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例1.下面关于 $ x $ 的方程中:①$ ax^2 + x + 2 = 0 $;
②$ 3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1 $;③$ x + 3 = \frac{1}{x} $;
④$ x^2 - a = 0 $（$ a $ 为任意实数）; ⑤$ \sqrt{x + 1} = x - 1 $.一元二次方程的个数是 （）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
分析:利用一元二次方程的定义判断,看哪些方程满足只有一个未知数、最高次数为2次、等号两边都是整式方程、二次项的系数不为0.
解:B.
②$ 3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1 $;③$ x + 3 = \frac{1}{x} $;
④$ x^2 - a = 0 $（$ a $ 为任意实数）; ⑤$ \sqrt{x + 1} = x - 1 $.一元二次方程的个数是 （）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
分析:利用一元二次方程的定义判断,看哪些方程满足只有一个未知数、最高次数为2次、等号两边都是整式方程、二次项的系数不为0.
解:B.
答案
解：
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，同时二次项系数不为0，逐个判断：
① 方程$ax^2 + x + 2 = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程为一元一次方程，故①不是一元二次方程；
② 方程$3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1$是整式方程，化简后二次项系数为$3-1=2≠0$，未知数最高次数为2，且仅含一个未知数$x$，故②是一元二次方程；
③ 方程$x + 3 = \frac{1}{x}$是分式方程，不属于整式方程，故③不是一元二次方程；
④ 方程$x^2 - a = 0$（$a$为任意实数）是整式方程，二次项系数为$1≠0$，未知数最高次数为2，且仅含一个未知数$x$，故④是一元二次方程；
⑤ 方程$\sqrt{x + 1} = x - 1$是无理方程，不属于整式方程，故⑤不是一元二次方程。
综上，一元二次方程共有2个，答案选B。
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，同时二次项系数不为0，逐个判断：
① 方程$ax^2 + x + 2 = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程为一元一次方程，故①不是一元二次方程；
② 方程$3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1$是整式方程，化简后二次项系数为$3-1=2≠0$，未知数最高次数为2，且仅含一个未知数$x$，故②是一元二次方程；
③ 方程$x + 3 = \frac{1}{x}$是分式方程，不属于整式方程，故③不是一元二次方程；
④ 方程$x^2 - a = 0$（$a$为任意实数）是整式方程，二次项系数为$1≠0$，未知数最高次数为2，且仅含一个未知数$x$，故④是一元二次方程；
⑤ 方程$\sqrt{x + 1} = x - 1$是无理方程，不属于整式方程，故⑤不是一元二次方程。
综上，一元二次方程共有2个，答案选B。
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是等号两边都是整式，四是二次项系数不为0。我们只需对照这几个条件，逐个判断给出的5个方程是否符合，最后统计符合条件的方程总数即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，同时要求二次项系数不为0，逐个判断如下：
① 方程$ax^2 + x + 2 = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程变为$x+2=0$，是一元一次方程，因此①不是一元二次方程；
② 方程$3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1$是整式方程，展开化简后二次项系数为$3-1=2≠0$，仅含一个未知数$x$且$x$的最高次数为2，因此②是一元二次方程；
③ 方程$x + 3 = \frac{1}{x}$的分母含有未知数，是分式方程，不属于整式方程，因此③不是一元二次方程；
④ 方程$x^2 - a = 0$（$a$为任意实数）是整式方程，二次项系数为$1≠0$，仅含一个未知数$x$且$x$的最高次数为2，因此④是一元二次方程；
⑤ 方程$\sqrt{x + 1} = x - 1$的被开方数含有未知数，是无理方程，不属于整式方程，因此⑤不是一元二次方程。
综上，符合条件的一元二次方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点在于容易忽略①中二次项系数a可能为0的情况，或是误将分式方程、无理方程判定为整式方程。解题时需严格对照判定条件逐一排查，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是等号两边都是整式，四是二次项系数不为0。我们只需对照这几个条件，逐个判断给出的5个方程是否符合，最后统计符合条件的方程总数即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，同时要求二次项系数不为0，逐个判断如下：
① 方程$ax^2 + x + 2 = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程变为$x+2=0$，是一元一次方程，因此①不是一元二次方程；
② 方程$3(x - 9)^2 - (x + 1)^2 = 1$是整式方程，展开化简后二次项系数为$3-1=2≠0$，仅含一个未知数$x$且$x$的最高次数为2，因此②是一元二次方程；
③ 方程$x + 3 = \frac{1}{x}$的分母含有未知数，是分式方程，不属于整式方程，因此③不是一元二次方程；
④ 方程$x^2 - a = 0$（$a$为任意实数）是整式方程，二次项系数为$1≠0$，仅含一个未知数$x$且$x$的最高次数为2，因此④是一元二次方程；
⑤ 方程$\sqrt{x + 1} = x - 1$的被开方数含有未知数，是无理方程，不属于整式方程，因此⑤不是一元二次方程。
综上，符合条件的一元二次方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点在于容易忽略①中二次项系数a可能为0的情况，或是误将分式方程、无理方程判定为整式方程。解题时需严格对照判定条件逐一排查，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
1.在下列方程中,一元二次方程是 （
A.$x^{2}-2xy+y^{2}=0$
B.$x^{2}+3x=x^{2}-1$
C.$x^{2}-2x=3$
D.$x+\frac{1}{x}=0$
C
）A.$x^{2}-2xy+y^{2}=0$
B.$x^{2}+3x=x^{2}-1$
C.$x^{2}-2x=3$
D.$x+\frac{1}{x}=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时我们就用这三个条件逐一排查每个选项即可，遇到能化简的方程要先化简再判断。
【解析】
首先明确一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数是2。
逐一分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合一元的要求，排除；
B选项：先对式子化简，左右两边同时减去$x^2$，可得$3x=-1$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
C选项：整理为标准形式为$x^2-2x-3=0$，只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
D选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记一元二次方程的三个判定条件，注意判断前要先化简方程，不要被表面的二次项迷惑，同时要区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时我们就用这三个条件逐一排查每个选项即可，遇到能化简的方程要先化简再判断。
【解析】
首先明确一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数是2。
逐一分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合一元的要求，排除；
B选项：先对式子化简，左右两边同时减去$x^2$，可得$3x=-1$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
C选项：整理为标准形式为$x^2-2x-3=0$，只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
D选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记一元二次方程的三个判定条件，注意判断前要先化简方程，不要被表面的二次项迷惑，同时要区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
2.方程$x(x-3)+1=0$化为一元二次方程的一般形式是 （
A.$x^2 - 3x + 1 = 0$
B.$x^2 + 3x + 1 = 0$
C.$x^2 - 3x - 1 = 0$
D.$x^2 + x - 3 = 0$
A
）A.$x^2 - 3x + 1 = 0$
B.$x^2 + 3x + 1 = 0$
C.$x^2 - 3x - 1 = 0$
D.$x^2 + x - 3 = 0$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），解题核心是将原方程左边的整式展开、合并同类项，整理为左边是按$x$降幂排列的整式、右边为0的形式，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开原方程左边的$x(x-3)$：
$x(x-3)=x· x + x·(-3)=x^2-3x$
将展开结果代入原方程，可得：
$x^2-3x+1=0$
该式就是原方程对应的一元二次方程一般形式，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，只要熟练掌握整式乘法的计算规则，牢记一元二次方程一般形式的特征，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），解题核心是将原方程左边的整式展开、合并同类项，整理为左边是按$x$降幂排列的整式、右边为0的形式，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开原方程左边的$x(x-3)$：
$x(x-3)=x· x + x·(-3)=x^2-3x$
将展开结果代入原方程，可得：
$x^2-3x+1=0$
该式就是原方程对应的一元二次方程一般形式，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，只要熟练掌握整式乘法的计算规则，牢记一元二次方程一般形式的特征，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.方程 $ x(2x - 1) = x $ 的二次项系数是 ______，一次项系数是 ______，常数项是 ______.
答案
3.2 -2 0
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先通过移项把方程右边的项移到左边，再展开、合并同类项得到一般形式，最后对应识别各项系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 移项，得：$x(2x - 1) - x = 0$
2. 展开并合并同类项：
左边展开为$2x^2 - x - x = 0$，合并同类项后得$2x^2 - 2x = 0$
3. 对照一般形式识别各项系数：
二次项为$2x^2$，系数是2；一次项为$-2x$，系数是-2；没有单独的常数项，故常数项是0。
【答案】
2；-2；0
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题考查一元二次方程各项系数的判断，易错点是未将方程化为一般形式就直接识别系数，或忽略系数前的符号，注意当方程中没有单独的常数项时，常数项为0。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先通过移项把方程右边的项移到左边，再展开、合并同类项得到一般形式，最后对应识别各项系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 移项，得：$x(2x - 1) - x = 0$
2. 展开并合并同类项：
左边展开为$2x^2 - x - x = 0$，合并同类项后得$2x^2 - 2x = 0$
3. 对照一般形式识别各项系数：
二次项为$2x^2$，系数是2；一次项为$-2x$，系数是-2；没有单独的常数项，故常数项是0。
【答案】
2；-2；0
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题考查一元二次方程各项系数的判断，易错点是未将方程化为一般形式就直接识别系数，或忽略系数前的符号，注意当方程中没有单独的常数项时，常数项为0。
【难度系数】
0.8
4.已知关于 $ x $ 的方程 $(m+2)x^{|m|} + 2x - 1 = 0$。
(1)求当 $ m $ 为何值时，方程是一元一次方程；
(2)求当 $ m $ 为何值时，方程是一元二次方程。
(1)求当 $ m $ 为何值时，方程是一元一次方程；
(2)求当 $ m $ 为何值时，方程是一元二次方程。
答案
4.(1)由题意得 m=0时,2x+1=0 是一元一次方程;m+2=0,m=-2时,2x-1=0 是一元一次方程;m=±1 时$,(m+2)x^{|m|}+2x-1=0 $是一元一次方程,综上,当 m=0 或-2 或±1 时,方程是一元一次方程 (2)由题意得|m|=2,且m+2≠0,解得 m=2,当m=2时$,(m+2)x^{|m|}+2x-1=0 $是一元二次方程
解析
【分析】
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义，通过分类讨论求解参数取值。
（1）一元一次方程的核心特征是：仅含1个未知数，未知数最高次数为1，且一次项系数不为0。针对本题分三类讨论即可：①第一项为常数项（次数为0），剩余项构成一元一次方程；②第一项系数为0，第一项消失，剩余项构成一元一次方程；③第一项次数为1，合并后最高次为1次，构成一元一次方程。
（2）一元二次方程的核心特征是：仅含1个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解即可。
【解析】
（1）分三类情况讨论：
① 当$|m|=0$时，解得$m=0$，代入原方程得$2+2x-1=0$，即$2x+1=0$，是一元一次方程，符合要求；
② 当$m+2=0$时，解得$m=-2$，代入原方程得$2x-1=0$，是一元一次方程，符合要求；
③ 当$|m|=1$时，解得$m=\pm1$，此时方程最高次数为1，一次项系数不为0，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=0$或$m=-2$或$m=\pm1$时，方程为一元一次方程。
（2）若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}|m|=2 \\ m+2≠0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m+2≠0$即$m≠-2$，解得$m=2$。
【答案】
（1）$m=0$或$m=-2$或$m=\pm1$；
（2）$m=2$
【知识点】
一元一次方程定义，一元二次方程定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题时需全面覆盖所有符合定义的情形，不要遗漏最高次项系数为0、最高次为0次等特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义，通过分类讨论求解参数取值。
（1）一元一次方程的核心特征是：仅含1个未知数，未知数最高次数为1，且一次项系数不为0。针对本题分三类讨论即可：①第一项为常数项（次数为0），剩余项构成一元一次方程；②第一项系数为0，第一项消失，剩余项构成一元一次方程；③第一项次数为1，合并后最高次为1次，构成一元一次方程。
（2）一元二次方程的核心特征是：仅含1个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解即可。
【解析】
（1）分三类情况讨论：
① 当$|m|=0$时，解得$m=0$，代入原方程得$2+2x-1=0$，即$2x+1=0$，是一元一次方程，符合要求；
② 当$m+2=0$时，解得$m=-2$，代入原方程得$2x-1=0$，是一元一次方程，符合要求；
③ 当$|m|=1$时，解得$m=\pm1$，此时方程最高次数为1，一次项系数不为0，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=0$或$m=-2$或$m=\pm1$时，方程为一元一次方程。
（2）若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}|m|=2 \\ m+2≠0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m+2≠0$即$m≠-2$，解得$m=2$。
【答案】
（1）$m=0$或$m=-2$或$m=\pm1$；
（2）$m=2$
【知识点】
一元一次方程定义，一元二次方程定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题时需全面覆盖所有符合定义的情形，不要遗漏最高次项系数为0、最高次为0次等特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
例2.请你检验$x=-2,x=3$是否是方程$x(x+1)=-2x-2$的根.
分析:把$x=-2$与$x=3$分别代入方程左右两边,检验方程左右两边是否相等,若相等则是方程的解,若不相等则不是方程的解.
解:把$x=-2$代入方程:左边$=-2×(-1)=2$,右边$=4-2=2,\therefore $左边=右边,即$x=-2$是方程的解;把$x=3$代入方程:左边$=3×4=12$,右边$=-6-2=-8$,∴左边≠右边,即$x=3$不是方程的解
分析:把$x=-2$与$x=3$分别代入方程左右两边,检验方程左右两边是否相等,若相等则是方程的解,若不相等则不是方程的解.
解:把$x=-2$代入方程:左边$=-2×(-1)=2$,右边$=4-2=2,\therefore $左边=右边,即$x=-2$是方程的解;把$x=3$代入方程:左边$=3×4=12$,右边$=-6-2=-8$,∴左边≠右边,即$x=3$不是方程的解
答案
解：
把x=-2代入方程左右两边：
左边 = -2×(-2+1) = -2×(-1) = 2，
右边 = -2×(-2) - 2 = 4 - 2 = 2，
左边 = 右边，
∴x=-2是方程的根。
把x=3代入方程左右两边：
左边 = 3×(3+1) = 3×4 = 12，
右边 = -2×3 - 2 = -6 - 2 = -8，
左边 ≠ 右边，
∴x=3不是方程的根。
把x=-2代入方程左右两边：
左边 = -2×(-2+1) = -2×(-1) = 2，
右边 = -2×(-2) - 2 = 4 - 2 = 2，
左边 = 右边，
∴x=-2是方程的根。
把x=3代入方程左右两边：
左边 = 3×(3+1) = 3×4 = 12，
右边 = -2×3 - 2 = -6 - 2 = -8，
左边 ≠ 右边，
∴x=3不是方程的根。
解析
【分析】
检验某个值是否为方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时需分别将待检验的x值代入方程的左右两侧，独立计算两侧的结果，再对比结果是否相等，相等则该值是方程的根，反之则不是。
【解析】
把x=-2代入方程左右两边：
左边 = -2×(-2+1) = -2×(-1) = 2，
右边 = -2×(-2) - 2 = 4 - 2 = 2，
左边 = 右边，
∴x=-2是方程的根。
把x=3代入方程左右两边：
左边 = 3×(3+1) = 3×4 = 12，
右边 = -2×3 - 2 = -6 - 2 = -8，
左边 ≠ 右边，
∴x=3不是方程的根。
【答案】
x=-2是方程的根，x=3不是方程的根。
【知识点】
方程的根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程根的检验方法，计算时要注意运算顺序和符号，避免因计算失误出现判断错误。
【难度系数】
0.9
检验某个值是否为方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时需分别将待检验的x值代入方程的左右两侧，独立计算两侧的结果，再对比结果是否相等，相等则该值是方程的根，反之则不是。
【解析】
把x=-2代入方程左右两边：
左边 = -2×(-2+1) = -2×(-1) = 2，
右边 = -2×(-2) - 2 = 4 - 2 = 2，
左边 = 右边，
∴x=-2是方程的根。
把x=3代入方程左右两边：
左边 = 3×(3+1) = 3×4 = 12，
右边 = -2×3 - 2 = -6 - 2 = -8，
左边 ≠ 右边，
∴x=3不是方程的根。
【答案】
x=-2是方程的根，x=3不是方程的根。
【知识点】
方程的根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程根的检验方法，计算时要注意运算顺序和符号，避免因计算失误出现判断错误。
【难度系数】
0.9
