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1. 下列方程中二元一次方程有 （
①$xy=1$；②$3x - y = 1$；③$x + \frac{1}{y}=2$；④$x^2 + x - 3 = 0$；⑤$2x + 3y = 7$；⑥$x^2 - 2y = 1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$xy=1$；②$3x - y = 1$；③$x + \frac{1}{y}=2$；④$x^2 + x - 3 = 0$；⑤$2x + 3y = 7$；⑥$x^2 - 2y = 1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：一是方程中一共含有2个不同的未知数；二是含有未知数的项的次数都是1；三是方程为整式方程（分母中不含未知数）。接下来把每个式子依次对照这三个标准判断，统计符合条件的式子数量就能得出答案。
【解析】
根据二元一次方程的定义逐一判断：
①$xy=1$：含未知数的项$xy$的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程；
②$3x - y = 1$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合要求，属于二元一次方程；
③$x + \frac{1}{y}=2$：分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
④$x^2 + x - 3 = 0$：只含有$x$1个未知数，且$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合要求；
⑤$2x + 3y = 7$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合要求，属于二元一次方程；
⑥$x^2 - 2y = 1$：$x$的最高次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程。
综上，符合条件的二元一次方程共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题核心是牢牢把握二元一次方程的三个判断要点，尤其要注意不要混淆单个未知数的次数和含未知数的项的次数，同时要牢记分母含未知数的方程不属于整式方程，自然也不可能是二元一次方程。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：一是方程中一共含有2个不同的未知数；二是含有未知数的项的次数都是1；三是方程为整式方程（分母中不含未知数）。接下来把每个式子依次对照这三个标准判断，统计符合条件的式子数量就能得出答案。
【解析】
根据二元一次方程的定义逐一判断：
①$xy=1$：含未知数的项$xy$的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程；
②$3x - y = 1$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合要求，属于二元一次方程；
③$x + \frac{1}{y}=2$：分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
④$x^2 + x - 3 = 0$：只含有$x$1个未知数，且$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合要求；
⑤$2x + 3y = 7$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合要求，属于二元一次方程；
⑥$x^2 - 2y = 1$：$x$的最高次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程。
综上，符合条件的二元一次方程共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题核心是牢牢把握二元一次方程的三个判断要点，尤其要注意不要混淆单个未知数的次数和含未知数的项的次数，同时要牢记分母含未知数的方程不属于整式方程，自然也不可能是二元一次方程。
【难度系数】
0.7
2.若方程组$\begin{cases}4x+3y=1, \\ax-(a-1)y=3\end{cases}$的解$x$与$y$互为相反数，则$a$的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先抓住题干关键条件“x与y互为相反数”，根据相反数的性质可得y=-x；接下来将y=-x代入第一个不含参数的方程，即可求出x、y的具体值；最后把求得的x、y代入第二个含参数a的方程，解关于a的一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
∵ x与y互为相反数
∴ y = -x
将y=-x代入方程4x+3y=1，得：
4x + 3×(-x) = 1
化简得：x = 1
则y = -x = -1
把x=1，y=-1代入方程ax-(a-1)y=3，得：
a×1 - (a-1)×(-1) = 3
去括号得：a + a - 1 = 3
移项合并同类项得：2a = 4
解得：a = 2
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础的参数求解问题，核心是利用题目给出的x和y的特殊关系先确定方程组的解，再代入含参数的方程计算即可，解题时注意代入计算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题干关键条件“x与y互为相反数”，根据相反数的性质可得y=-x；接下来将y=-x代入第一个不含参数的方程，即可求出x、y的具体值；最后把求得的x、y代入第二个含参数a的方程，解关于a的一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
∵ x与y互为相反数
∴ y = -x
将y=-x代入方程4x+3y=1，得：
4x + 3×(-x) = 1
化简得：x = 1
则y = -x = -1
把x=1，y=-1代入方程ax-(a-1)y=3，得：
a×1 - (a-1)×(-1) = 3
去括号得：a + a - 1 = 3
移项合并同类项得：2a = 4
解得：a = 2
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础的参数求解问题，核心是利用题目给出的x和y的特殊关系先确定方程组的解，再代入含参数的方程计算即可，解题时注意代入计算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=3k, \\x-y=7k\end{cases}$的解满足方程$2x+3y=6$，则$k$的值为（ ）
A.$-\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A.$-\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题可以按三步思考：第一步，把参数k当作已知数，用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，用含k的式子分别表示出x和y的值；第二步，因为方程组的解满足方程2x+3y=6，将用k表示的x、y代入这个方程，就能得到仅含参数k的一元一次方程；第三步，解这个一元一次方程求出k的值，对应选择正确选项即可。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}x+y=3k&① \\x-y=7k&②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：$x+y+x-y=3k+7k$，化简得$2x=10k$，解得$x=5k$。
把$x=5k$代入①式，得$5k+y=3k$，解得$y=3k-5k=-2k$。
因为方程组的解满足$2x+3y=6$，将$x=5k$，$y=-2k$代入该方程，得：
$2×5k + 3×(-2k)=6$
化简左边得$10k-6k=4k$，即$4k=6$，解得$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次方程的求解，二元一次方程的解
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组基础题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程组的解，再代入满足的方程求解参数，是方程部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决本题可以按三步思考：第一步，把参数k当作已知数，用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，用含k的式子分别表示出x和y的值；第二步，因为方程组的解满足方程2x+3y=6，将用k表示的x、y代入这个方程，就能得到仅含参数k的一元一次方程；第三步，解这个一元一次方程求出k的值，对应选择正确选项即可。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}x+y=3k&① \\x-y=7k&②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：$x+y+x-y=3k+7k$，化简得$2x=10k$，解得$x=5k$。
把$x=5k$代入①式，得$5k+y=3k$，解得$y=3k-5k=-2k$。
因为方程组的解满足$2x+3y=6$，将$x=5k$，$y=-2k$代入该方程，得：
$2×5k + 3×(-2k)=6$
化简左边得$10k-6k=4k$，即$4k=6$，解得$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次方程的求解，二元一次方程的解
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组基础题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程组的解，再代入满足的方程求解参数，是方程部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的,现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟.则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需
40
分钟.答案
4.40
解析
【分析】
首先明确题目中有两个未知量：加工1个甲种零件的时间、加工1个乙种零件的时间，我们可以通过设未知数，根据题目给出的两个总时间的等量关系列出二元一次方程组，求解出单个甲、乙零件的加工时间后，再计算加工2个甲和4个乙的总时间；也可以通过对两个方程做整体变形，直接求出目标式的值，简化计算。
【解析】
设李师傅加工1个甲种零件需要$x$分钟，加工1个乙种零件需要$y$分钟。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 5y = 55 \quad \mathrm{①} \\4x + 9y = 85 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
方法一：解方程组
①×4得：$12x + 20y = 220$ ③
②×3得：$12x + 27y = 255$ ④
④-③得：$7y = 35$，解得$y=5$
把$y=5$代入①得：$3x + 5×5 = 55$，解得$x=10$
则加工2个甲种零件和4个乙种零件的总时间为：$2x + 4y = 2×10 + 4×5 = 20 + 20 = 40$（分钟）
方法二：整体计算
①+②得：$7x + 14y = 140$
两边同时除以7得：$x + 2y = 20$
则$2x + 4y = 2(x + 2y) = 2×20 = 40$（分钟）
【答案】
40
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题属于常规的方程应用类题目，解题核心是找准题干中的等量关系建立方程，既可以按常规步骤解方程组求出单个量再计算，也可以观察目标式的结构用整体思想简化运算，能有效考察学生的方程应用能力和计算灵活性。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中有两个未知量：加工1个甲种零件的时间、加工1个乙种零件的时间，我们可以通过设未知数，根据题目给出的两个总时间的等量关系列出二元一次方程组，求解出单个甲、乙零件的加工时间后，再计算加工2个甲和4个乙的总时间；也可以通过对两个方程做整体变形，直接求出目标式的值，简化计算。
【解析】
设李师傅加工1个甲种零件需要$x$分钟，加工1个乙种零件需要$y$分钟。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 5y = 55 \quad \mathrm{①} \\4x + 9y = 85 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
方法一：解方程组
①×4得：$12x + 20y = 220$ ③
②×3得：$12x + 27y = 255$ ④
④-③得：$7y = 35$，解得$y=5$
把$y=5$代入①得：$3x + 5×5 = 55$，解得$x=10$
则加工2个甲种零件和4个乙种零件的总时间为：$2x + 4y = 2×10 + 4×5 = 20 + 20 = 40$（分钟）
方法二：整体计算
①+②得：$7x + 14y = 140$
两边同时除以7得：$x + 2y = 20$
则$2x + 4y = 2(x + 2y) = 2×20 = 40$（分钟）
【答案】
40
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题属于常规的方程应用类题目，解题核心是找准题干中的等量关系建立方程，既可以按常规步骤解方程组求出单个量再计算，也可以观察目标式的结构用整体思想简化运算，能有效考察学生的方程应用能力和计算灵活性。
【难度系数】
0.8
5.已知方程$(a-1)x^{|a|}+(b+1)y^{2b-1}=3$是二元一次方程，则$a=$
-1
，$b=$1
。答案
5.-1 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，意味着两个未知数的系数都不能为0，否则就只剩1个未知数；二是未知数的最高次数为1，即x、y的指数都等于1。我们可以分别针对x和y的指数、系数列条件，求解a和b的取值，最后还要验证是否符合所有条件。
【解析】
根据二元一次方程的定义：
1. 求解a的取值：
未知数x的次数为1，因此$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
同时x的系数不能为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$；
综上可得$a=-1$。
2. 求解b的取值：
未知数y的次数为1，因此$2b-1=1$，解方程得$2b=2$，即$b=1$；
同时y的系数不能为0，即$b+1≠0$，代入$b=1$得$1+1=2≠0$，符合要求。
【答案】
-1；1
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的运算，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记二元一次方程的隐含条件：两个未知数的系数均不为0，避免遗漏该条件导致误算a=1的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，意味着两个未知数的系数都不能为0，否则就只剩1个未知数；二是未知数的最高次数为1，即x、y的指数都等于1。我们可以分别针对x和y的指数、系数列条件，求解a和b的取值，最后还要验证是否符合所有条件。
【解析】
根据二元一次方程的定义：
1. 求解a的取值：
未知数x的次数为1，因此$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
同时x的系数不能为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$；
综上可得$a=-1$。
2. 求解b的取值：
未知数y的次数为1，因此$2b-1=1$，解方程得$2b=2$，即$b=1$；
同时y的系数不能为0，即$b+1≠0$，代入$b=1$得$1+1=2≠0$，符合要求。
【答案】
-1；1
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的运算，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记二元一次方程的隐含条件：两个未知数的系数均不为0，避免遗漏该条件导致误算a=1的错误。
【难度系数】
0.7
6.甲、乙二人解方程组$\begin{cases}ax+y=2,\\2x-by=1,\end{cases}$甲看错a
得解$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$乙看错b得解$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$则$a=$ ______ ,$b=$ ______ ;若都不看错,方程组的解为 ______ .
得解$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$乙看错b得解$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$则$a=$ ______ ,$b=$ ______ ;若都不看错,方程组的解为 ______ .
答案
6.0 1 $\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=2\end{cases}$
解析
【分析】
解题的关键是明确“看错系数”的含义：甲看错a，说明甲得到的解不满足第一个方程，但满足没看错的第二个方程，代入第二个方程即可求出b的值；乙看错b，说明乙得到的解不满足第二个方程，但满足没看错的第一个方程，代入第一个方程即可求出a的值。得到a、b的正确值后，代入原方程组，用代入消元法就能求出正确的方程组解。
【解析】
1. 求$b$的值：
甲看错$a$，因此$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$满足方程$2x-by=1$，代入得：
$2×1 - b×1 = 1$
即$2 - b = 1$，解得$b=1$。
2. 求$a$的值：
乙看错$b$，因此$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$满足方程$ax+y=2$，代入得：
$a×1 + 2 = 2$
解得$a=0$。
3. 求正确的方程组解：
把$a=0$，$b=1$代入原方程组，得：
$\begin{cases}0· x + y = 2\\2x - y = 1\end{cases}$，化简为$\begin{cases}y=2\\2x - y =1\end{cases}$
把$y=2$代入$2x - y=1$，得$2x -2 =1$，解得$x=\frac{3}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=2\end{cases}$。
【答案】
0；1；$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\\y=2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题突破口是明确看错某一系数时，所得解仍满足不含该系数的方程，属于方程组部分的典型基础应用题，熟练掌握该类题型的解题逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确“看错系数”的含义：甲看错a，说明甲得到的解不满足第一个方程，但满足没看错的第二个方程，代入第二个方程即可求出b的值；乙看错b，说明乙得到的解不满足第二个方程，但满足没看错的第一个方程，代入第一个方程即可求出a的值。得到a、b的正确值后，代入原方程组，用代入消元法就能求出正确的方程组解。
【解析】
1. 求$b$的值：
甲看错$a$，因此$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$满足方程$2x-by=1$，代入得：
$2×1 - b×1 = 1$
即$2 - b = 1$，解得$b=1$。
2. 求$a$的值：
乙看错$b$，因此$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$满足方程$ax+y=2$，代入得：
$a×1 + 2 = 2$
解得$a=0$。
3. 求正确的方程组解：
把$a=0$，$b=1$代入原方程组，得：
$\begin{cases}0· x + y = 2\\2x - y = 1\end{cases}$，化简为$\begin{cases}y=2\\2x - y =1\end{cases}$
把$y=2$代入$2x - y=1$，得$2x -2 =1$，解得$x=\frac{3}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=2\end{cases}$。
【答案】
0；1；$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\\y=2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题突破口是明确看错某一系数时，所得解仍满足不含该系数的方程，属于方程组部分的典型基础应用题，熟练掌握该类题型的解题逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.7
7.已知$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$的解，求$m+n$的值.
答案
7.$m+n=-1$
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组解的定义：方程组的解能让方程组中每个方程的左右两边都相等。我们只需将已知的解$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$分别代入方程组的两个方程中，就能得到两个关于m、n的一元一次方程，分别求解得到m和n的值后，再计算二者的和即可。
【解析】
解：
∵$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$的解
∴将$x=2$，$y=1$代入第一个方程$2x+(m-1)y=2$，得：
$2×2 + (m-1)×1 = 2$
化简得：$4 + m - 1 = 2$
解得：$m=-1$
再将$x=2$，$y=1$代入第二个方程$nx+y=1$，得：
$2n + 1 = 1$
化简得：$2n=0$
解得：$n=0$
因此$m+n=-1+0=-1$
【答案】
$m+n=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二元一次方程组解的概念的应用，解题思路简单直接，代入后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题时注意对应字母的数值不要代错即可。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二元一次方程组解的定义：方程组的解能让方程组中每个方程的左右两边都相等。我们只需将已知的解$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$分别代入方程组的两个方程中，就能得到两个关于m、n的一元一次方程，分别求解得到m和n的值后，再计算二者的和即可。
【解析】
解：
∵$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$的解
∴将$x=2$，$y=1$代入第一个方程$2x+(m-1)y=2$，得：
$2×2 + (m-1)×1 = 2$
化简得：$4 + m - 1 = 2$
解得：$m=-1$
再将$x=2$，$y=1$代入第二个方程$nx+y=1$，得：
$2n + 1 = 1$
化简得：$2n=0$
解得：$n=0$
因此$m+n=-1+0=-1$
【答案】
$m+n=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二元一次方程组解的概念的应用，解题思路简单直接，代入后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题时注意对应字母的数值不要代错即可。
【难度系数】
0.9
8.小明在某商店两次购买商品A,B的数量和费用如下表：
若小明需要购买3个商品A和2个商品B,则他要花费
（
A.64元
B.65元
C.66元
D.67元
若小明需要购买3个商品A和2个商品B,则他要花费
（
C
）A.64元
B.65元
C.66元
D.67元
答案
8.C
解析
【分析】要计算购买3个商品A和2个商品B的花费，首先需要求出商品A、B各自的单价。我们可以设两个未知数，根据表格中两次购物的数量和总费用，列出二元一次方程组，求解得到单价后，再代入计算目标购买数量的总费用即可。
【解析】设商品A的单价为$ x $元，商品B的单价为$ y $元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}4x + 3y = 93 \\6x + 6y = 162\end{cases}$
先化简第二个方程，两边同时除以6得：$ x + y = 27 $，变形得$ y = 27 - x $。
将$ y = 27 - x $代入第一个方程：
$ 4x + 3(27 - x) = 93 $
展开计算：$ 4x + 81 - 3x = 93 $
解得：$ x = 12 $
把$ x=12 $代入$ y = 27 - x $，得$ y = 27 - 12 = 15 $
所以购买3个商品A和2个商品B的总费用为：$ 3×12 + 2×15 = 36 + 30 = 66 $（元）
【答案】C
【知识点】1.二元一次方程组的应用 2.二元一次方程组的求解
【点评】本题是典型的消费类实际应用题，解题核心是从表格数据中提取正确的等量关系列出方程组，计算过程简单，只要细心求解就能得出正确结果。
【难度系数】0.8
【解析】设商品A的单价为$ x $元，商品B的单价为$ y $元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}4x + 3y = 93 \\6x + 6y = 162\end{cases}$
先化简第二个方程，两边同时除以6得：$ x + y = 27 $，变形得$ y = 27 - x $。
将$ y = 27 - x $代入第一个方程：
$ 4x + 3(27 - x) = 93 $
展开计算：$ 4x + 81 - 3x = 93 $
解得：$ x = 12 $
把$ x=12 $代入$ y = 27 - x $，得$ y = 27 - 12 = 15 $
所以购买3个商品A和2个商品B的总费用为：$ 3×12 + 2×15 = 36 + 30 = 66 $（元）
【答案】C
【知识点】1.二元一次方程组的应用 2.二元一次方程组的求解
【点评】本题是典型的消费类实际应用题，解题核心是从表格数据中提取正确的等量关系列出方程组，计算过程简单，只要细心求解就能得出正确结果。
【难度系数】0.8
