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12 文昌阁是扬州的标志性建筑，其阁高约24 m，数据24中最多包含的$\sqrt{10}$的个数为 （
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
12. C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确题意是求24里最多有多少个$\sqrt{10}$，本质是求满足$x·\sqrt{10}≤24$的最大正整数$x$。解题思路为：先估算无理数$\sqrt{10}$的近似值，再通过不等式推导和计算，找到满足条件的最大整数即可。
【解析】
解：设24中最多包含$x$个$\sqrt{10}$，根据题意可得：
$x·\sqrt{10} ≤ 24$，即$x ≤ \frac{24}{\sqrt{10}}$
先估算$\sqrt{10}$的近似值：因为$3^2=9$，$3.2^2=10.24$，所以$\sqrt{10}\approx3.162$
代入计算得：$\frac{24}{\sqrt{10}}\approx\frac{24}{3.162}\approx7.59$
因为$x$为正整数，所以$x$的最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题核心考查对无理数近似值的估算能力，解题时只要准确估算出$\sqrt{10}$的取值范围，结合实数运算就能快速得到结果，注意最终要取符合条件的最大整数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确题意是求24里最多有多少个$\sqrt{10}$，本质是求满足$x·\sqrt{10}≤24$的最大正整数$x$。解题思路为：先估算无理数$\sqrt{10}$的近似值，再通过不等式推导和计算，找到满足条件的最大整数即可。
【解析】
解：设24中最多包含$x$个$\sqrt{10}$，根据题意可得：
$x·\sqrt{10} ≤ 24$，即$x ≤ \frac{24}{\sqrt{10}}$
先估算$\sqrt{10}$的近似值：因为$3^2=9$，$3.2^2=10.24$，所以$\sqrt{10}\approx3.162$
代入计算得：$\frac{24}{\sqrt{10}}\approx\frac{24}{3.162}\approx7.59$
因为$x$为正整数，所以$x$的最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题核心考查对无理数近似值的估算能力，解题时只要准确估算出$\sqrt{10}$的取值范围，结合实数运算就能快速得到结果，注意最终要取符合条件的最大整数。
【难度系数】
0.7
13（2025南京鼓楼期末）若$ a $是无理数，且$ \sqrt{2} ＜ a ＜ \sqrt{5} $，则$ a $可能是（
A.$ \sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2} $
D.$ \sqrt{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} $
C
）A.$ \sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2} $
D.$ \sqrt{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} $
答案
13. C
解析
【分析】
要找到满足条件的a，首先明确解题思路：首先牢记常见无理数的近似值，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，先将题目中a的取值范围转化为具体的小数区间：$1.414 ＜ a ＜ 2.236$；接下来逐一计算每个选项的近似值，判断其是否落在上述区间内，即可选出正确答案。
【解析】
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，因此a的取值范围为$1.414 ＜ a ＜ 2.236$，且a为无理数：
选项A：$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\approx1.414-\frac{2.236}{2}=1.414-1.118=0.296$，小于1.414，不符合要求，排除；
选项B：$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}\approx\frac{2.236-1.414}{2}=\frac{0.822}{2}=0.411$，小于1.414，不符合要求，排除；
选项C：$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}\approx\frac{2.236+1.414}{2}=\frac{3.65}{2}=1.825$，满足$1.414＜1.825＜2.236$，且该数为无理数，符合要求；
选项D：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\approx1.414+\frac{2.236}{2}=1.414+1.118=2.532$，大于2.236，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，实数的大小比较，无理数的概念
【点评】
本题核心考查对常见无理数近似值的掌握，通过估算各选项的取值范围即可快速选出正确答案，解题的关键是牢记$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等常用无理数的近似值，能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要找到满足条件的a，首先明确解题思路：首先牢记常见无理数的近似值，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，先将题目中a的取值范围转化为具体的小数区间：$1.414 ＜ a ＜ 2.236$；接下来逐一计算每个选项的近似值，判断其是否落在上述区间内，即可选出正确答案。
【解析】
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{5}\approx2.236$，因此a的取值范围为$1.414 ＜ a ＜ 2.236$，且a为无理数：
选项A：$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\approx1.414-\frac{2.236}{2}=1.414-1.118=0.296$，小于1.414，不符合要求，排除；
选项B：$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}\approx\frac{2.236-1.414}{2}=\frac{0.822}{2}=0.411$，小于1.414，不符合要求，排除；
选项C：$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}\approx\frac{2.236+1.414}{2}=\frac{3.65}{2}=1.825$，满足$1.414＜1.825＜2.236$，且该数为无理数，符合要求；
选项D：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\approx1.414+\frac{2.236}{2}=1.414+1.118=2.532$，大于2.236，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，实数的大小比较，无理数的概念
【点评】
本题核心考查对常见无理数近似值的掌握，通过估算各选项的取值范围即可快速选出正确答案，解题的关键是牢记$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等常用无理数的近似值，能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
14（2025南通海安月考）已知非零实数$a,b$满足$|3a - 4| + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 3a$，则$a + b$等于（
A.$-1$
B.$9$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$9$
C.$1$
D.$2$
答案
14. C
解析
【分析】
解题第一步先依据二次根式有意义的条件确定a的取值范围：二次根号下的被开方数必须是非负数，结合b是非零实数的条件可推出a≥3；第二步根据a的取值范围化简绝对值|3a-4|，代入原式整理后可得到两个非负数相加等于0的式子；第三步利用"几个非负数的和为0时，每个非负数都为0"的性质，分别求出a、b的值，最后计算a+b即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：$(a-3)b^2≥0$，
∵$b$是非零实数，
∴$b^2＞0$，
∴$a-3≥0$，即$a≥3$，
∴$3a-4≥3×3-4=5＞0$，则$|3a-4|=3a-4$，
将$|3a-4|=3a-4$代入原式：
$3a - 4 + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 3a$，
化简得：$|b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 0$，
∵$|b+2|≥0$，$\sqrt{(a-3)b^2}≥0$，
∴$\begin{cases}b+2=0\\(a-3)b^2=0\end{cases}$，
解得：$b=-2$，又$b≠0$，故$a-3=0$，即$a=3$，
∴$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】C
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；绝对值的化简
【点评】
本题的突破口是先通过二次根式有意义的条件确定a的取值范围，进而去掉绝对值符号，再结合非负数的性质求解，解题时要注意题目中"非零实数b"这个隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
解题第一步先依据二次根式有意义的条件确定a的取值范围：二次根号下的被开方数必须是非负数，结合b是非零实数的条件可推出a≥3；第二步根据a的取值范围化简绝对值|3a-4|，代入原式整理后可得到两个非负数相加等于0的式子；第三步利用"几个非负数的和为0时，每个非负数都为0"的性质，分别求出a、b的值，最后计算a+b即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：$(a-3)b^2≥0$，
∵$b$是非零实数，
∴$b^2＞0$，
∴$a-3≥0$，即$a≥3$，
∴$3a-4≥3×3-4=5＞0$，则$|3a-4|=3a-4$，
将$|3a-4|=3a-4$代入原式：
$3a - 4 + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 3a$，
化简得：$|b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 0$，
∵$|b+2|≥0$，$\sqrt{(a-3)b^2}≥0$，
∴$\begin{cases}b+2=0\\(a-3)b^2=0\end{cases}$，
解得：$b=-2$，又$b≠0$，故$a-3=0$，即$a=3$，
∴$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】C
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；绝对值的化简
【点评】
本题的突破口是先通过二次根式有意义的条件确定a的取值范围，进而去掉绝对值符号，再结合非负数的性质求解，解题时要注意题目中"非零实数b"这个隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
15（2025苏州期末）已知$a,b$都是有理数，观察表中的运算，则$m=$
3
。答案
15. 3
解析
【分析】首先根据表格给出的$a+b$和$a-b$的运算结果，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出$a$、$b$的取值；再将$a$、$b$代入到$\sqrt[3]{2a-3b}$中计算，即可得到$m$的值。
【解析】
根据表格信息可列方程组：
$\begin{cases}a+b=-4 \\a-b=10\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入$a+b=-4$，得$3+b=-4$，解得$b=-7$。
将$a=3$、$b=-7$代入$\sqrt[3]{2a-3b}$计算：
$2a-3b=2×3 - 3×(-7)=6+21=27$
因此$\sqrt[3]{27}=3$，即$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值，立方根运算
【点评】
本题是基础综合运算题，解题关键是先通过已知的等量关系求出参数$a$、$b$的值，再代入含立方根的代数式计算，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
【解析】
根据表格信息可列方程组：
$\begin{cases}a+b=-4 \\a-b=10\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入$a+b=-4$，得$3+b=-4$，解得$b=-7$。
将$a=3$、$b=-7$代入$\sqrt[3]{2a-3b}$计算：
$2a-3b=2×3 - 3×(-7)=6+21=27$
因此$\sqrt[3]{27}=3$，即$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值，立方根运算
【点评】
本题是基础综合运算题，解题关键是先通过已知的等量关系求出参数$a$、$b$的值，再代入含立方根的代数式计算，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
16 新趋势 新运算 (2025南通崇川月考)设$a,b$都是有理数,规定$a*b=\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$,则$4*[9*(-64)]=$
1
.答案
16. 1
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路如下：首先要准确理解新运算“*”的规则：a*b的结果等于第一个数a的算术平方根加上第二个数b的立方根；其次遵循混合运算的顺序，有括号时先计算括号内的运算，再计算括号外的运算，每一步代入对应数值计算即可。
【解析】
先计算内层括号里的$9*(-64)$：
根据新运算规则$a*b=\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$，取$a=9$，$b=-64$，
则$9*(-64)=\sqrt{9}+\sqrt[3]{-64}=3+(-4)=-1$。
再计算外层的$4*(-1)$：
取$a=4$，$b=-1$，
则$4*(-1)=\sqrt{4}+\sqrt[3]{-1}=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算、算术平方根计算、立方根计算
【点评】
本题结合新运算考查实数的基础运算，核心是正确理解新运算的规则，运算时注意先算括号内再算括号外，同时要注意负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
本题属于新定义运算题型，解题思路如下：首先要准确理解新运算“*”的规则：a*b的结果等于第一个数a的算术平方根加上第二个数b的立方根；其次遵循混合运算的顺序，有括号时先计算括号内的运算，再计算括号外的运算，每一步代入对应数值计算即可。
【解析】
先计算内层括号里的$9*(-64)$：
根据新运算规则$a*b=\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$，取$a=9$，$b=-64$，
则$9*(-64)=\sqrt{9}+\sqrt[3]{-64}=3+(-4)=-1$。
再计算外层的$4*(-1)$：
取$a=4$，$b=-1$，
则$4*(-1)=\sqrt{4}+\sqrt[3]{-1}=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算、算术平方根计算、立方根计算
【点评】
本题结合新运算考查实数的基础运算，核心是正确理解新运算的规则，运算时注意先算括号内再算括号外，同时要注意负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
17 若$x,y$是有理数，且满足$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=9+3\sqrt{2}$，求$x-y$的算术平方根。
答案
17. 解:$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=9+3\sqrt{2}$,
化简,得$3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$.
因为$x,y$是有理数,所以$3x-7y=9,y=3$,
所以$x=10$,所以$x-y=10-3=7$.
因为7的算术平方根是$\sqrt{7}$,
所以$x-y$的算术平方根是$\sqrt{7}$.
化简,得$3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$.
因为$x,y$是有理数,所以$3x-7y=9,y=3$,
所以$x=10$,所以$x-y=10-3=7$.
因为7的算术平方根是$\sqrt{7}$,
所以$x-y$的算术平方根是$\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解题时首先利用整式运算规则把等式左边展开整理，拆分出不含根号的有理数部分和含$\sqrt{2}$的无理数部分；因为$x、y$是有理数，根据有理数和无理数的运算性质：有理数加减运算结果仍为有理数，不可能等于无理数，因此等式两边的有理数部分必须相等，无理数部分的系数也必须对应相等，据此列方程先求出$y$的值，再代入求出$x$的值，最后计算$x-y$的算术平方根即可。
【解析】
解：对原式展开化简：
$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=3x-6y-y+\sqrt{2}y=3x-7y+\sqrt{2}y$
即原式化简为：$3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$
$\because x、y$是有理数，$\therefore 3x-7y$是有理数，$\sqrt{2}y$的系数$y$是有理数
根据等式两边有理部分、无理部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}3x-7y=9 \\ y=3\end{cases}$
把$y=3$代入$3x-7y=9$，得$3x-21=9$，解得$x=10$
则$x-y=10-3=7$
$\because 7$的算术平方根是$\sqrt{7}$
$\therefore x-y$的算术平方根为$\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
①有理数与无理数的性质 ②解二元一次方程 ③算术平方根的定义
【点评】
本题是实数运算的典型题型，解题核心是利用“有理数和无理数无法合并，等式两边有理部分、无理部分对应相等”的性质列方程求解，需要注意算术平方根结果为非负数，避免与平方根概念混淆。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用整式运算规则把等式左边展开整理，拆分出不含根号的有理数部分和含$\sqrt{2}$的无理数部分；因为$x、y$是有理数，根据有理数和无理数的运算性质：有理数加减运算结果仍为有理数，不可能等于无理数，因此等式两边的有理数部分必须相等，无理数部分的系数也必须对应相等，据此列方程先求出$y$的值，再代入求出$x$的值，最后计算$x-y$的算术平方根即可。
【解析】
解：对原式展开化简：
$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=3x-6y-y+\sqrt{2}y=3x-7y+\sqrt{2}y$
即原式化简为：$3x-7y+\sqrt{2}y=9+3\sqrt{2}$
$\because x、y$是有理数，$\therefore 3x-7y$是有理数，$\sqrt{2}y$的系数$y$是有理数
根据等式两边有理部分、无理部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}3x-7y=9 \\ y=3\end{cases}$
把$y=3$代入$3x-7y=9$，得$3x-21=9$，解得$x=10$
则$x-y=10-3=7$
$\because 7$的算术平方根是$\sqrt{7}$
$\therefore x-y$的算术平方根为$\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
①有理数与无理数的性质 ②解二元一次方程 ③算术平方根的定义
【点评】
本题是实数运算的典型题型，解题核心是利用“有理数和无理数无法合并，等式两边有理部分、无理部分对应相等”的性质列方程求解，需要注意算术平方根结果为非负数，避免与平方根概念混淆。
【难度系数】
0.6
18 新素养 运算能力 (2025 灌云月考)先观察下列等式，再解答下列问题：
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$.
（1）根据上面三个等式提供的信息，计算：$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用$n$（$n$为正整数）表示的等式；
（3）请利用上述规律来计算：$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}$.
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$.
（1）根据上面三个等式提供的信息，计算：$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用$n$（$n$为正整数）表示的等式；
（3）请利用上述规律来计算：$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}$.
答案
18. 解:(1) 由题意,得$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1\frac{1}{20}$,
所以$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1\frac{1}{20}$.
(2) 由题意,得$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$,
所以用$n$($n$为正整数)表示的等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$.
(3) 由题意,得$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1\frac{1}{56}$,
所以$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=1\frac{1}{56}$.
所以$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1\frac{1}{20}$.
(2) 由题意,得$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$,
所以用$n$($n$为正整数)表示的等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$.
(3) 由题意,得$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1\frac{1}{56}$,
所以$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=1\frac{1}{56}$.
解析
【分析】
本题是规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第（1）问：观察给出的3个等式，发现被开方数均为“$1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}$”的形式，运算结果为“$1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$”，本题中k=4，直接代入规律计算即可。
2. 第（2）问：将前三个等式中的具体数字k替换为正整数n，再对右边的分式加减运算化简，即可得到通用规律。
3. 第（3）问：先将被开方数$\frac{50}{49}+\frac{1}{64}$变形为“$1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}$”的形式，匹配得到的通用规律，再代入计算即可。
【解析】
（1）根据前三个等式的规律可得：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
（2）观察等式规律，将数字替换为正整数n：
左边为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
右边化简：$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
因此通用等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
（3）先变形被开方数：
$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}$
代入规律计算：
原式=$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{1}{56}=1\frac{1}{56}$
【答案】
（1）$1\frac{1}{20}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）；
（3）$1\frac{1}{56}$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式加减运算
【点评】
本题属于规律探究与运算结合的题型，核心是从给出的特殊等式中归纳出通用规律，再运用规律解决变形后的计算问题，需要具备一定的观察归纳能力和运算能力，变形时注意将被开方数调整为符合规律的结构即可。
【难度系数】
0.7
本题是规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第（1）问：观察给出的3个等式，发现被开方数均为“$1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}$”的形式，运算结果为“$1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$”，本题中k=4，直接代入规律计算即可。
2. 第（2）问：将前三个等式中的具体数字k替换为正整数n，再对右边的分式加减运算化简，即可得到通用规律。
3. 第（3）问：先将被开方数$\frac{50}{49}+\frac{1}{64}$变形为“$1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}$”的形式，匹配得到的通用规律，再代入计算即可。
【解析】
（1）根据前三个等式的规律可得：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
（2）观察等式规律，将数字替换为正整数n：
左边为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
右边化简：$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
因此通用等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
（3）先变形被开方数：
$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}$
代入规律计算：
原式=$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{1}{56}=1\frac{1}{56}$
【答案】
（1）$1\frac{1}{20}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）；
（3）$1\frac{1}{56}$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式加减运算
【点评】
本题属于规律探究与运算结合的题型，核心是从给出的特殊等式中归纳出通用规律，再运用规律解决变形后的计算问题，需要具备一定的观察归纳能力和运算能力，变形时注意将被开方数调整为符合规律的结构即可。
【难度系数】
0.7
