1.「2026江苏南京玄武期中」在$△ ABC$中，其两个内角如下，则能判定$△ ABC$为等腰三角形的是（）

A.$∠ A=40°, ∠ B=50°$
B.$∠ A=40°, ∠ B=60°$
C.$∠ A=40°, ∠ B=70°$
D.$∠ A=40°, ∠ B=80°$

A. $180°-40°-50°=90°$,故选项 A 不符合题意;
B.$180°-40°-60°=80°$,故选项 B 不符合题意;C.$180°-40°-70°=70°$,故选项 C 符合题意;D.$180°-40°-80°=60°$,故选项 D 不符合题意.故选 C.

2.「2025陕西中考」如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$∠ ADB=2∠ C$.若$AB=5$，$BC=6$，则$△ ABD$的周长为（）


A.8
B.10
C.11
D.12

$\because ∠ ADB$ 是 $△ ADC$ 的外角, $\therefore ∠ ADB = ∠ C + ∠ DAC,\because ∠ ADB=2∠ C,\therefore ∠ C=∠ DAC,\therefore AD=DC$,
$\therefore △ ABD$ 的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC$,
$\because AB=5,BC=6,\therefore △ ABD$ 的周长 $=5+6=11$.

3.「2026北京三十五中期中」如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE // AB$交AC于点E,若$DE=7,CE=8$,则AC的长为.

答案 15
解析 $\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
$\because DE// AB,\therefore ∠ BAD=∠ ADE,\therefore ∠ CAD=∠ ADE$,
$\therefore AE=DE=7,\therefore AC=AE+CE=7+8=15$.

4. 学科
特色
教材变式「2026 江苏连云港东海期中」如图，$∠ B = ∠ C = 36°$，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $∠ CDA = 72°$，则图中的等腰三角形有个.

答案 3
解析 $\because ∠ B=∠ C=36°,\therefore AB=AC,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形. $\because ∠ B=36°, ∠ CDA=72°,\therefore ∠ BAD=36°$,
$\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形. $\because ∠ CAD=180°-72-36°=72°,\therefore ∠ CAD=∠ CDA,\therefore AC=CD,\therefore △ ADC$ 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形有3个.

5.已知:线段a,b(如图),求作:以a,b为边的等腰三角形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).

解析 当等腰三角形的腰长为a,底边长为b时,如图1所示;当等腰三角形的腰长为b,底边长为a时,如图2所示.

6.「2026 江苏南京玄武期中」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线$BD$,$CE$相交于点$O$.
(1)求证:$△ OBC$是等腰三角形.
(2)连接$AO$,求证:$AO$垂直平分$BC$.

证明 (1)$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,$CE$ 平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ECB,\therefore OB=OC$,
$\therefore △ OBC$ 是等腰三角形.
(2)如图,
$\because AB=AC$,
$\therefore $ 点A在BC的垂直平分线上,
$\because OB=OC$,
$\therefore $ 点O在BC的垂直平分线上,
$\therefore AO$ 垂直平分 $BC$.

7.「2026江苏宿迁宿城期中，★☆」如图，M，N为4×4方格纸中的两个格点，若以MN为一边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

7.C 如图,分三种情况:当 $MP=MN$ 时,以点 $M$ 为圆心,以 $MN$ 的长为半径作圆,则点 $P_1,P_2$ 即为所求;当 $NP=NM$ 时,以点 $N$ 为圆心,以 $NM$ 的长为半径作圆,则点 $P_3$ 即为所求;当 $PM=PN$ 时,作线段 $MN$ 的垂直平分线,则点 $P_4,P_5$ 即为所求.综上所述,使得$△ MNP$ 为等腰三角形的点 $P$ 的个数为 5.

技巧归纳 “两圆一线”是解决平面内以已知线段为边,找第三个点构成等腰三角形的通用方法,核心是利用等腰三角形“两边相等”的性质,分三种情况定位顶点:①画“两圆”,定顶点,找等长线段;②作“一线”,定底边,找垂直平分线上的点;③验证有效性,需要保证三点不共线.

8.「2026河南信阳罗山期中，★☆」如图，D为$△ ABC$内一点，CD平分$∠ ACB$，$BE ⊥ CD$，垂足为D，交AC于点E，若$∠ A = ∠ ABE$，$AC = 10$，$BC = 6$，则BD的长为。

答案 2
解析 $\because CD$ 平分$∠ ACB,\therefore ∠ BCD=∠ ECD$,
$\because BE⊥ CD,\therefore ∠ BDC=∠ EDC=90°$,
在$△ BCD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases}∠ BCD=∠ ECD,\\CD=CD,\\∠ BDC=∠ EDC,\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ECD(\mathrm{ASA}),\therefore CE=BC=6,BD=ED$,
$\because ∠ A=∠ ABE,\therefore AE=BE,\because AC=10,CE=6,\therefore BE=AE=10-6=4,\therefore BD=\frac{1}{2}BE=2$.

9.「2026江苏南京金陵中学河西分校月考，★☆」如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,若AC=10,BC-AB=4,则△ADC面积的最大值为.

答案 10
解析 如图,延长 $CD,BA$ 交于点 $E$,过点 $C$ 作 $CH⊥ BE$ 于点 $H,\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ CBD=∠ EBD$,
$\because CD⊥ BD$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ BDC=∠ BDE=90°$,
又$\because BD=BD$,
$\therefore △ BCD≌△ BED(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BC=BE,DC=DE,\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ EAC}$,
$\therefore $ 当$△ EAC$ 的面积最大时,$△ ADC$ 的面积最大,
$\because BC-AB=4,\therefore BE-AB=AE=4$,
$\because S_{△ EAC}=\frac{1}{2}EA· CH,CH≤ AC=10$,
$\therefore △ EAC$ 面积的最大值$=\frac{1}{2}×4×10=20$,
$\therefore △ ADC$ 面积的最大值为$\frac{1}{2}×20=10$.