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23. (本小题满分 14 分)
如图,$AD为圆内接三角形ABC的外角\angle EAC$的平分线,它与圆交于点$D$,$F为BC$上的点。
(1)求证：$BD= DC$。
(2)请你再补充一个条件,使直线$DF$一定经过圆心,并说明理由。
(1)证明:$\because \angle CDB=\angle CAB,\angle CAD=\angle CBD$,$\therefore \angle CBD+\angle CDB=\angle CAB+\angle CAD$.$\because \angle DAE+\angle CAD+\angle CAB=180^{\circ}$,$\angle CDB+\angle CBD+\angle DCB=180^{\circ}$,$\therefore \angle DAE=\angle DCB$.又$\because AD$是$\angle EAC$的平分线,$\therefore \angle DAE=\angle CAD=\angle CBD=\angle DCB$,$\therefore \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DC=DB$.
(2)解:F为BC的中点.理由如下:$\because \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DF$是底边中线.$\because$三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,$\therefore DF$必过圆心.
如图,$AD为圆内接三角形ABC的外角\angle EAC$的平分线,它与圆交于点$D$,$F为BC$上的点。
(1)求证：$BD= DC$。
(2)请你再补充一个条件,使直线$DF$一定经过圆心,并说明理由。
(1)证明:$\because \angle CDB=\angle CAB,\angle CAD=\angle CBD$,$\therefore \angle CBD+\angle CDB=\angle CAB+\angle CAD$.$\because \angle DAE+\angle CAD+\angle CAB=180^{\circ}$,$\angle CDB+\angle CBD+\angle DCB=180^{\circ}$,$\therefore \angle DAE=\angle DCB$.又$\because AD$是$\angle EAC$的平分线,$\therefore \angle DAE=\angle CAD=\angle CBD=\angle DCB$,$\therefore \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DC=DB$.
(2)解:F为BC的中点.理由如下:$\because \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DF$是底边中线.$\because$三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,$\therefore DF$必过圆心.
答案
(1)证明:$\because \angle CDB=\angle CAB,\angle CAD=\angle CBD$,$\therefore \angle CBD+\angle CDB=\angle CAB+\angle CAD$.$\because \angle DAE+\angle CAD+\angle CAB=180^{\circ}$,$\angle CDB+\angle CBD+\angle DCB=180^{\circ}$,$\therefore \angle DAE=\angle DCB$.又$\because AD$是$\angle EAC$的平分线,$\therefore \angle DAE=\angle CAD=\angle CBD=\angle DCB$,$\therefore \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DC=DB$.
(2)解:F为BC的中点.理由如下:$\because \triangle DBC$是等腰三角形,$\therefore DF$是底边中线.$\because$三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,$\therefore DF$必过圆心.
