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10（2025泰州姜堰期中）若点P坐标可表示为$(m+2,-2m+1)$，其中m为任意实数，则点P不可能在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$。我们采用分类讨论的思路，分别假设点P在四个象限，根据对应象限的符号要求列出关于m的不等式组，若不等式组有解，说明存在符合条件的m，点P可以在该象限；若不等式组无解，说明点P不可能在该象限。
【解析】
根据各象限坐标的符号特征，分情况讨论：
1. 假设点P在第一象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＞0 \\ -2m+1＞0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＞-2 \\ m＜\frac{1}{2}\end{cases}$，即$-2＜m＜\frac{1}{2}$，存在符合条件的m，因此点P可能在第一象限。
2. 假设点P在第二象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＜0 \\ -2m+1＞0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＜-2 \\ m＜\frac{1}{2}\end{cases}$，即$m＜-2$，存在符合条件的m，因此点P可能在第二象限。
3. 假设点P在第三象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＜0 \\ -2m+1＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＜-2 \\ m＞\frac{1}{2}\end{cases}$，该不等式组无公共解集，不存在符合条件的m，因此点P不可能在第三象限。
4. 假设点P在第四象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＞0 \\ -2m+1＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＞-2 \\ m＞\frac{1}{2}\end{cases}$，即$m＞\frac{1}{2}$，存在符合条件的m，因此点P可能在第四象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限坐标符号特征
2. 一元一次不等式组解法
【点评】
本题将平面直角坐标系的象限性质与不等式组求解相结合，需要运用分类讨论思想逐一验证，解题核心是准确记忆各象限坐标的符号特点，通过解不等式组判断是否存在符合条件的参数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$。我们采用分类讨论的思路，分别假设点P在四个象限，根据对应象限的符号要求列出关于m的不等式组，若不等式组有解，说明存在符合条件的m，点P可以在该象限；若不等式组无解，说明点P不可能在该象限。
【解析】
根据各象限坐标的符号特征，分情况讨论：
1. 假设点P在第一象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＞0 \\ -2m+1＞0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＞-2 \\ m＜\frac{1}{2}\end{cases}$，即$-2＜m＜\frac{1}{2}$，存在符合条件的m，因此点P可能在第一象限。
2. 假设点P在第二象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＜0 \\ -2m+1＞0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＜-2 \\ m＜\frac{1}{2}\end{cases}$，即$m＜-2$，存在符合条件的m，因此点P可能在第二象限。
3. 假设点P在第三象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＜0 \\ -2m+1＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＜-2 \\ m＞\frac{1}{2}\end{cases}$，该不等式组无公共解集，不存在符合条件的m，因此点P不可能在第三象限。
4. 假设点P在第四象限：
列不等式组$\begin{cases}m+2＞0 \\ -2m+1＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m＞-2 \\ m＞\frac{1}{2}\end{cases}$，即$m＞\frac{1}{2}$，存在符合条件的m，因此点P可能在第四象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限坐标符号特征
2. 一元一次不等式组解法
【点评】
本题将平面直角坐标系的象限性质与不等式组求解相结合，需要运用分类讨论思想逐一验证，解题核心是准确记忆各象限坐标的符号特点，通过解不等式组判断是否存在符合条件的参数。
【难度系数】
0.7
11 若点$M(-2a+18,32-2a)$在$x$轴上，则$\sqrt{a}$的值为 （
A.3
B.$\pm 3$
C.4
D.$\pm 4$
C
）A.3
B.$\pm 3$
C.4
D.$\pm 4$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0。我们可以先利用这个特征列出关于a的一元一次方程，求出a的取值，再根据算术平方根的定义计算$\sqrt{a}$的值，注意算术平方根的结果是非负数，可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
解：
∵点$M(-2a+18,32-2a)$在x轴上
∴x轴上的点纵坐标为0，可得方程：
$32-2a=0$
移项得：$-2a=-32$
解得：$a=16$
将$a=16$代入$\sqrt{a}$得：$\sqrt{16}=4$，算术平方根结果为非负数，因此不能取$-4$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
x轴上点的坐标特征；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟记坐标轴上点的坐标规律，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免混淆二者的取值范围错选选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0。我们可以先利用这个特征列出关于a的一元一次方程，求出a的取值，再根据算术平方根的定义计算$\sqrt{a}$的值，注意算术平方根的结果是非负数，可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
解：
∵点$M(-2a+18,32-2a)$在x轴上
∴x轴上的点纵坐标为0，可得方程：
$32-2a=0$
移项得：$-2a=-32$
解得：$a=16$
将$a=16$代入$\sqrt{a}$得：$\sqrt{16}=4$，算术平方根结果为非负数，因此不能取$-4$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
x轴上点的坐标特征；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟记坐标轴上点的坐标规律，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免混淆二者的取值范围错选选项。
【难度系数】
0.7
12 若点$P(2a,1-3a)$在第一象限，且点$P$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离之和为$\frac{5}{6}$，则$a$的值为
$\frac{1}{6}$
。答案
12.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先回忆第一象限的点的坐标特征，第一象限内的点横坐标、纵坐标均为正数；其次明确点到坐标轴的距离规则：点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值，结合第一象限坐标为正的特点，可以直接去掉绝对值符号；最后根据“距离之和为$\frac{5}{6}$”的条件列一元一次方程求解，解出后验证是否符合第一象限的坐标要求即可。
【解析】
解：$\because$点$P(2a,1-3a)$在第一象限
$\therefore 2a＞0$，$1-3a＞0$
$\because$点$P$到$x$轴的距离为$|1-3a|=1-3a$，到$y$轴的距离为$|2a|=2a$
根据题意可列方程：
$2a+(1-3a)=\frac{5}{6}$
化简得：$1-a=\frac{5}{6}$
解得：$a=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
验证：当$a=\frac{1}{6}$时，$2a=\frac{1}{3}＞0$，$1-3a=\frac{1}{2}＞0$，符合第一象限点的坐标特征，解成立。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；一元一次方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题核心是理清坐标符号、坐标与坐标轴距离的对应关系，求解后要注意验证解是否符合题中给出的象限限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先回忆第一象限的点的坐标特征，第一象限内的点横坐标、纵坐标均为正数；其次明确点到坐标轴的距离规则：点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值，结合第一象限坐标为正的特点，可以直接去掉绝对值符号；最后根据“距离之和为$\frac{5}{6}$”的条件列一元一次方程求解，解出后验证是否符合第一象限的坐标要求即可。
【解析】
解：$\because$点$P(2a,1-3a)$在第一象限
$\therefore 2a＞0$，$1-3a＞0$
$\because$点$P$到$x$轴的距离为$|1-3a|=1-3a$，到$y$轴的距离为$|2a|=2a$
根据题意可列方程：
$2a+(1-3a)=\frac{5}{6}$
化简得：$1-a=\frac{5}{6}$
解得：$a=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
验证：当$a=\frac{1}{6}$时，$2a=\frac{1}{3}＞0$，$1-3a=\frac{1}{2}＞0$，符合第一象限点的坐标特征，解成立。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；一元一次方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题核心是理清坐标符号、坐标与坐标轴距离的对应关系，求解后要注意验证解是否符合题中给出的象限限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.8
13（2025武威凉州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(1,2),C(3,-1)，请你在坐标系内找一点P(不与点B重合)，使PA=BA，PC=BC，则点P的坐标是
(5,2)
。答案
13.(5,2)
解析
【分析】
首先根据题意，PA=BA说明点A到点P、点B的距离相等，PC=BC说明点C到点P、点B的距离相等，结合线段垂直平分线的判定，可知直线AC是线段BP的垂直平分线。先观察点A、C的坐标，发现二者横坐标相同，因此AC是垂直于x轴的直线x=3，进而可得BP平行于x轴，即P和B的纵坐标相同，再根据B到直线x=3的距离即可求出P的横坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(3,4)，点C的坐标为(3,-1)，
∴两点横坐标相同，AC所在直线为直线x=3，且AC垂直于x轴。
∵PA=BA，PC=BC，
∴点A、C均在线段BP的垂直平分线上，即直线AC是线段BP的垂直平分线。
∴点B和点P关于直线x=3对称，
∴点P的纵坐标与点B的纵坐标相同，为2。
点B(1,2)到直线x=3的距离为：3-1=2，
∴点P的横坐标为3+2=5，
∴点P的坐标为(5,2)。
【答案】
(5,2)
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定 2. 对称点的坐标特征 3. 平面直角坐标系坐标运算
【点评】
本题将线段垂直平分线的判定和平面直角坐标系的坐标运算结合，解题的关键是判断出点P与点B关于直线AC对称，也可通过画图直观找到点P的位置，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先根据题意，PA=BA说明点A到点P、点B的距离相等，PC=BC说明点C到点P、点B的距离相等，结合线段垂直平分线的判定，可知直线AC是线段BP的垂直平分线。先观察点A、C的坐标，发现二者横坐标相同，因此AC是垂直于x轴的直线x=3，进而可得BP平行于x轴，即P和B的纵坐标相同，再根据B到直线x=3的距离即可求出P的横坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(3,4)，点C的坐标为(3,-1)，
∴两点横坐标相同，AC所在直线为直线x=3，且AC垂直于x轴。
∵PA=BA，PC=BC，
∴点A、C均在线段BP的垂直平分线上，即直线AC是线段BP的垂直平分线。
∴点B和点P关于直线x=3对称，
∴点P的纵坐标与点B的纵坐标相同，为2。
点B(1,2)到直线x=3的距离为：3-1=2，
∴点P的横坐标为3+2=5，
∴点P的坐标为(5,2)。
【答案】
(5,2)
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定 2. 对称点的坐标特征 3. 平面直角坐标系坐标运算
【点评】
本题将线段垂直平分线的判定和平面直角坐标系的坐标运算结合，解题的关键是判断出点P与点B关于直线AC对称，也可通过画图直观找到点P的位置，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
14 (2025 盐城建湖期末)如图，在平面直角坐标系中，点$A(-2,0),C(0,6)$，点$B$在$x$轴的正半轴上，连接$AC,BC$.若$AB=BC$，则点$B$的坐标是
(8,0)
.答案
14.(8,0)
解析
【分析】
要确定点B的坐标，已知点B在x轴正半轴上，可设点B的坐标为$(x,0)$（$x＞0$）。首先根据x轴上两点的距离规律表示出AB的长度，再结合直角三角形COB，用勾股定理表示出BC的长度，最后根据$AB=BC$的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设点$B$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
1. 计算$AB$的长度：
点$A(-2,0)$和点$B(x,0)$均在x轴上，两点距离为横坐标的差，即$AB = x - (-2) = x + 2$。
2. 计算$BC$的长度：
$OC⊥ OB$，$△ COB$是直角三角形，$OC=6$，$OB=x$，根据勾股定理可得：
$BC^2 = OC^2 + OB^2 = 6^2 + x^2 = x^2 + 36$。
3. 列方程求解：
因为$AB=BC$，所以$AB^2 = BC^2$，代入得：
$(x+2)^2 = x^2 + 36$
展开左边得$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 36$
化简得$4x = 32$，解得$x=8$。
因此点B的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8,0)$
【知识点】
勾股定理；坐标轴点坐标特征；方程法求坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的基础结合题，核心是通过设未知坐标，利用线段相等的条件构建方程，将几何问题转化为代数方程求解，是坐标系类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
要确定点B的坐标，已知点B在x轴正半轴上，可设点B的坐标为$(x,0)$（$x＞0$）。首先根据x轴上两点的距离规律表示出AB的长度，再结合直角三角形COB，用勾股定理表示出BC的长度，最后根据$AB=BC$的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设点$B$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
1. 计算$AB$的长度：
点$A(-2,0)$和点$B(x,0)$均在x轴上，两点距离为横坐标的差，即$AB = x - (-2) = x + 2$。
2. 计算$BC$的长度：
$OC⊥ OB$，$△ COB$是直角三角形，$OC=6$，$OB=x$，根据勾股定理可得：
$BC^2 = OC^2 + OB^2 = 6^2 + x^2 = x^2 + 36$。
3. 列方程求解：
因为$AB=BC$，所以$AB^2 = BC^2$，代入得：
$(x+2)^2 = x^2 + 36$
展开左边得$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 36$
化简得$4x = 32$，解得$x=8$。
因此点B的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8,0)$
【知识点】
勾股定理；坐标轴点坐标特征；方程法求坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的基础结合题，核心是通过设未知坐标，利用线段相等的条件构建方程，将几何问题转化为代数方程求解，是坐标系类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
15（2025南京鼓楼模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16.
（1）请写出点A，E，F的坐标；
（2）求△BDF的面积.
（1）请写出点A，E，F的坐标；
（2）求△BDF的面积.
答案
15. 解:(1) 因为正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16，
所以正方形ABCD和正方形EFGC的边长分别为8和4，
所以OG=8+4=12，
所以A(0,8),E(8,4),F(12,4).
(2) $S_{△ BDF}=S_{△ BDC}+S_{梯形BCGF}-S_{△ DGF}$
$=\frac{1}{2}×8×8+\frac{1}{2}×(4+8)×4-\frac{1}{2}×(8+4)×4$
$=32+24-24=32.$
所以正方形ABCD和正方形EFGC的边长分别为8和4，
所以OG=8+4=12，
所以A(0,8),E(8,4),F(12,4).
(2) $S_{△ BDF}=S_{△ BDC}+S_{梯形BCGF}-S_{△ DGF}$
$=\frac{1}{2}×8×8+\frac{1}{2}×(4+8)×4-\frac{1}{2}×(8+4)×4$
$=32+24-24=32.$
解析
【分析】
（1）要确定点的坐标，首先根据正方形面积公式求出两个正方形的边长：正方形面积等于边长的平方，已知面积分别为64和16，可算出大、小正方形的边长分别为8和4。再结合坐标系中点的位置特征：点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标等于大正方形边长；点E的横坐标等于大正方形边长，纵坐标等于小正方形边长；点F的横坐标为两个正方形边长之和，纵坐标等于小正方形边长，即可推出三点坐标。
（2）直接求△BDF的底和高计算难度大，因此采用割补法：将△BDF的面积转化为△BDC的面积加梯形BCGF的面积，再减去多余的△DGF的面积，分别计算三个规则图形的面积后做和差运算即可得到结果。
【解析】
解：(1)
∵正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16，
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt{64}=8$，正方形EFGC的边长为$\sqrt{16}=4$。
结合坐标系位置可得：
点A在y轴正半轴，横坐标为0，纵坐标等于大正方形边长，即$A(0,8)$；
点E横坐标等于大正方形边长，纵坐标等于小正方形边长，即$E(8,4)$；
点F横坐标为两个正方形边长之和$8+4=12$，纵坐标等于小正方形边长，即$F(12,4)$。
(2) 用割补法计算$△ BDF$的面积：
$S_{△ BDF}=S_{△ BDC}+S_{梯形BCGF}-S_{△ DGF}$
分别计算各规则图形面积：
$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×8×8=32$，
$S_{梯形BCGF}=\frac{1}{2}×(4+8)×4=24$，
$S_{△ DGF}=\frac{1}{2}×(8+4)×4=24$，
代入得$S_{△ BDF}=32+24-24=32$。
【答案】
(1) $A(0,8)$，$E(8,4)$，$F(12,4)$；
(2) $32$
【知识点】
正方形的性质；平面直角坐标系与点的坐标；割补法求面积
【点评】
本题综合考查正方形性质和平面直角坐标系的基础应用，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的核心，割补法是坐标系中图形面积计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要确定点的坐标，首先根据正方形面积公式求出两个正方形的边长：正方形面积等于边长的平方，已知面积分别为64和16，可算出大、小正方形的边长分别为8和4。再结合坐标系中点的位置特征：点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标等于大正方形边长；点E的横坐标等于大正方形边长，纵坐标等于小正方形边长；点F的横坐标为两个正方形边长之和，纵坐标等于小正方形边长，即可推出三点坐标。
（2）直接求△BDF的底和高计算难度大，因此采用割补法：将△BDF的面积转化为△BDC的面积加梯形BCGF的面积，再减去多余的△DGF的面积，分别计算三个规则图形的面积后做和差运算即可得到结果。
【解析】
解：(1)
∵正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16，
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt{64}=8$，正方形EFGC的边长为$\sqrt{16}=4$。
结合坐标系位置可得：
点A在y轴正半轴，横坐标为0，纵坐标等于大正方形边长，即$A(0,8)$；
点E横坐标等于大正方形边长，纵坐标等于小正方形边长，即$E(8,4)$；
点F横坐标为两个正方形边长之和$8+4=12$，纵坐标等于小正方形边长，即$F(12,4)$。
(2) 用割补法计算$△ BDF$的面积：
$S_{△ BDF}=S_{△ BDC}+S_{梯形BCGF}-S_{△ DGF}$
分别计算各规则图形面积：
$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×8×8=32$，
$S_{梯形BCGF}=\frac{1}{2}×(4+8)×4=24$，
$S_{△ DGF}=\frac{1}{2}×(8+4)×4=24$，
代入得$S_{△ BDF}=32+24-24=32$。
【答案】
(1) $A(0,8)$，$E(8,4)$，$F(12,4)$；
(2) $32$
【知识点】
正方形的性质；平面直角坐标系与点的坐标；割补法求面积
【点评】
本题综合考查正方形性质和平面直角坐标系的基础应用，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的核心，割补法是坐标系中图形面积计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
16 新趋势 新定义（2025南通海门月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”。
（1）求点A(2,−4)的“长距”；
（2）若点B(4a−5,−2)是“完美点”，求a的值；
（3）若点C(3,3b−5)的长距为4，点D的坐标为(3b−1,5c+3)，且点D是“完美点”，求b，c的值。
（1）求点A(2,−4)的“长距”；
（2）若点B(4a−5,−2)是“完美点”，求a的值；
（3）若点C(3,3b−5)的长距为4，点D的坐标为(3b−1,5c+3)，且点D是“完美点”，求b，c的值。
答案
16. 解:(1) 由题意,得点A(2,−4)到x轴的距离为4,到y轴的距离为2,
所以点A的“长距”为4.
(2) 因为点B(4a−5,−2)是“完美点”,
所以$|4a−5|=|−2|$,
所以4a−5=2或4a−5=−2,
解得$a=\frac{7}{4}$或$a=\frac{3}{4}$.
(3) 因为点C(3,3b−5)的长距为4,
所以$|3b−5|=4$,
解得b=3或$b=\frac{1}{3}$.
因为点D的坐标为(3b−1,5c+3),且点D是“完美点”,
所以3b−1=5c+3或3b−1=−(5c+3),
所以当b=3时,c=1或$c=-\frac{11}{5}$;当$b=\frac{1}{3}$时,$c=-\frac{3}{5}$.
所以点A的“长距”为4.
(2) 因为点B(4a−5,−2)是“完美点”,
所以$|4a−5|=|−2|$,
所以4a−5=2或4a−5=−2,
解得$a=\frac{7}{4}$或$a=\frac{3}{4}$.
(3) 因为点C(3,3b−5)的长距为4,
所以$|3b−5|=4$,
解得b=3或$b=\frac{1}{3}$.
因为点D的坐标为(3b−1,5c+3),且点D是“完美点”,
所以3b−1=5c+3或3b−1=−(5c+3),
所以当b=3时,c=1或$c=-\frac{11}{5}$;当$b=\frac{1}{3}$时,$c=-\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
解决本题的核心是准确理解两个新定义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即点的横、纵坐标的绝对值相等。
解题时按小问逐个突破：
（1）先分别计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即为长距；
（2）根据“完美点”的定义列横纵坐标绝对值相等的方程，解绝对值方程即可求a；
（3）先结合点C的横坐标绝对值为3＜4，根据长距为4可得点C纵坐标的绝对值为4，先解出b的取值，再将b代入点D的坐标，根据“完美点”的定义列绝对值方程，分情况求解c即可。
【解析】
(1) 点$A(2,−4)$到x轴的距离为$|-4|=4$，到y轴的距离为$|2|=2$，根据“长距”的定义取较大值，因此点A的“长距”为4。
(2) 因为点$B(4a−5,−2)$是“完美点”，根据定义可知点B横、纵坐标的绝对值相等，可得：
$|4a−5|=|−2|$
即$4a−5=2$或$4a−5=−2$
解得$a=\frac{7}{4}$或$a=\frac{3}{4}$。
(3) 因为点$C(3,3b−5)$的长距为4，点C到y轴的距离为$|3|=3＜4$，因此点C到x轴的距离为4，即：
$|3b−5|=4$
即$3b−5=4$或$3b−5=−4$
解得$b=3$或$b=\frac{1}{3}$。
又因为点$D(3b−1,5c+3)$是“完美点”，所以横、纵坐标的绝对值相等，即$3b−1=5c+3$或$3b−1=−(5c+3)$，分情况计算：
①当$b=3$时，$3b−1=8$，则$8=5c+3$，解得$c=1$；或$8=−(5c+3)$，解得$c=-\frac{11}{5}$。
②当$b=\frac{1}{3}$时，$3b−1=0$，则$0=5c+3$，解得$c=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{a=\frac{7}{4}}$或$\boldsymbol{a=\frac{3}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{b=3，c=1}$或$\boldsymbol{b=3，c=-\frac{11}{5}}$或$\boldsymbol{b=\frac{1}{3}，c=-\frac{3}{5}}$。
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 新定义问题
3. 解绝对值方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题关键是准确理解新定义的含义，将新问题转化为已学的平面直角坐标系相关知识和绝对值方程求解问题，解题时要注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是准确理解两个新定义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即点的横、纵坐标的绝对值相等。
解题时按小问逐个突破：
（1）先分别计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即为长距；
（2）根据“完美点”的定义列横纵坐标绝对值相等的方程，解绝对值方程即可求a；
（3）先结合点C的横坐标绝对值为3＜4，根据长距为4可得点C纵坐标的绝对值为4，先解出b的取值，再将b代入点D的坐标，根据“完美点”的定义列绝对值方程，分情况求解c即可。
【解析】
(1) 点$A(2,−4)$到x轴的距离为$|-4|=4$，到y轴的距离为$|2|=2$，根据“长距”的定义取较大值，因此点A的“长距”为4。
(2) 因为点$B(4a−5,−2)$是“完美点”，根据定义可知点B横、纵坐标的绝对值相等，可得：
$|4a−5|=|−2|$
即$4a−5=2$或$4a−5=−2$
解得$a=\frac{7}{4}$或$a=\frac{3}{4}$。
(3) 因为点$C(3,3b−5)$的长距为4，点C到y轴的距离为$|3|=3＜4$，因此点C到x轴的距离为4，即：
$|3b−5|=4$
即$3b−5=4$或$3b−5=−4$
解得$b=3$或$b=\frac{1}{3}$。
又因为点$D(3b−1,5c+3)$是“完美点”，所以横、纵坐标的绝对值相等，即$3b−1=5c+3$或$3b−1=−(5c+3)$，分情况计算：
①当$b=3$时，$3b−1=8$，则$8=5c+3$，解得$c=1$；或$8=−(5c+3)$，解得$c=-\frac{11}{5}$。
②当$b=\frac{1}{3}$时，$3b−1=0$，则$0=5c+3$，解得$c=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{a=\frac{7}{4}}$或$\boldsymbol{a=\frac{3}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{b=3，c=1}$或$\boldsymbol{b=3，c=-\frac{11}{5}}$或$\boldsymbol{b=\frac{1}{3}，c=-\frac{3}{5}}$。
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 新定义问题
3. 解绝对值方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题关键是准确理解新定义的含义，将新问题转化为已学的平面直角坐标系相关知识和绝对值方程求解问题，解题时要注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
