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10. [2025扬州邗江区期中]关于x的方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解是$x_1 = -2, x_2 = 1$（$a,m,b$均为常数，$a≠0$），则方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$的解是（
A.$x_1 = -1, x_2 = -4$
B.$x_1 = -2, x_2 = 1$
C.$x_1 = 1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -5, x_2 = -2$
D
）A.$x_1 = -1, x_2 = -4$
B.$x_1 = -2, x_2 = 1$
C.$x_1 = 1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -5, x_2 = -2$
答案
D 由方程 $a(x+m+3)^2 + b = 0$,得 $a(x+3+m)^2 + b = 0(*)$. 将 $(x+3)$ 看作一个整体, 即 $a[(x+3)+m]^2 + b = 0$. 因为关于 $x$ 的方程 $a(x+m)^2 + b = 0$ 的解是 $x_1 = -2,x_2 = 1$, 所以 $x+3 = -2$ 或 $x+3 = 1$, 所以 $(*)$ 的解是 $x_1 = -5,x_2 = -2$.
11. 易错题 已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程$(x - 3)^2 = 4$的根，则此三角形的周长为
15
。答案
15 解一元二次方程 $(x-3)^2 = 4$,得 $x_1 = 5,x_2 = 1$. 若三角形的第三边长为 5,则三角形的三边长分别为 4,5,6,其周长为 $4+5+6=15$; 若三角形的第三边长为 $1,6-4=2＞1$,则不能构成三角形(三角形的三边关系). 所以此三角形的周长是 15.
12. 易错题 在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 $a*b = a^2 - b^2$，根据这个规则，方程 $(2x + 3)*7 = 0$ 的解为
$x=2$
。答案
$x=2$ 由题意,得 $(2x + 3) * 7 = (2x + 3)^2 - 7^2 = 0$, 即 $(2x + 3)^2 = 7^2$, 解得 $x_1 = 2,x_2 = -5. \because 2x + 3$ 是正实数, $\therefore x = 2$.
13. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)$的两个根分别是$m + 1$和$2m - 4$，则$\frac{b}{a} - 4 =$
0
。答案
0 由 $ax^2 = b(ab ＞ 0)$,得 $x^2 = \frac{b}{a}$, 所以 $x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$, 所以方程的两个根互为相反数, 所以 $m + 1 + 2m - 4 = 0$, 解得 $m = 1$, 所以一元二次方程 $ax^2 = b(ab ＞ 0)$ 的两个根分别为 2 和 $-2$, 所以 $\frac{b}{a} = 4$, 所以 $\frac{b}{a} - 4 = 0$.
14. 易错题 [2025 盐城大丰区期中]若$(a^2 + b^2)^2 - 3 = 0$，
则代数式$a^2 + b^2$的值为
则代数式$a^2 + b^2$的值为
$\sqrt{3}$
.答案
$\sqrt{3}$ 令 $t = a^2 + b^2, \therefore t^2 = 3, \therefore t_1 = \sqrt{3},t_2 = -\sqrt{3}. \because a^2 + b^2 ≥ 0, \therefore a^2 + b^2 = \sqrt{3}$.
15. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$(2x - 1)^2 - 9x^2 = 0$；
(2)$4(2y - 5)^2 = 9(3y - 1)^2$。
(1)$(2x - 1)^2 - 9x^2 = 0$；
(2)$4(2y - 5)^2 = 9(3y - 1)^2$。
答案
解:(1)整理,得 $(2x - 1)^2 = (3x)^2$.
$\because (2x - 1)$ 是 $(3x)^2$ 的平方根,
$\therefore 2x - 1 = \pm 3x$, 即 $2x - 1 = 3x$ 或 $2x - 1 = -3x$,
$\therefore x_1 = -1,x_2 = \frac{1}{5}$.
(2)方程两边都除以 4,得 $(2y - 5)^2 = \frac{9}{4}(3y - 1)^2$.
$\because (2y - 5)$ 是 $\frac{9}{4}(3y - 1)^2$ 的平方根,
$\therefore 2y - 5 = \pm \frac{3}{2}(3y - 1)$,
$\therefore y_1 = -\frac{7}{5},y_2 = 1$.
$\because (2x - 1)$ 是 $(3x)^2$ 的平方根,
$\therefore 2x - 1 = \pm 3x$, 即 $2x - 1 = 3x$ 或 $2x - 1 = -3x$,
$\therefore x_1 = -1,x_2 = \frac{1}{5}$.
(2)方程两边都除以 4,得 $(2y - 5)^2 = \frac{9}{4}(3y - 1)^2$.
$\because (2y - 5)$ 是 $\frac{9}{4}(3y - 1)^2$ 的平方根,
$\therefore 2y - 5 = \pm \frac{3}{2}(3y - 1)$,
$\therefore y_1 = -\frac{7}{5},y_2 = 1$.
16. 小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法.
例:解方程$x(x+4)=6$.
解:原方程变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$,即$(x+2)^2 -2^2=6$,
移项,得$(x+2)^2=6+2^2$,即$(x+2)^2=10$.
直接开平方,得$x+2=\pm\sqrt{10}$,
所以$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
请用“平均数法”解方程:$(x-5)(x+3)=6$.
例:解方程$x(x+4)=6$.
解:原方程变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$,即$(x+2)^2 -2^2=6$,
移项,得$(x+2)^2=6+2^2$,即$(x+2)^2=10$.
直接开平方,得$x+2=\pm\sqrt{10}$,
所以$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
请用“平均数法”解方程:$(x-5)(x+3)=6$.
答案
解:$(x-5)(x+3)=6$ 变形,得 $[(x-1)-4][(x-1)+4] = 6$, 即 $(x-1)^2 - 4^2 = 6$,
移项,得 $(x-1)^2 = 6 + 4^2$, 即 $(x-1)^2 = 22$.
直接开平方,得 $x-1 = \pm \sqrt{22}$,
所以 $x_1 = 1 + \sqrt{22},x_2 = 1 - \sqrt{22}$.
移项,得 $(x-1)^2 = 6 + 4^2$, 即 $(x-1)^2 = 22$.
直接开平方,得 $x-1 = \pm \sqrt{22}$,
所以 $x_1 = 1 + \sqrt{22},x_2 = 1 - \sqrt{22}$.
17. 模型观念定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1$，$[-1.4]=-2$，$[-3]=-3$.函数$y=[x]$在$-2≤ x ＜2$范围内的图像如图所示，试求在$-2≤ x ＜2$范围内满足$[x]=\frac{1}{2}x^2$的$x$的值.
答案
解:当 $1≤ x ＜ 2$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = 1$, 解得 $x_1 = -\sqrt{2}$(不合题意,舍去),$x_2 = \sqrt{2}$;
当 $0≤ x ＜ 1$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = 0$, 解得 $x_3 = x_4 = 0$;
当 $-1≤ x ＜ 0$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = -1$, 方程没有实数根;
当 $-2≤ x ＜ -1$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = -2$, 方程没有实数根.
综上所述,在 $-2≤ x ＜ 2$ 范围内满足 $[x] = \frac{1}{2}x^2$ 的 $x$ 的值为 0 或 $\sqrt{2}$.
当 $0≤ x ＜ 1$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = 0$, 解得 $x_3 = x_4 = 0$;
当 $-1≤ x ＜ 0$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = -1$, 方程没有实数根;
当 $-2≤ x ＜ -1$ 时, $\frac{1}{2}x^2 = -2$, 方程没有实数根.
综上所述,在 $-2≤ x ＜ 2$ 范围内满足 $[x] = \frac{1}{2}x^2$ 的 $x$ 的值为 0 或 $\sqrt{2}$.
