登录
9.(2024·六合区三模)已知一次函数$y_1=x+1$与$y_2=-2x+b$($b$为常数).当$x＞2$时,$y_1＞y_2$,则$b$的取值范围是
$b≤7$
.答案
9.$b≤7$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据两个一次函数值的大小关系，代入表达式列出含x和参数b的不等式；其次，解不等式，用含b的式子表示x的解集；最后，结合题目给出的“x＞2时y₁＞y₂”的条件，判断x的取值范围与不等式解集的包含关系，建立关于b的不等式求解，注意验证端点值是否可取。
【解析】
解：由$y_1＞y_2$，代入函数表达式得：
$x + 1 ＞ -2x + b$
移项、合并同类项，得：
$3x ＞ b - 1$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{b-1}{3}$
∵ 当$x＞2$时，$y_1＞y_2$，说明$x＞2$是不等式$x＞\frac{b-1}{3}$的解集的一部分
∴ $\frac{b-1}{3} ≤ 2$
两边同乘3得：$b - 1 ≤ 6$
移项解得：$b ≤ 7$
【答案】
$b≤7$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；不等式解集的应用
【点评】
本题结合一次函数考查一元一次不等式的应用，核心是将函数值的大小关系转化为不等式求解，解题时要注意判断端点值是否符合题意，避免漏写等号导致出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，根据两个一次函数值的大小关系，代入表达式列出含x和参数b的不等式；其次，解不等式，用含b的式子表示x的解集；最后，结合题目给出的“x＞2时y₁＞y₂”的条件，判断x的取值范围与不等式解集的包含关系，建立关于b的不等式求解，注意验证端点值是否可取。
【解析】
解：由$y_1＞y_2$，代入函数表达式得：
$x + 1 ＞ -2x + b$
移项、合并同类项，得：
$3x ＞ b - 1$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{b-1}{3}$
∵ 当$x＞2$时，$y_1＞y_2$，说明$x＞2$是不等式$x＞\frac{b-1}{3}$的解集的一部分
∴ $\frac{b-1}{3} ≤ 2$
两边同乘3得：$b - 1 ≤ 6$
移项解得：$b ≤ 7$
【答案】
$b≤7$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；不等式解集的应用
【点评】
本题结合一次函数考查一元一次不等式的应用，核心是将函数值的大小关系转化为不等式求解，解题时要注意判断端点值是否符合题意，避免漏写等号导致出错。
【难度系数】
0.7
10.(徐州期末)已知下表中的点$(x,y)$都在函数$y=x+n$的图象上，有下列结论：①$y$随$x$的增大而增大；②当$x＞0$时，$y＞2$；③$x+n=0$的解为$x=-2$.其中正确的是
①②③
.(填序号)答案
10.①②③
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，首先需要确定函数$y=x+n$中$n$的值：我们可以从表格中选取一组已知的$x$、$y$值代入解析式求出$n$，得到完整的函数解析式后，再结合一次函数的性质分别验证三个结论即可。
【解析】
1. 求$n$的值：从表格中取$x=0$，$y=2$代入$y=x+n$，可得：
$2=0+n$，解得$n=2$，因此函数解析式为$y=x+2$。
2. 验证结论①：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。该函数$k=1＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，①正确。
3. 验证结论②：当$x＞0$时，代入解析式得$y=x+2＞0+2=2$，即当$x＞0$时，$y＞2$，②正确。
4. 验证结论③：方程$x+n=0$即$x+2=0$，解得$x=-2$；也可结合表格，$y=0$时$x=-2$，即$x+n=0$的解为$x=-2$，③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
①②③
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题的关键是先求出函数解析式，再结合一次函数的增减性、函数值与自变量的对应关系、函数与方程的联系逐一判断结论，是对一次函数核心知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断三个结论是否正确，首先需要确定函数$y=x+n$中$n$的值：我们可以从表格中选取一组已知的$x$、$y$值代入解析式求出$n$，得到完整的函数解析式后，再结合一次函数的性质分别验证三个结论即可。
【解析】
1. 求$n$的值：从表格中取$x=0$，$y=2$代入$y=x+n$，可得：
$2=0+n$，解得$n=2$，因此函数解析式为$y=x+2$。
2. 验证结论①：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。该函数$k=1＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，①正确。
3. 验证结论②：当$x＞0$时，代入解析式得$y=x+2＞0+2=2$，即当$x＞0$时，$y＞2$，②正确。
4. 验证结论③：方程$x+n=0$即$x+2=0$，解得$x=-2$；也可结合表格，$y=0$时$x=-2$，即$x+n=0$的解为$x=-2$，③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
①②③
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题的关键是先求出函数解析式，再结合一次函数的增减性、函数值与自变量的对应关系、函数与方程的联系逐一判断结论，是对一次函数核心知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共40分)
11.(10分)在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由函数$y=x$的图象平移得到，且经过点$(1,2)$。
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当$x＞1$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值大于一次函数$y=kx+b$的值，直接写出$m$的取值范围。
11.(10分)在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由函数$y=x$的图象平移得到，且经过点$(1,2)$。
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当$x＞1$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值大于一次函数$y=kx+b$的值，直接写出$m$的取值范围。
答案
11.解:(1)$\because$一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由函数$y=x$的图象平移得到,$\therefore k=1$.
将点$(1,2)$代入$y=x+b$可得$b=1$,
$\therefore$一次函数的表达式为$y=x+1$.
(2)当$x＞1$时,函数$y=mx(m≠0)$的值都大于函数$y=x+1$的值,即函数$y=mx(m≠0)$的图象在直线$y=x+1$上方,由答图可知,
$m$的临界值为直线$y=mx(m≠0)$过点$(1,2)$时的取值,
解得$m=2$.
$\therefore$当$x＞1,m＞2$时,函数$y=mx(m≠0)$的值都大于函数$y=x+1$的值;
当$x＞1,m=2$时,函数$y=mx$的值也都大于一次函数$y=x+1$的值.
综上所述,$m$的取值范围为$m≥2$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先利用一次函数平移的性质：一次函数图象平移时斜率k保持不变，已知该一次函数由$y=x$平移得到，可直接确定$k=1$；再将已知点$(1,2)$代入解析式$y=x+b$，即可求出b的值，得到一次函数的表达式。
(2) 解决第二问需结合图象分析：要求$x＞1$时$y=mx$的值恒大于$y=kx+b$的值，即$x＞1$时$y=mx$的图象始终在$y=kx+b$图象的上方。先找临界情况：当$y=mx$经过两函数交点$(1,2)$时，可求得$m=2$，此时$x＞1$时$y=2x$恒大于$y=x+1$；若$m＞2$，$y=mx$斜率更大，$x＞1$时图象更在上方，满足条件；若$m＜2$则不满足，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由函数$y=x$的图象平移得到，平移不改变一次项系数，$\therefore k=1$。
将点$(1,2)$代入$y=x+b$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
$\therefore$这个一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 由图象可得两个函数的交点为$(1,2)$。
当$x＞1$时，要求$mx ＞ x+1$恒成立：
当$m=2$时，$y=2x$，$x＞1$时，$2x-(x+1)=x-1＞0$，即$2x ＞ x+1$，满足条件；
当$m＞2$时，直线$y=mx$的斜率大于2，$x＞1$时其图象始终在$y=x+1$的上方，满足条件；
当$m＜2$时，$x＞1$时存在x使得$mx ＜ x+1$，不满足要求。
综上，$m$的取值范围为$m≥2$。
【答案】
(1) $y=x+1$
(2) $m≥2$
【知识点】
一次函数平移性质；待定系数法求解析式；一次函数图象与不等式
【点评】
本题考查一次函数的相关知识，第一问属于基础题型，考查对平移性质和待定系数法的掌握；第二问需要结合图象分析，渗透数形结合思想，解题时要注意临界值的取舍，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先利用一次函数平移的性质：一次函数图象平移时斜率k保持不变，已知该一次函数由$y=x$平移得到，可直接确定$k=1$；再将已知点$(1,2)$代入解析式$y=x+b$，即可求出b的值，得到一次函数的表达式。
(2) 解决第二问需结合图象分析：要求$x＞1$时$y=mx$的值恒大于$y=kx+b$的值，即$x＞1$时$y=mx$的图象始终在$y=kx+b$图象的上方。先找临界情况：当$y=mx$经过两函数交点$(1,2)$时，可求得$m=2$，此时$x＞1$时$y=2x$恒大于$y=x+1$；若$m＞2$，$y=mx$斜率更大，$x＞1$时图象更在上方，满足条件；若$m＜2$则不满足，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由函数$y=x$的图象平移得到，平移不改变一次项系数，$\therefore k=1$。
将点$(1,2)$代入$y=x+b$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
$\therefore$这个一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 由图象可得两个函数的交点为$(1,2)$。
当$x＞1$时，要求$mx ＞ x+1$恒成立：
当$m=2$时，$y=2x$，$x＞1$时，$2x-(x+1)=x-1＞0$，即$2x ＞ x+1$，满足条件；
当$m＞2$时，直线$y=mx$的斜率大于2，$x＞1$时其图象始终在$y=x+1$的上方，满足条件；
当$m＜2$时，$x＞1$时存在x使得$mx ＜ x+1$，不满足要求。
综上，$m$的取值范围为$m≥2$。
【答案】
(1) $y=x+1$
(2) $m≥2$
【知识点】
一次函数平移性质；待定系数法求解析式；一次函数图象与不等式
【点评】
本题考查一次函数的相关知识，第一问属于基础题型，考查对平移性质和待定系数法的掌握；第二问需要结合图象分析，渗透数形结合思想，解题时要注意临界值的取舍，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
12.(14分)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求m的值和直线AB的函数表达式;
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
(1)求m的值和直线AB的函数表达式;
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
答案
12.解:(1)把点$A(2,m)$代入$y=2x-\frac{5}{2}$中,
得$m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$.
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$,把点$A(2,\frac{3}{2})$,$B(0,3)$代入,得$\begin{cases}2k+b=\frac{3}{2}, \\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\b=3.\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
(2)$\because$点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,
$\therefore y_1=-\frac{3}{4}t+3(0≤ t≤2)$.
$\because$点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,
$\therefore y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$.
$\therefore y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$.
$\because -\frac{11}{4}＜0$,$\therefore y_1-y_2$随$t$的增大而减小,
$\therefore$当$t=0$,$y_1-y_2$有最大值,最大值为$\frac{15}{2}$.
得$m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$.
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$,把点$A(2,\frac{3}{2})$,$B(0,3)$代入,得$\begin{cases}2k+b=\frac{3}{2}, \\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\b=3.\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
(2)$\because$点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,
$\therefore y_1=-\frac{3}{4}t+3(0≤ t≤2)$.
$\because$点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,
$\therefore y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$.
$\therefore y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$.
$\because -\frac{11}{4}＜0$,$\therefore y_1-y_2$随$t$的增大而减小,
$\therefore$当$t=0$,$y_1-y_2$有最大值,最大值为$\frac{15}{2}$.
解析
【分析】
（1）求m的值时，根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点$A(2,m)$代入直线$y=2x-\frac{5}{2}$计算即可得到m的值；求直线AB的函数表达式时，已知直线经过A、B两个点，采用待定系数法，先设解析式为$y=kx+b$，再将A、B两点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到直线AB的解析式。
（2）首先根据点P在线段AB上、点Q在已知直线上，分别将P、Q的横坐标代入对应的函数解析式，用含t的式子表示出$y_1$和$y_2$，再作差得到$y_1-y_2$关于t的一次函数表达式；结合线段AB的横坐标范围得到t的取值范围，再根据一次函数的增减性（k＜0时，函数值随自变量增大而减小），即可求出$y_1-y_2$的最大值。
【解析】
(1) 把点$A(2,m)$代入$y=2x-\frac{5}{2}$中，
得$m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$，把点$A(2,\frac{3}{2})$、$B(0,3)$代入，得
$\begin{cases}2k+b=\frac{3}{2}, \\b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\b=3.\end{cases}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段$AB$上，
∴$y_1=-\frac{3}{4}t+3\quad(0≤ t≤2)$。
∵点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，
∴$y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$。
∴$y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$。
∵$-\frac{11}{4}＜0$，
∴$y_1-y_2$随$t$的增大而减小，
∴当$t=0$时，$y_1-y_2$有最大值，最大值为$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{3}{2}$，直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；
(2) $y_1-y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；一次函数增减性
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数的基础性质，解题时注意不要忽略自变量的取值范围，结合增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.8
（1）求m的值时，根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点$A(2,m)$代入直线$y=2x-\frac{5}{2}$计算即可得到m的值；求直线AB的函数表达式时，已知直线经过A、B两个点，采用待定系数法，先设解析式为$y=kx+b$，再将A、B两点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到直线AB的解析式。
（2）首先根据点P在线段AB上、点Q在已知直线上，分别将P、Q的横坐标代入对应的函数解析式，用含t的式子表示出$y_1$和$y_2$，再作差得到$y_1-y_2$关于t的一次函数表达式；结合线段AB的横坐标范围得到t的取值范围，再根据一次函数的增减性（k＜0时，函数值随自变量增大而减小），即可求出$y_1-y_2$的最大值。
【解析】
(1) 把点$A(2,m)$代入$y=2x-\frac{5}{2}$中，
得$m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$，把点$A(2,\frac{3}{2})$、$B(0,3)$代入，得
$\begin{cases}2k+b=\frac{3}{2}, \\b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\b=3.\end{cases}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段$AB$上，
∴$y_1=-\frac{3}{4}t+3\quad(0≤ t≤2)$。
∵点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，
∴$y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$。
∴$y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$。
∵$-\frac{11}{4}＜0$，
∴$y_1-y_2$随$t$的增大而减小，
∴当$t=0$时，$y_1-y_2$有最大值，最大值为$\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{3}{2}$，直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；
(2) $y_1-y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；一次函数增减性
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数的基础性质，解题时注意不要忽略自变量的取值范围，结合增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.8
