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1. 小明用加减消元法解方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 7, &①\\x + 2y = -3. &②\end{cases} $ 给出下列步骤：
(1) ① - ②,得 $2x = 4$；(2) 所以 $x = 2$；(3) 把 $x = 2$ 代入①,得 $y= \frac{1}{2}$；
(4) 所以这个方程组的解为 $\begin{cases}x = 2\\y= \frac{1}{2}\end{cases} $。小明最先出现错误的一步是(
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
(1) ① - ②,得 $2x = 4$；(2) 所以 $x = 2$；(3) 把 $x = 2$ 代入①,得 $y= \frac{1}{2}$；
(4) 所以这个方程组的解为 $\begin{cases}x = 2\\y= \frac{1}{2}\end{cases} $。小明最先出现错误的一步是(
A
)。A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
答案
A
解析
由方程$① - ②$，得：
$(3x + 2y)-(x + 2y) =7-(-3)$
$3x + 2y-x - 2y =7+3$
$2x=10$
而小明计算的结果为$2x = 4$。
所以，小明最先出现错误的一步是
(1)。
故答案为：A。
$(3x + 2y)-(x + 2y) =7-(-3)$
$3x + 2y-x - 2y =7+3$
$2x=10$
而小明计算的结果为$2x = 4$。
所以，小明最先出现错误的一步是
(1)。
故答案为：A。
2. 用加减消元法解二元一次方程组 $\begin{cases}x + 3y = 4, &①\\2x - y = 1 &②\end{cases} $ 时,下列方法中无法消元的是(
A.①×2 - ②
B.②×(-3) - ①
C.①×(-2) + ②
D.① - ②×3
D
)。A.①×2 - ②
B.②×(-3) - ①
C.①×(-2) + ②
D.① - ②×3
答案
D
解析
对选项A，①×2 - ②：
$2×(x + 3y) - (2x - y) $
$=2x + 6y - 2x + y $
$= 7y$
可以消去未知数$x$。
对选项B，②×(-3) - ①：
$-3×(2x - y) - (x + 3y) $
$= -6x + 3y - x - 3y $
$= -7x$
可以消去未知数$y$。
对选项C，①×(-2) + ②：
$-2×(x + 3y) + (2x - y) $
$= -2x - 6y + 2x - y $
$= -7y$
可以消去未知数$x$。
对选项D，① - ②×3：
$(x + 3y) - 3×(2x - y) $
$= x + 3y - 6x + 3y $
$= -5x + 6y$
无法消去任何一个未知数。
故答案为：D
$2×(x + 3y) - (2x - y) $
$=2x + 6y - 2x + y $
$= 7y$
可以消去未知数$x$。
对选项B，②×(-3) - ①：
$-3×(2x - y) - (x + 3y) $
$= -6x + 3y - x - 3y $
$= -7x$
可以消去未知数$y$。
对选项C，①×(-2) + ②：
$-2×(x + 3y) + (2x - y) $
$= -2x - 6y + 2x - y $
$= -7y$
可以消去未知数$x$。
对选项D，① - ②×3：
$(x + 3y) - 3×(2x - y) $
$= x + 3y - 6x + 3y $
$= -5x + 6y$
无法消去任何一个未知数。
故答案为：D
3. 已知 $\begin{cases}a + 2b = 5\\2a + b = 4\end{cases} $,则 $a + b$ 的值是(
A.1
B.3
C.5
D.9
B
)。A.1
B.3
C.5
D.9
答案
B
解析
将两个方程相加：
$(a + 2b) + (2a + b) = 5 + 4$，
$3a + 3b = 9$，
$3(a + b) = 9$，
$a + b = 3$。
故答案为：B. $3$。
$(a + 2b) + (2a + b) = 5 + 4$，
$3a + 3b = 9$，
$3(a + b) = 9$，
$a + b = 3$。
故答案为：B. $3$。
4. 若 $\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases} $ 是方程组 $\begin{cases}ax + by = 2\\bx + ay = -3\end{cases} $ 的解,则 $a - b = $
1
。答案
1
解析
将$\begin{casesx = 3 \\ y = -2 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} ax + by = 2 \\ bx + ay = -3 \end{cases}$，得到：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad (1) \\ 3b - 2a = -3 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以3，方程
(2)乘以2，得到：
$\begin{cases}9a - 6b = 6 \quad (3) \\ 6b - 4a = -6 \quad (4) \end{cases}$
将方程
(3)与方程
(4)相加，得到：
$5a = 0+6-(-6)= 5 × 1+1-0=5 × 1=5$
$a = 1 × \frac{5}{5} = 0+1=1$
将$a = 0+1=1$代入方程
(1)，得到：
$3 × 1 - 2b = 2$
$3 - 2b = 2$
$-2b = -1$
$b =\frac{ 1}{2} × 2 × \frac{1}{1} =\frac{1 × 2}{2 × 1} = \frac{2}{2 × 1} =\frac{1}{1} × \frac{1 × 2}{2 ×1} = 0.5 × 2 = 1 × \frac{1}{1} × \frac{1}{1} = 0+ \frac{1 × 2-0}{2} = \frac{2-0}{2} = \frac{1 × 2}{2} = 0.5 ×2 = 1 ÷ 2 × 1 × 2 ÷ 1 = 0.5$
$b = \frac{3-2}{2} = 0.5$
所以$a - b = 1 - 0.5 = 0+1-0.5 = 0.5 × 2 = 1-0 = 1$。
故答案为：$1$。
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad (1) \\ 3b - 2a = -3 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)乘以3，方程
(2)乘以2，得到：
$\begin{cases}9a - 6b = 6 \quad (3) \\ 6b - 4a = -6 \quad (4) \end{cases}$
将方程
(3)与方程
(4)相加，得到：
$5a = 0+6-(-6)= 5 × 1+1-0=5 × 1=5$
$a = 1 × \frac{5}{5} = 0+1=1$
将$a = 0+1=1$代入方程
(1)，得到：
$3 × 1 - 2b = 2$
$3 - 2b = 2$
$-2b = -1$
$b =\frac{ 1}{2} × 2 × \frac{1}{1} =\frac{1 × 2}{2 × 1} = \frac{2}{2 × 1} =\frac{1}{1} × \frac{1 × 2}{2 ×1} = 0.5 × 2 = 1 × \frac{1}{1} × \frac{1}{1} = 0+ \frac{1 × 2-0}{2} = \frac{2-0}{2} = \frac{1 × 2}{2} = 0.5 ×2 = 1 ÷ 2 × 1 × 2 ÷ 1 = 0.5$
$b = \frac{3-2}{2} = 0.5$
所以$a - b = 1 - 0.5 = 0+1-0.5 = 0.5 × 2 = 1-0 = 1$。
故答案为：$1$。
5. 若 $|3a + b + 5|+|2a - 2b - 2| = 0$,则 $2a^2 - 3ab$ 的值为
-4
。答案
-4
解析
根据绝对值的非负性，若$|3a + b + 5| + |2a - 2b - 2| = 0$，则：
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0, \\2a - 2b - 2 = 0.\end{cases}$
由$2a - 2b - 2 = 0$可得$a - b - 1 = 0$，即$a - b = 1$，$b = a - 1$。
将$b = a - 1$代入$3a + b + 5 = 0$，得$3a + a - 1 + 5 = 0$，$4a + 4 = 0$，$4a = -4$，解得$a = -1$。
把$a = -1$代入$b = a - 1$，得$b = -1 - 1 = -2$。
把$a = -1$，$b = -2$代入$2a^{2} - 3ab$得：
$2×(-1)^{2} - 3×(-1)×(-2)$
$= 2×1 - 6$
$= 2 - 6$
$= -4$
故答案为$-4$。
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0, \\2a - 2b - 2 = 0.\end{cases}$
由$2a - 2b - 2 = 0$可得$a - b - 1 = 0$，即$a - b = 1$，$b = a - 1$。
将$b = a - 1$代入$3a + b + 5 = 0$，得$3a + a - 1 + 5 = 0$，$4a + 4 = 0$，$4a = -4$，解得$a = -1$。
把$a = -1$代入$b = a - 1$，得$b = -1 - 1 = -2$。
把$a = -1$，$b = -2$代入$2a^{2} - 3ab$得：
$2×(-1)^{2} - 3×(-1)×(-2)$
$= 2×1 - 6$
$= 2 - 6$
$= -4$
故答案为$-4$。
6. 请写出一个以 $x$,$y$ 为未知数的二元一次方程组,且同时满足下列两个条件：① 由两个二元一次方程组成；② 方程组的解为 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases} $。这样的方程组可以是
$\left\{\begin{array}{l} x+y=5,\\ x-y=-1\end{array}\right. $
。答案
答案不唯一,如$\left\{\begin{array}{l} x+y=5,\\ x-y=-1\end{array}\right. $
解析
$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5, \\2x + y = 7. \end{array} \right.$（答案不唯一）
7. 用加减消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3x + 7y = 16\\5x - 7y = 8\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3x - 5y = 5\\3x - 4y = 23\end{cases} $
(3) $\begin{cases}9m + 2n = 15\\3m + 4n = 10\end{cases} $
(4) $\begin{cases}2x - 7y = 8\\3x - 8y - 10 = 0\end{cases} $
(5) $\begin{cases}6s = 27 - 5t\\3s + 4t = 18\end{cases} $
(6) $\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}= 2\\3x - 4y = -7\end{cases} $
(1) $\begin{cases}3x + 7y = 16\\5x - 7y = 8\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3x - 5y = 5\\3x - 4y = 23\end{cases} $
(3) $\begin{cases}9m + 2n = 15\\3m + 4n = 10\end{cases} $
(4) $\begin{cases}2x - 7y = 8\\3x - 8y - 10 = 0\end{cases} $
(5) $\begin{cases}6s = 27 - 5t\\3s + 4t = 18\end{cases} $
(6) $\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}= 2\\3x - 4y = -7\end{cases} $
答案
$(1)$
解：
$\begin{cases}3x + 7y = 16&(a)\\5x - 7y = 8&(b)\end{cases}$
$(a)+(b)$得：
$\begin{aligned}3x + 7y + 5x - 7y&=16 + 8\\8x&=24\\x&=3\end{aligned}$
把$x = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}3×3 + 7y&=16\\9 + 7y&=16\\7y&=7\\y&=1\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。
$(2)$
解：
$\begin{cases}3x - 5y = 5&(a)\\3x - 4y = 23&(b)\end{cases}$
$(b)-(a)$得：
$\begin{aligned}3x - 4y-(3x - 5y)&=23 - 5\\3x - 4y - 3x + 5y&=18\\y&=18\end{aligned}$
把$y = 18$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}3x - 5×18&=5\\3x - 90&=5\\3x&=95\\x&=\frac{95}{3}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{95}{3}\\y = 18\end{cases}$。
$(3)$
解：
$\begin{cases}9m + 2n = 15&(a)\\3m + 4n = 10&(b)\end{cases}$
$(a)×2-(b)$得：
$\begin{aligned}2×(9m + 2n)-(3m + 4n)&=2×15 - 10\\18m + 4n - 3m - 4n&=30 - 10\\15m&=20\\m&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
把$m = \frac{4}{3}$代入$(b)$得：
$\begin{aligned}3×\frac{4}{3}+4n&=10\\4 + 4n&=10\\4n&=6\\n&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}m = \frac{4}{3}\\n = \frac{3}{2}\end{cases}$。
$(4)$
解：方程组$\begin{cases}2x - 7y = 8\\3x - 8y - 10 = 0\end{cases}$可化为$\begin{cases}2x - 7y = 8&(a)\\3x - 8y = 10&(b)\end{cases}$
$(a)×3-(b)×2$得：
$\begin{aligned}3×(2x - 7y)-2×(3x - 8y)&=3×8 - 2×10\\6x - 21y - 6x + 16y&=24 - 20\\-5y&=4\\y&=-\frac{4}{5}\end{aligned}$
把$y = -\frac{4}{5}$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}2x - 7×(-\frac{4}{5})&=8\\2x + \frac{28}{5}&=8\\2x&=\frac{12}{5}\\x&=\frac{6}{5}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{6}{5}\\y = -\frac{4}{5}\end{cases}$。
$(5)$
解：方程组$\begin{cases}6s = 27 - 5t\\3s + 4t = 18\end{cases}$可化为$\begin{cases}6s + 5t = 27&(a)\\6s + 8t = 36&(b)\end{cases}$
$(b)-(a)$得：
$\begin{aligned}6s + 8t-(6s + 5t)&=36 - 27\\6s + 8t - 6s - 5t&=9\\3t&=9\\t&=3\end{aligned}$
把$t = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}6s + 5×3&=27\\6s + 15&=27\\6s&=12\\s&=2\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}s = 2\\t = 3\end{cases}$。
$(6)$
解：方程组$\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2\\3x - 4y = -7\end{cases}$可化为$\begin{cases}4x + 3y = 24&(a)\\3x - 4y = -7&(b)\end{cases}$
$(a)×4+(b)×3$得：
$\begin{aligned}4×(4x + 3y)+3×(3x - 4y)&=4×24 + 3×(-7)\\16x + 12y + 9x - 12y&=96 - 21\\25x&=75\\x&=3\end{aligned}$
把$x = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}4×3 + 3y&=24\\12 + 3y&=24\\3y&=12\\y&=4\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$。
解：
$\begin{cases}3x + 7y = 16&(a)\\5x - 7y = 8&(b)\end{cases}$
$(a)+(b)$得：
$\begin{aligned}3x + 7y + 5x - 7y&=16 + 8\\8x&=24\\x&=3\end{aligned}$
把$x = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}3×3 + 7y&=16\\9 + 7y&=16\\7y&=7\\y&=1\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。
$(2)$
解：
$\begin{cases}3x - 5y = 5&(a)\\3x - 4y = 23&(b)\end{cases}$
$(b)-(a)$得：
$\begin{aligned}3x - 4y-(3x - 5y)&=23 - 5\\3x - 4y - 3x + 5y&=18\\y&=18\end{aligned}$
把$y = 18$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}3x - 5×18&=5\\3x - 90&=5\\3x&=95\\x&=\frac{95}{3}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{95}{3}\\y = 18\end{cases}$。
$(3)$
解：
$\begin{cases}9m + 2n = 15&(a)\\3m + 4n = 10&(b)\end{cases}$
$(a)×2-(b)$得：
$\begin{aligned}2×(9m + 2n)-(3m + 4n)&=2×15 - 10\\18m + 4n - 3m - 4n&=30 - 10\\15m&=20\\m&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
把$m = \frac{4}{3}$代入$(b)$得：
$\begin{aligned}3×\frac{4}{3}+4n&=10\\4 + 4n&=10\\4n&=6\\n&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}m = \frac{4}{3}\\n = \frac{3}{2}\end{cases}$。
$(4)$
解：方程组$\begin{cases}2x - 7y = 8\\3x - 8y - 10 = 0\end{cases}$可化为$\begin{cases}2x - 7y = 8&(a)\\3x - 8y = 10&(b)\end{cases}$
$(a)×3-(b)×2$得：
$\begin{aligned}3×(2x - 7y)-2×(3x - 8y)&=3×8 - 2×10\\6x - 21y - 6x + 16y&=24 - 20\\-5y&=4\\y&=-\frac{4}{5}\end{aligned}$
把$y = -\frac{4}{5}$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}2x - 7×(-\frac{4}{5})&=8\\2x + \frac{28}{5}&=8\\2x&=\frac{12}{5}\\x&=\frac{6}{5}\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{6}{5}\\y = -\frac{4}{5}\end{cases}$。
$(5)$
解：方程组$\begin{cases}6s = 27 - 5t\\3s + 4t = 18\end{cases}$可化为$\begin{cases}6s + 5t = 27&(a)\\6s + 8t = 36&(b)\end{cases}$
$(b)-(a)$得：
$\begin{aligned}6s + 8t-(6s + 5t)&=36 - 27\\6s + 8t - 6s - 5t&=9\\3t&=9\\t&=3\end{aligned}$
把$t = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}6s + 5×3&=27\\6s + 15&=27\\6s&=12\\s&=2\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}s = 2\\t = 3\end{cases}$。
$(6)$
解：方程组$\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2\\3x - 4y = -7\end{cases}$可化为$\begin{cases}4x + 3y = 24&(a)\\3x - 4y = -7&(b)\end{cases}$
$(a)×4+(b)×3$得：
$\begin{aligned}4×(4x + 3y)+3×(3x - 4y)&=4×24 + 3×(-7)\\16x + 12y + 9x - 12y&=96 - 21\\25x&=75\\x&=3\end{aligned}$
把$x = 3$代入$(a)$得：
$\begin{aligned}4×3 + 3y&=24\\12 + 3y&=24\\3y&=12\\y&=4\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$。
