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1 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，则$\sin A$的值为（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
C
）。A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算锐角$∠ A$的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。因此解题分为两步：第一步先用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边长度，第二步找到$∠ A$的对边，代入正弦定义计算即可，注意不要混淆角的对边和邻边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，$∠ A$的对边为$BC=3$，斜边为$AB=5$，因此：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，解题时明确不同锐角对应的对边、邻边，避免混淆边的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算锐角$∠ A$的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。因此解题分为两步：第一步先用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边长度，第二步找到$∠ A$的对边，代入正弦定义计算即可，注意不要混淆角的对边和邻边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，$∠ A$的对边为$BC=3$，斜边为$AB=5$，因此：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，解题时明确不同锐角对应的对边、邻边，避免混淆边的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
② 在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（
A.$b=a·\sin B$
B.$a=b·\cos B$
C.$a=b·\tan B$
D.$b=a·\tan B$
D
）。A.$b=a·\sin B$
B.$a=b·\cos B$
C.$a=b·\tan B$
D.$b=a·\tan B$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断各选项是否成立，首先需明确直角三角形中锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°时，锐角的正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。先确定∠B的对边、邻边、斜边分别对应的边长，再写出∠B的三个三角函数表达式，变形后和各选项对比即可选出正确答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的对边是b，邻边是a，斜边为c，根据锐角三角函数定义：
1. 对选项A：$\sin B = \frac{b}{c}$，变形得$b = c·\sin B$，与选项中$b=a·\sin B$不符，A错误；
2. 对选项B：$\cos B = \frac{a}{c}$，变形得$a = c·\cos B$，与选项中$a=b·\cos B$不符，B错误；
3. 对选项C、D：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$b = a·\tan B$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义、直角三角形边角关系
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用，解题核心是熟记各三角函数对应边的比例关系，属于基础题型，掌握定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断各选项是否成立，首先需明确直角三角形中锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°时，锐角的正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。先确定∠B的对边、邻边、斜边分别对应的边长，再写出∠B的三个三角函数表达式，变形后和各选项对比即可选出正确答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的对边是b，邻边是a，斜边为c，根据锐角三角函数定义：
1. 对选项A：$\sin B = \frac{b}{c}$，变形得$b = c·\sin B$，与选项中$b=a·\sin B$不符，A错误；
2. 对选项B：$\cos B = \frac{a}{c}$，变形得$a = c·\cos B$，与选项中$a=b·\cos B$不符，B错误；
3. 对选项C、D：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$b = a·\tan B$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义、直角三角形边角关系
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用，解题核心是熟记各三角函数对应边的比例关系，属于基础题型，掌握定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A=\dfrac{3}{5}$，则$\cos B$的值是（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
D
）。A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案
3.D
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：直角三角形$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，已知$\sin A=\frac{3}{5}$，要求$\cos B$的值。首先思考直角三角形中两个锐角的关系：$∠ A$和$∠ B$互余，即$∠ A+∠ B=90°$，此时可以利用互余角的三角函数关系直接推导；如果记不清互余角的三角函数性质，也可以通过锐角三角函数的定义，设边长计算两个三角函数的表达式对比得出结果，两种思路都符合九年级的知识要求。
【解析】
方法一：利用互余角的三角函数关系求解
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B=90°-∠ A$
根据互余角的三角函数性质：$\cos(90°-α)=\sinα$，可得：
$\cos B=\cos(90°-∠ A)=\sin A$
又$\because \sin A=\frac{3}{5}$
$\therefore \cos B=\frac{3}{5}$
方法二：利用锐角三角函数定义验证
设$Rt△ ABC$中$∠ A、∠ B、∠ C$的对边分别为$a、b、c$，其中$c$为斜边：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$（$∠ B$的邻边就是$∠ A$的对边$a$）
$\therefore \cos B=\frac{a}{c}=\sin A=\frac{3}{5}$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
3. 锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以通过互余角的三角函数性质快速得到答案，也可以通过三角函数定义设边计算验证，核心考查对三角函数基本性质和定义的掌握程度。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先梳理已知条件：直角三角形$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，已知$\sin A=\frac{3}{5}$，要求$\cos B$的值。首先思考直角三角形中两个锐角的关系：$∠ A$和$∠ B$互余，即$∠ A+∠ B=90°$，此时可以利用互余角的三角函数关系直接推导；如果记不清互余角的三角函数性质，也可以通过锐角三角函数的定义，设边长计算两个三角函数的表达式对比得出结果，两种思路都符合九年级的知识要求。
【解析】
方法一：利用互余角的三角函数关系求解
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B=90°-∠ A$
根据互余角的三角函数性质：$\cos(90°-α)=\sinα$，可得：
$\cos B=\cos(90°-∠ A)=\sin A$
又$\because \sin A=\frac{3}{5}$
$\therefore \cos B=\frac{3}{5}$
方法二：利用锐角三角函数定义验证
设$Rt△ ABC$中$∠ A、∠ B、∠ C$的对边分别为$a、b、c$，其中$c$为斜边：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$（$∠ B$的邻边就是$∠ A$的对边$a$）
$\therefore \cos B=\frac{a}{c}=\sin A=\frac{3}{5}$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
3. 锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以通过互余角的三角函数性质快速得到答案，也可以通过三角函数定义设边计算验证，核心考查对三角函数基本性质和定义的掌握程度。
【难度系数】
0.9
4 如图，河堤横断面如图所示，堤高$BC=6$米，迎水坡$AB$的坡比为$1:\sqrt{3}$，则$AB$的长为（
A.12米
B.$4\sqrt{3}$米
C.$5\sqrt{3}$米
D.$6\sqrt{3}$米
A
）。A.12米
B.$4\sqrt{3}$米
C.$5\sqrt{3}$米
D.$6\sqrt{3}$米
答案
4.A
解析
【分析】
解题首先要明确坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值。本题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC是垂直高度已知为6米，结合坡比1:√3可先求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理（或直角三角形边角关系）即可求出AB的长度。
【解析】
解：由坡比的定义可知，迎水坡AB的坡比$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=6$米，代入得$\frac{6}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=6\sqrt{3}$米。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$（米）
也可由坡比得$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$∠ A=30°$，直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，故$AB=2BC=12$米。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坡比的概念，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，核心考查坡比概念的理解和直角三角形相关性质的运用，属于常规基础题型，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值。本题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC是垂直高度已知为6米，结合坡比1:√3可先求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理（或直角三角形边角关系）即可求出AB的长度。
【解析】
解：由坡比的定义可知，迎水坡AB的坡比$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=6$米，代入得$\frac{6}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=6\sqrt{3}$米。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$（米）
也可由坡比得$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$∠ A=30°$，直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，故$AB=2BC=12$米。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坡比的概念，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，核心考查坡比概念的理解和直角三角形相关性质的运用，属于常规基础题型，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$2×2$的正方形网格中，$△ ABC$以格点为顶点，则$\sin∠ CAB=(\quad)$。
A.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\dfrac{3}{10}$
第4题图 第5题图 第6题图
A.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\dfrac{3}{10}$
第4题图 第5题图 第6题图
答案
5.B
解析
【分析】
要计算$\sin∠ CAB$，我们可以先利用网格的特点设定每个小正方形边长为1，先通过勾股定理求出$△ ABC$的边长，再用割补法算出$△ ABC$的面积，结合三角形面积公式求出$AC$边上的高，最后根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边）代入计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，步骤如下：
1. 求$△ ABC$各边长度：
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 用割补法求$△ ABC$的面积：
整个$2×2$正方形的面积为$2×2=4$，减去周围3个空白三角形的面积：
$S_{\mathrm{空白}1}=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_{\mathrm{空白}2}=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_{\mathrm{空白}3}=\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
因此$S_{△ ABC}=4-1-1-0.5=\frac{3}{2}$。
3. 求$AC$边上的高：
设点$B$到$AC$的距离为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$可得：
$\frac{1}{2}× AC× h=\frac{3}{2}$，代入$AC=\sqrt{5}$，解得$h=\frac{3}{\sqrt{5}}$。
4. 计算$\sin∠ CAB$：
$∠ CAB$的对边为$h$，斜边为$AB=\sqrt{5}$，因此：
$\sin∠ CAB=\frac{h}{AB}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的关键是灵活利用网格的特征求出三角形的边长和面积，将三角函数值转化为直角三角形的边长比值计算。
【难度系数】
0.7
要计算$\sin∠ CAB$，我们可以先利用网格的特点设定每个小正方形边长为1，先通过勾股定理求出$△ ABC$的边长，再用割补法算出$△ ABC$的面积，结合三角形面积公式求出$AC$边上的高，最后根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边）代入计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，步骤如下：
1. 求$△ ABC$各边长度：
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 用割补法求$△ ABC$的面积：
整个$2×2$正方形的面积为$2×2=4$，减去周围3个空白三角形的面积：
$S_{\mathrm{空白}1}=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_{\mathrm{空白}2}=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_{\mathrm{空白}3}=\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
因此$S_{△ ABC}=4-1-1-0.5=\frac{3}{2}$。
3. 求$AC$边上的高：
设点$B$到$AC$的距离为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$可得：
$\frac{1}{2}× AC× h=\frac{3}{2}$，代入$AC=\sqrt{5}$，解得$h=\frac{3}{\sqrt{5}}$。
4. 计算$\sin∠ CAB$：
$∠ CAB$的对边为$h$，斜边为$AB=\sqrt{5}$，因此：
$\sin∠ CAB=\frac{h}{AB}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的关键是灵活利用网格的特征求出三角形的边长和面积，将三角函数值转化为直角三角形的边长比值计算。
【难度系数】
0.7
6 如图,在A处测得点P在北偏东$60°$方向上,在B处测得点P在北偏东$30°$方向上,若AB=2米,则点P到直线AB距离PC为(
A.3米
B.$\sqrt{3}$米
C.2米
D.1米
B
)。A.3米
B.$\sqrt{3}$米
C.2米
D.1米
答案
6.B
解析
【分析】
这是方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：第一步先根据方向角的定义，换算出△PAB中∠PAB和外角∠PBC的度数；第二步利用三角形外角性质求出∠APB的度数，判定△PAB为等腰三角形，得到BP=AB；最后在Rt△PBC中，利用正弦三角函数即可求出点P到直线AB的距离PC。
【解析】
解：由题意可得：
在A处测得点P在北偏东60°方向，则∠PAB = 90° - 60° = 30°，
在B处测得点P在北偏东30°方向，则∠PBC = 90° - 30° = 60°，
∵∠PBC是△PAB的外角，
∴∠PBC = ∠PAB + ∠APB，
代入数值可得：60° = 30° + ∠APB，解得∠APB = 30°，
∴∠PAB = ∠APB，
∴BP = AB = 2米，
∵PC⊥AB，即△PBC为直角三角形，
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，
∴PC = BP · sin∠PBC = 2 × sin60° = 2 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$（米）。
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，等腰三角形的判定，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，核心是将方向角转化为三角形的内角度数，结合三角形外角性质和等腰三角形的性质简化计算，再运用三角函数求出高，考查了学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
这是方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：第一步先根据方向角的定义，换算出△PAB中∠PAB和外角∠PBC的度数；第二步利用三角形外角性质求出∠APB的度数，判定△PAB为等腰三角形，得到BP=AB；最后在Rt△PBC中，利用正弦三角函数即可求出点P到直线AB的距离PC。
【解析】
解：由题意可得：
在A处测得点P在北偏东60°方向，则∠PAB = 90° - 60° = 30°，
在B处测得点P在北偏东30°方向，则∠PBC = 90° - 30° = 60°，
∵∠PBC是△PAB的外角，
∴∠PBC = ∠PAB + ∠APB，
代入数值可得：60° = 30° + ∠APB，解得∠APB = 30°，
∴∠PAB = ∠APB，
∴BP = AB = 2米，
∵PC⊥AB，即△PBC为直角三角形，
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，
∴PC = BP · sin∠PBC = 2 × sin60° = 2 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$（米）。
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，等腰三角形的判定，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，核心是将方向角转化为三角形的内角度数，结合三角形外角性质和等腰三角形的性质简化计算，再运用三角函数求出高，考查了学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7 如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为$37°$，那么从目标B可以测得这个建筑物A处的仰角为
$37°$
。答案
7.$37°$
解析
【分析】
解题时首先回忆仰角、俯角的定义：俯角是观测点在高处时，视线与水平线向下的夹角；仰角是观测点在低处时，视线与水平线向上的夹角。其次分析两个角的位置关系：分别过A、B作水平线，两条水平线互相平行，视线AB是两条平行线的截线，俯角和仰角是这组平行线被截得的内错角，根据平行线性质可判断二者大小相等，即可得到答案。
【解析】
分别过点A作水平线AM，过点B作水平线BN，由水平线的性质可得$AM// BN$。
根据俯角定义，A处测得B的俯角是视线AB与AM的夹角，大小为$37°$；根据仰角定义，B处测得A的仰角是视线BA与BN的夹角。
因为$AM// BN$，AB为截线，上述两个角是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得该仰角与俯角大小相等，即为$37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
仰角俯角的概念；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心考查对仰角、俯角定义的理解，结合平行线的性质即可快速解题，注意不要混淆仰角和俯角的观测方向。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆仰角、俯角的定义：俯角是观测点在高处时，视线与水平线向下的夹角；仰角是观测点在低处时，视线与水平线向上的夹角。其次分析两个角的位置关系：分别过A、B作水平线，两条水平线互相平行，视线AB是两条平行线的截线，俯角和仰角是这组平行线被截得的内错角，根据平行线性质可判断二者大小相等，即可得到答案。
【解析】
分别过点A作水平线AM，过点B作水平线BN，由水平线的性质可得$AM// BN$。
根据俯角定义，A处测得B的俯角是视线AB与AM的夹角，大小为$37°$；根据仰角定义，B处测得A的仰角是视线BA与BN的夹角。
因为$AM// BN$，AB为截线，上述两个角是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得该仰角与俯角大小相等，即为$37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
仰角俯角的概念；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心考查对仰角、俯角定义的理解，结合平行线的性质即可快速解题，注意不要混淆仰角和俯角的观测方向。
【难度系数】
0.9
⑧ 在锐角$△ ABC$中，若$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$∠ C$的度数为
$75°$
。答案
8.$75°$
解析
【分析】
解题时首先结合锐角三角形的性质，明确三个内角均为大于0°小于90°的锐角，再根据已知的三角函数值对应特殊角的三角函数结论，分别确定∠A和∠B的准确度数，最后利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ ∠A、∠B均为锐角，即$0°＜∠ A＜90°$，$0°＜∠ B＜90°$。
∵ $\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ A=60°$。
∵ $\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠ B=45°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-45°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，锐角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，解题时要注意结合锐角三角形的限制条件确定角的唯一取值，避免忽略限制导致错解。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合锐角三角形的性质，明确三个内角均为大于0°小于90°的锐角，再根据已知的三角函数值对应特殊角的三角函数结论，分别确定∠A和∠B的准确度数，最后利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ ∠A、∠B均为锐角，即$0°＜∠ A＜90°$，$0°＜∠ B＜90°$。
∵ $\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ A=60°$。
∵ $\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠ B=45°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-45°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，锐角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，解题时要注意结合锐角三角形的限制条件确定角的唯一取值，避免忽略限制导致错解。
【难度系数】
0.85
9 已知一个坡的坡比$i=1:\sqrt{3}$，那么此坡的坡角是
$30°$
。答案
9.$30°$
解析
【分析】
解题首先要明确坡比与坡角的关系：坡比是坡面铅直高度与水平宽度的比值，恰好等于坡角的正切值。首先根据坡比的定义得到坡角的正切值，再结合特殊锐角的三角函数值，即可求出对应的坡角度数。
【解析】
设此坡的坡角为$α$，
根据坡比的定义可知，坡比$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\tanα$，
已知$i=1:\sqrt{3}$，因此$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又因为坡角$α$的取值范围是$0°＜α＜90°$，结合特殊角的三角函数值可得$α=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
坡比的定义；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查坡度坡角问题中相关量的数量关系，解题的关键是牢记坡比与坡角正切值的等量关系，同时熟练掌握常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡比与坡角的关系：坡比是坡面铅直高度与水平宽度的比值，恰好等于坡角的正切值。首先根据坡比的定义得到坡角的正切值，再结合特殊锐角的三角函数值，即可求出对应的坡角度数。
【解析】
设此坡的坡角为$α$，
根据坡比的定义可知，坡比$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\tanα$，
已知$i=1:\sqrt{3}$，因此$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又因为坡角$α$的取值范围是$0°＜α＜90°$，结合特殊角的三角函数值可得$α=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
坡比的定义；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查坡度坡角问题中相关量的数量关系，解题的关键是牢记坡比与坡角正切值的等量关系，同时熟练掌握常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知$∠ A$为锐角，且$\sin A=\dfrac{5}{13}$，则$\tan A=$
$\dfrac{5}{12}$
。答案
10.$\dfrac{5}{12}$
解析
【分析】
解题可从两个符合学段要求的思路切入：①利用锐角三角函数定义求解：因∠A是锐角，可将其置于直角三角形中，根据sinA的比值设出对边和斜边的长度，再用勾股定理算出邻边长度，最后依据正切是对边与邻边的比值求解；②利用同角三角函数基本关系求解：先通过公式$\sin^2A+\cos^2A=1$算出$\cos A$的值（锐角的余弦值为正），再通过公式$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$计算结果。
【解析】
方法一（三角函数定义法）：
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$为题干中的锐角。
∵$\sin A=\frac{\mathrm{∠}A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5}{13}$，
∴设$∠ A$的对边长为$5k$，斜边长为$13k$（$k＞0$）。
由勾股定理可得$∠ A$的邻边长为：
$\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=\sqrt{169k^2-25k^2}=\sqrt{144k^2}=12k$
因此$\tan A=\frac{\mathrm{∠}A\mathrm{的对边}}{\mathrm{∠}A\mathrm{的邻边}}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$。
方法二（同角三角函数关系法）：
∵$∠ A$是锐角，
∴$\cos A＞0$。
由$\sin^2A+\cos^2A=1$可得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$
因此$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查锐角三角函数的相关运算，只要熟练掌握三角函数的定义或同角三角函数的基本关系，结合锐角三角函数值均为正的特征，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题可从两个符合学段要求的思路切入：①利用锐角三角函数定义求解：因∠A是锐角，可将其置于直角三角形中，根据sinA的比值设出对边和斜边的长度，再用勾股定理算出邻边长度，最后依据正切是对边与邻边的比值求解；②利用同角三角函数基本关系求解：先通过公式$\sin^2A+\cos^2A=1$算出$\cos A$的值（锐角的余弦值为正），再通过公式$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$计算结果。
【解析】
方法一（三角函数定义法）：
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$为题干中的锐角。
∵$\sin A=\frac{\mathrm{∠}A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5}{13}$，
∴设$∠ A$的对边长为$5k$，斜边长为$13k$（$k＞0$）。
由勾股定理可得$∠ A$的邻边长为：
$\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=\sqrt{169k^2-25k^2}=\sqrt{144k^2}=12k$
因此$\tan A=\frac{\mathrm{∠}A\mathrm{的对边}}{\mathrm{∠}A\mathrm{的邻边}}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$。
方法二（同角三角函数关系法）：
∵$∠ A$是锐角，
∴$\cos A＞0$。
由$\sin^2A+\cos^2A=1$可得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$
因此$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查锐角三角函数的相关运算，只要熟练掌握三角函数的定义或同角三角函数的基本关系，结合锐角三角函数值均为正的特征，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
11 若等腰三角形的两条边长分别为4和6，则等腰三角形的底角的余弦值等于
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{1}{3}$
。答案
11.$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
题目未明确等腰三角形的腰长和底边长，需先分两种情况讨论：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。求底角余弦值时，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶角顶点作底边的高，将等腰三角形转化为直角三角形，再根据锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算即可，最后需验证两种情况是否满足三角形三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为4，底边长为6时：
过顶角顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，因此底边的一半长为$6÷2=3$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为3，斜边长为腰长4，根据余弦的定义，底角的余弦值为$\frac{3}{4}$。
验证三边：$4+4＞6$，满足三角形三边关系，该情况成立。
2. 当腰长为6，底边长为4时：
过顶角顶点作底边的高，同理可得底边的一半长为$4÷2=2$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长6，根据余弦的定义，底角的余弦值为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
验证三边：$6+6＞4$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，底角的余弦值为$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角比的定义；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题，必须先分情况讨论，且要验证每种情况是否满足三角形三边关系，再进一步计算。
【难度系数】
0.7
题目未明确等腰三角形的腰长和底边长，需先分两种情况讨论：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。求底角余弦值时，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶角顶点作底边的高，将等腰三角形转化为直角三角形，再根据锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算即可，最后需验证两种情况是否满足三角形三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为4，底边长为6时：
过顶角顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，因此底边的一半长为$6÷2=3$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为3，斜边长为腰长4，根据余弦的定义，底角的余弦值为$\frac{3}{4}$。
验证三边：$4+4＞6$，满足三角形三边关系，该情况成立。
2. 当腰长为6，底边长为4时：
过顶角顶点作底边的高，同理可得底边的一半长为$4÷2=2$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长6，根据余弦的定义，底角的余弦值为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
验证三边：$6+6＞4$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，底角的余弦值为$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角比的定义；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题，必须先分情况讨论，且要验证每种情况是否满足三角形三边关系，再进一步计算。
【难度系数】
0.7
