例 1 如图 1.1.2,在△ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,AF 是中线.则下列结论错误的是( )


A.$ BF = CF $
B.$ ∠BAE = ∠EAC $
C.$ ∠C + ∠CAD = 90^{\circ} $
D.$ S_{△BAE} = S_{△EAC} $

D

例 2 如图 1.1.3,已知 AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,$ BE = 5 $.
(1)若△AEC 的面积为 20,求 AD 的长；
(2)若 $ S_{△ABD} : S_{△ADC} = 2 : 3 $,求 DE 的长.

解：​(1)​∵​AE​是​∆ABC​的中线，∴​E​是​BC​的中点
∴​BE=CE=5​
∴$​S_{\triangle AEC}=\frac 12×EC×AD=20​$
即$​\frac 12×5×AD=20，$​解得​AD=8​
​(2)​∵​AD​是高，∴$​S_{\triangle ABD}=\frac 12×BD×AD，$$​​S_{\triangle ADC}=\frac 12×DC×AD​$
故$​S_{\triangle ABD}∶S_{\triangle ADC}=BD∶DC=2∶3​$
设​BD=2k，​​DC=3k，​则​BC=BD+DC=5k​
∵​AE​是中线，∴$​BE=\frac {BC}2=\frac {5k}2=5，$​解得​k=2​
∴​BC=10，​​BD=4，​​DC=6​
又∵​E​是​BC​中点，​BE=5，​∴​DE=BE - BD=5 - 4=1​

1. 如图,在△ABC 中,$ ∠1 = ∠2 $,G 为 AD 的中点,延长 BG 交 AC 于 E.F 为 AB 上一点,$ CF ⊥ AD $,垂足为 H,下列判断正确的有( )
① CH 是△ACD 边 AD 上的高；
② BE 是△ABD 边 AD 上的中线；
③ AD 是△ABE 的角平分线；
④ AH 是△ACF 的角平分线和高.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B