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12. [2025镇江丹徒区期中]如图,A,O在网格中小正方形的顶点处,每个小正方形的边长为1,在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B,C,使O为$△ ABC$的外心,则BC的长度是 (
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A
)A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
12 A 由题意,得OA = √(1² + 4²) = √17.
∵点O为△ABC的外心,
∴OA = OB = OC = √17,
∴点B和点C的位置如图所示,
∴BC = √(3² + 3²) = 3√2.
13. [2026扬州江都区月考]已知方程$x^2 -9x +20=0$的两个根是直角三角形的两边长,则这个直角三角形的外接圆半径为
$\frac{\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5}{2}$
.答案
13 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ 解$x^2 -9x +20 = 0$,得$x_1=4$,$x_2=5$,
∴4和5是直角三角形的两边长.当5为直角边长时,斜边长为$\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$,
∴这个直角三角形的外接圆半径为$\frac{\sqrt{41}}{2}$;当5是斜边长时,这个直角三角形外接圆的半径为$\frac{5}{2}$.
∴4和5是直角三角形的两边长.当5为直角边长时,斜边长为$\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$,
∴这个直角三角形的外接圆半径为$\frac{\sqrt{41}}{2}$;当5是斜边长时,这个直角三角形外接圆的半径为$\frac{5}{2}$.
14. [2025宿迁泗阳期中] 若过平面直角坐标系中的三个点$A(1,0),B(0,2),C(-m,m^2 -6)$能确定一个圆，则$m$的取值范围为
$m ≠ 4$ 且 $m ≠ -2$
。答案
14 $m ≠ 4$ 且 $m ≠ -2$ 设直线AB的函数表达式为$y = kx + b$.将$A(1,0)$,$B(0,2)$的坐标分别代入,得$\begin{cases} k + b = 0, \\ b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 2, \end{cases}$
∴$y = -2x + 2$.把$C(-m,m^2 -6)$的坐标代入,得$2m + 2 = m^2 -6$,解得$m_1=4$,$m_2=-2$,则当$m ≠ 4$且$m ≠ -2$时,点A,B,C能确定一个圆.
∴$y = -2x + 2$.把$C(-m,m^2 -6)$的坐标代入,得$2m + 2 = m^2 -6$,解得$m_1=4$,$m_2=-2$,则当$m ≠ 4$且$m ≠ -2$时,点A,B,C能确定一个圆.
15. 如图，已知E是$△ ABC$的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ分别交BC于点F，D。若$BF=5$，$DF=3$，$CD=4$，则$△ ABC$的面积为
24
。答案
15 24 如图,连接AF,AD,BE,AE.
∵E是△ABC的外心,
∴EA = EB.又
∵P为AB的中点,
∴EP⊥AB,
∴EP垂直平分AB,
∴AF = BF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).同理可得AD = CD.
∵BF = 5,CD = 4,
∴AF = 5,AD = 4.
∵DF = 3,
∴$DF^2 + AD^2 = AF^2$,
∴∠ADF = 90°.
∵BC = BF + DF + DC = 5 + 3 + 4 = 12,
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = \frac{1}{2} × 12 × 4 = 24$.
16. 新考法 如图,某零件的形状是由1个长为8、宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成的轴对称图形,则刚好能将其完全覆盖的圆形纸片的半径为
5
。答案
16 5 如图,连接AC,能将零件刚好完全覆盖的圆形纸片的圆心即线段AB,AC垂直平分线的交点.作AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,作AC的垂直平分线交EF于点O,连接OA,OC,则OA = OC,AE = 4,CF = 3.设OE = x,则OF = 7 - x.在Rt△AOE中,$OA^2 = OE^2 + AE^2$,即$OA^2 = x^2 + 4^2$.在Rt△COF中,$OC^2 = OF^2 + CF^2$,即$OC^2 = (7 - x)^2 + 3^2$,
∴$x^2 + 4^2 = (7 - x)^2 + 3^2$,解得x = 3,则OA = 5,
∴刚好能将零件完全覆盖的圆形纸片的半径为5.
17. 在$△ ABC$中，$BA=BC$，$D$是平面内不与点$A,B,C$重合的任意一点，$∠ ABC=∠ DBE$，$BD=BE$。
(1)如图1，求证:$△ ABD≌△ CBE$。
(2)如图2，当点$D$是$△ ABC$的外接圆圆心时，请判断四边形$BDCE$的形状，并证明你的结论。
(1)如图1，求证:$△ ABD≌△ CBE$。
(2)如图2，当点$D$是$△ ABC$的外接圆圆心时，请判断四边形$BDCE$的形状，并证明你的结论。
答案
17 (1)证明:
∵∠ABC = ∠DBE,
∴∠ABC + ∠CBD = ∠DBE + ∠CBD,
∴∠ABD = ∠CBE.在△ABD与△CBE中,$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ABD = ∠CBE, \\ BD = BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE.
(2)解:四边形BDCE是菱形.证明如下:
同(1)可证△ABD≌△CBE,
∴AD = CE.
∵点D是△ABC的外接圆圆心,
∴DA = DB = DC.
又
∵BD = BE,
∴BD = BE = CE = CD,
∴四边形BDCE是菱形.
∵∠ABC = ∠DBE,
∴∠ABC + ∠CBD = ∠DBE + ∠CBD,
∴∠ABD = ∠CBE.在△ABD与△CBE中,$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ABD = ∠CBE, \\ BD = BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE.
(2)解:四边形BDCE是菱形.证明如下:
同(1)可证△ABD≌△CBE,
∴AD = CE.
∵点D是△ABC的外接圆圆心,
∴DA = DB = DC.
又
∵BD = BE,
∴BD = BE = CE = CD,
∴四边形BDCE是菱形.
18. 推理能力 [2025无锡江阴敔山湾实验学校月考] 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 2\sqrt{10}$，$BC = 4$，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆.
(1)求$\odot O$的半径的长.
(2)若在同一平面内的$\odot P$也经过$B,C$两点，且$PA=2$，请直接写出$\odot P$的半径的长.
(1)求$\odot O$的半径的长.
(2)若在同一平面内的$\odot P$也经过$B,C$两点，且$PA=2$，请直接写出$\odot P$的半径的长.
答案
18 解:(1)如图1,过点A作AD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC.
∵AB = AC,AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC.
∵OB = OC,
∴点O在BC的垂直平分线上,即点O在AD上.
∵BC = 4,
∴$BD = \frac{1}{2} BC = 2$.
在Rt△ABD中,∠ADB = 90°,$AB = 2\sqrt{10}$,
∴$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = 6$.
设OA = OB = r,则OD = 6 - r.
在Rt△OBD中,∠ODB = 90°,
由勾股定理,得$OD^2 + BD^2 = OB^2$,
∴$(6 - r)^2 + 2^2 = r^2$,解得$r = \frac{10}{3}$,
∴⊙O的半径的长为$\frac{10}{3}$.
(2)⊙P的半径的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$.
∵⊙P也经过B,C两点,
∴点P在BC的垂直平分线上.
分两种情形讨论:
①当点P在线段AD上时,如图2中的点$P_1$,
此时$P_1D = AD - P_1A = 6 - 2 = 4$.
在Rt△$P_1BD$中,$P_1B = \sqrt{P_1D^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$,
即⊙P的半径的长为$2\sqrt{5}$.
②当点P在线段DA的延长线上时,如图3中的点$P_2$,
此时$P_2D = P_2A + AD = 2 + 6 = 8$.
在Rt△$P_2BD$中,BD = 2,$P_2D = 8$,
∴$P_2B = \sqrt{P_2D^2 + BD^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$,
即⊙P的半径的长为$2\sqrt{17}$.
综上,⊙P的半径的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$.
