5. 已知抛物线$y = ax^2 + bx + c与x轴交于A$,$B$两点,它们的横坐标分别是$-1和3$,与$y轴的交点C的纵坐标是3$,那么此抛物线对应的函数解析式是。

【解析】：
本题主要考察用待定系数法求二次函数的解析式。
已知抛物线与x轴交于A，B两点，它们的横坐标分别是-1和3，因此可以设抛物线的解析式为交点式：
$y = a(x + 1)(x - 3)$
又因为抛物线与y轴的交点C的纵坐标是3，即当$x=0$时，$y=3$。
将$x=0$，$y=3$代入上述解析式，得到：
$3 = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a$
解得：
$a = -1$
因此，抛物线的解析式为：
$y = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$
【答案】：
$y = -x^2 + 2x + 3$

6. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$($a \neq 0$)的图象如图所示。
(1) 该函数图象的对称轴是。

(2) 该函数的解析式是。
(3) 当$x$时,$y随x$的增大而减小。
(4) 由图象回答：当$y ＞ 0$时,$x$的取值范围是；当$y = 0$时,$x$的值是；当$y ＜ 0$时,$x$的取值范围是。

(1) 直线$x=-1$
(2) $y=x^2+2x-3$
(3) $＜ -1$
(4) $x ＜ -3$或$x ＞ 1$；$-3$或$1$；$-3 ＜ x ＜ 1$

7. 如图,二次函数的图象经过点$(0, -1)$,顶点坐标为$(2, 3)$。
(1) 求这个二次函数的解析式。
(2) 当$0 \leq x \leq 3$时,求$y$的取值范围。

【解析】：
(1)要求二次函数的解析式，我们可以使用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标。由题意知顶点坐标为$(2,3)$，所以$h=2$，$k=3$。
再根据二次函数图象经过点$(0,-1)$，我们可以将这个点的坐标代入顶点式中求解$a$。
即$-1=a(0-2)^2+3$，
$-1=4a+3$，
解得$a=-1$。
所以，这个二次函数的解析式为$y=-(x-2)^2+3$，
进一步展开得到$y=-x^2+4x-1$。
(2)要求$y$在$0\leq x\leq3$的取值范围，我们需要考虑二次函数的开口方向和顶点坐标。
由(1)知二次函数的解析式为$y=-x^2+4x-1$，这是一个开口向下的抛物线，因为$a=-1＜0$。
其顶点坐标为$(2,3)$，所以在$x=2$时，$y$取得最大值$3$。
接下来，我们需要找到在区间$0\leq x\leq3$内$y$的最小值。
由于抛物线开口向下，且顶点在区间内，所以最小值要么在区间的端点上取得。
当$x=0$时，$y=-(0-2)^2+3=-1$；
当$x=3$时，$y=-(3-2)^2+3=2$。
显然，在$x=0$时，$y$取得最小值$-1$。
所以，当$0\leq x\leq3$时，$y$的取值范围为$-1\leq y\leq3$。
【答案】：
(1)$y=-x^2+4x-1$；
(2)$-1\leq y\leq3$。

1. 在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示,则下列结论中正确的是()。

A.$ac ＞ 0$
B.$b^2 - 4ac ＜ 0$
C.$4a + 2b + c ＜ 0$
D.$b = 2a$

解：由图象可知：
抛物线开口向上，$a＞0$，与y轴交于负半轴，$c＜0$，则$ac＜0$，A错误；
抛物线与x轴有两个交点，$b^2-4ac＞0$，B错误；
对称轴为$x=1$，则$x=2$时的函数值与$x=0$时的函数值相等，$x=0$时，$y=c＜0$，故$4a+2b+c=c＜0$，C正确；
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，则$b=-2a$，D错误。
结论：C

2. 根据下列已知条件求二次函数的解析式。
(1) 已知一个二次函数的图象经过点$A(0, -1)$,$B(1, 0)$,$C(-1, 2)$。
(2) 已知一个二次函数的图象的顶点$P(-1, -8)$,且该二次函数的图象经过点$A(0, -6)$。
(3) 已知一个二次函数的图象经过点$A(-1, 0)$,$B(3, 0)$,$C(4, 10)$。
(4) 已知一个二次函数的图象经过点$(4, -3)$,并且当$x = 3$时有最大值4。
(5) 已知一个二次函数的图象经过一次函数$y = -x + 3的图象与x$轴、$y$轴的交点,且经过点$(1, 1)$。
(6) 已知一个二次函数的图象的顶点是$(1, 16)$,且该二次函数的图象与$x$轴的两交点间的距离为8。

(1)解：设二次函数解析式为$y = ax^2+bx + c(a\neq0)$，
将$A(0,-1)$，$B(1,0)$，$C(-1,2)$代入得：
$\begin{cases}c=-1\\a + b + c=0\\a - b + c=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\\c=-1\end{cases}$，
$\therefore$解析式为$y = 2x^2-x - 1$。
(2)解：设二次函数解析式为$y=a(x + 1)^2-8(a\neq0)$，
将$A(0,-6)$代入得：$a(0 + 1)^2-8=-6$，
解得$a=2$，
$\therefore$解析式为$y = 2(x + 1)^2-8=2x^2 + 4x-6$。
(3)解：设二次函数解析式为$y=a(x + 1)(x - 3)(a\neq0)$，
将$C(4,10)$代入得：$a(4 + 1)(4 - 3)=10$，
解得$a = 2$，
$\therefore$解析式为$y=2(x + 1)(x - 3)=2x^2-4x - 6$。
(4)解：设二次函数解析式为$y=a(x - 3)^2 + 4(a\neq0)$，
将$(4,-3)$代入得：$a(4 - 3)^2 + 4=-3$，
解得$a=-7$，
$\therefore$解析式为$y=-7(x - 3)^2 + 4=-7x^2 + 42x-59$。
(5)解：在$y=-x + 3$中，令$x = 0$得$y=3$；令$y = 0$得$x=3$，
$\therefore$交点为$(0,3)$，$(3,0)$，
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx + c(a\neq0)$，
将$(0,3)$，$(3,0)$，$(1,1)$代入得：
$\begin{cases}c=3\\9a + 3b + c=0\\a + b + c=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$，
$\therefore$解析式为$y=x^2-4x + 3$。
(6)解：$\because$顶点$(1,16)$，与$x$轴两交点距离为$8$，
$\therefore$两交点坐标为$(1-4,0)=(-3,0)$，$(1 + 4,0)=(5,0)$，
设解析式为$y=a(x + 3)(x - 5)(a\neq0)$，
将$(1,16)$代入得：$a(1 + 3)(1 - 5)=16$，
解得$a=-1$，
$\therefore$解析式为$y=-(x + 3)(x - 5)=-x^2 + 2x + 15$。