$1+3+5+7= ( )^2$
$1+3+5+7+9= ( )^2$
推理：$1+3+5+7+9+…+95+97+99= ()^2$
$1+3+5+7+9+…+n= []^2$

$50$；$\frac{n+1}{2}$（对于最后一项填空，答案以表达式形式给出）

1. 首先观察给出的数列模式：
$1 + 3 + 5 = 3^2$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$
可以发现，连续奇数的和等于项数的平方。
2. 确定项数：
对于数列 $1+3+5+7+9+\ldots+95+97+99$，这是一个等差数列，首项为1，公差为2，末项为99。
使用公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n = 99, a_1 = 1, d = 2$，解得 $n = 50$。
因此，该数列有50项，所以和为 $50^2$。
3. 对于一般情况 $1+3+5+7+9+\ldots+n$：
假设n是奇数，项数为 $\frac{n+1}{2}$（因为这是一个等差为2的等差数列）。
所以和为 $\left(\frac{n+1}{2}\right)^2$。

4. 按上面的规律,巧算下面算式的和。
11+13+15+17+19+…+97+99

2475

首先确定这是一个等差数列，首项是11，末项是99，公差是2。
使用等差数列求和公式：$S = \frac{n}{2} × (a + l)$，其中$n$是项数，$a$是首项，$l$是末项。
先求项数$n$，由$a_n = a + (n - 1) × d$得：$99 = 11 + (n - 1) × 2$，解得$n = 45$。
再代入求和公式：$S = \frac{45}{2} × (11 + 99) = 2475$。
也可以根据规律，用(首项+末项)×项数÷2的方法直接算出。

5. 小探究：你能利用右图,说明$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$这一公式为什么成立吗？利用你所学的计算面积的知识,探索一下。

大正方形面积为$a^2$。右上角小正方形面积为$b^2$。左上角长方形面积为$b(a - b)$，右下角长方形面积为$b(a - b)$。阴影部分面积 = 大正方形面积 - 右上角小正方形面积 - 左上角长方形面积 - 右下角长方形面积，即$(a - b)^2 = a^2 - b^2 - b(a - b) - b(a - b)$。展开得$a^2 - b^2 - ab + b^2 - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$。故$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$成立。

(1) $1 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = ( )$

(1) 2

(2) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{512} + \frac{1}{1024} = ( )$

(2) $\frac{1023}{1024}$

2. 五位运动员参加羽毛球比赛,每两人要比赛一场。现在的情况是：①号运动员已经赛了4场,②号运动员赛了3场,③号运动员赛了2场,④号运动员赛了1场。请问⑤号运动员已经赛了几场？(提示：画图分别连线试一试)

用五个点分别表示五位运动员①②③④⑤，两人比赛一场则用线段连接两点。
①号赛4场，连接①-②、①-③、①-④、①-⑤。
④号赛1场，仅与①相连，不再与他人连接。
②号赛3场，已与①相连，还需连接2场，因④号不再连接，故连接②-③、②-⑤。
此时③号已连接①-③、②-③，共2场，符合条件。
⑤号连接了①-⑤、②-⑤，共2场。
答：⑤号运动员已经赛了2场。