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9（1）若$6-15y$没有平方根，则$y$的取值范围是
$y＞\frac{2}{5}$
；答案
9. (1) $y＞\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题首先要明确平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。本题中6-15y没有平方根，说明该代数式的取值为负数，据此可以列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到y的取值范围，求解时需注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解：根据平方根的性质，负数没有平方根。
∵ $6-15y$没有平方根
∴ $6-15y ＜ 0$
移项得：$-15y ＜ -6$
不等式两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得：
$y ＞ \frac{-6}{-15}$
化简得：$y ＞ \frac{2}{5}$
【答案】
$y＞\frac{2}{5}$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟记平方根的存在条件，易错点是解不等式时忽略除以负数需要改变不等号方向，日常练习要注意这类细节问题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。本题中6-15y没有平方根，说明该代数式的取值为负数，据此可以列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到y的取值范围，求解时需注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解：根据平方根的性质，负数没有平方根。
∵ $6-15y$没有平方根
∴ $6-15y ＜ 0$
移项得：$-15y ＜ -6$
不等式两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得：
$y ＞ \frac{-6}{-15}$
化简得：$y ＞ \frac{2}{5}$
【答案】
$y＞\frac{2}{5}$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟记平方根的存在条件，易错点是解不等式时忽略除以负数需要改变不等号方向，日常练习要注意这类细节问题。
【难度系数】
0.8
(2)已知一个正数的两个不同的平方根是$3x-2$和$5x+6$，则这个正数是
$\frac{49}{4}$
。答案
9. (2) $\frac{49}{4}$
解析
【分析】
解题的突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数，和为0。第一步：根据这个性质列出关于x的一元一次方程；第二步：解方程求出x的值；第三步：将x的值代入任意一个平方根，对其平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：$(3x-2)+(5x+6)=0$
合并同类项得：$8x + 4 = 0$
移项得：$8x = -4$
解得：$x = -\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入$3x-2$得：$3×(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{7}{2}$
则这个正数为：$(-\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
（或代入$5x+6$得$5×(-\frac{1}{2})+6=\frac{7}{2}$，平方后同样得$\frac{49}{4}$）
【答案】
$\frac{49}{4}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是抓住正数的两个平方根互为相反数这一核心性质建立方程，计算时注意符号运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数，和为0。第一步：根据这个性质列出关于x的一元一次方程；第二步：解方程求出x的值；第三步：将x的值代入任意一个平方根，对其平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：$(3x-2)+(5x+6)=0$
合并同类项得：$8x + 4 = 0$
移项得：$8x = -4$
解得：$x = -\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入$3x-2$得：$3×(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{7}{2}$
则这个正数为：$(-\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
（或代入$5x+6$得$5×(-\frac{1}{2})+6=\frac{7}{2}$，平方后同样得$\frac{49}{4}$）
【答案】
$\frac{49}{4}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是抓住正数的两个平方根互为相反数这一核心性质建立方程，计算时注意符号运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
10若$x^2=361$，则$x+22$的算术平方根为
$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
。答案
10. $\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题首先要根据平方根的定义求出x的所有可能值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏解；再将x的两个取值分别代入x+22计算结果，最后根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）求出对应算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$x^2=361$，根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数
∴$x=\pm\sqrt{361}=\pm19$
分两种情况计算：
① 当$x=19$时，$x+22=19+22=41$，41的算术平方根为$\sqrt{41}$；
② 当$x=-19$时，$x+22=-19+22=3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
综上，$x+22$的算术平方根为$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的概念
【点评】
本题易错点是容易忽略正数有两个互为相反数的平方根，只取正的x值导致漏解，同时要注意算术平方根是非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要根据平方根的定义求出x的所有可能值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏解；再将x的两个取值分别代入x+22计算结果，最后根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）求出对应算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$x^2=361$，根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数
∴$x=\pm\sqrt{361}=\pm19$
分两种情况计算：
① 当$x=19$时，$x+22=19+22=41$，41的算术平方根为$\sqrt{41}$；
② 当$x=-19$时，$x+22=-19+22=3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
综上，$x+22$的算术平方根为$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的概念
【点评】
本题易错点是容易忽略正数有两个互为相反数的平方根，只取正的x值导致漏解，同时要注意算术平方根是非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11 下列各数有平方根吗？如果有，请分别求出它们的平方根；如果没有，请说明理由。
(1) $-64$；
(2) $0$；
(3) $(-0.1)^2$；
(4) $10^{-6}$。
(1) $-64$；
(2) $0$；
(3) $(-0.1)^2$；
(4) $10^{-6}$。
答案
11. (1) 没有 理由:负数没有平方根。 (2) 有 0
(3) 有 $\pm0.1$ (4) 有 $\pm10^{-3}$
(3) 有 $\pm0.1$ (4) 有 $\pm10^{-3}$
解析
【分析】
解题核心依据是平方根的性质：仅非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。解题时先逐个判断给出的数的正负性，负数直接说明没有平方根，非负数再根据平方根的定义，找到平方后等于该数的数即可，注意正数的平方根要写出正负两个，不要遗漏。
【解析】
(1) $-64$是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，因此$-64$没有平方根；
(2) $0$是非负数，有平方根，根据定义，$0$的平方根是$0$；
(3) 先计算得$(-0.1)^2=0.01$，$0.01$是正数，有平方根，因为$(±0.1)^2=0.01$，因此$(-0.1)^2$的平方根是$\pm0.1$；
(4) $10^{-6}$是正数，有平方根，因为$(±10^{-3})^2=10^{-6}$，因此$10^{-6}$的平方根是$\pm10^{-3}$。
【答案】
(1) 没有，理由：负数没有平方根
(2) 有，平方根为$0$
(3) 有，平方根为$\pm0.1$
(4) 有，平方根为$\pm10^{-3}$
【知识点】
平方根的性质；平方根的计算；乘方运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题，主要考查对平方根概念、性质的理解，解题时需先判断数的正负性再求解，要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是平方根的性质：仅非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。解题时先逐个判断给出的数的正负性，负数直接说明没有平方根，非负数再根据平方根的定义，找到平方后等于该数的数即可，注意正数的平方根要写出正负两个，不要遗漏。
【解析】
(1) $-64$是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，因此$-64$没有平方根；
(2) $0$是非负数，有平方根，根据定义，$0$的平方根是$0$；
(3) 先计算得$(-0.1)^2=0.01$，$0.01$是正数，有平方根，因为$(±0.1)^2=0.01$，因此$(-0.1)^2$的平方根是$\pm0.1$；
(4) $10^{-6}$是正数，有平方根，因为$(±10^{-3})^2=10^{-6}$，因此$10^{-6}$的平方根是$\pm10^{-3}$。
【答案】
(1) 没有，理由：负数没有平方根
(2) 有，平方根为$0$
(3) 有，平方根为$\pm0.1$
(4) 有，平方根为$\pm10^{-3}$
【知识点】
平方根的性质；平方根的计算；乘方运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题，主要考查对平方根概念、性质的理解，解题时需先判断数的正负性再求解，要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
12 求下列各式中 x 的值：
(1) $x^2 - \sqrt{100} = 0$；
(2) $[2025$ 宿迁段考$]4x^2 - 3 = 6$；
(3) $(x - 2)^2 = 169$；
(4) $[2024$ 宿迁期末$]3(x + 1)^2 = 27$。
(1) $x^2 - \sqrt{100} = 0$；
(2) $[2025$ 宿迁段考$]4x^2 - 3 = 6$；
(3) $(x - 2)^2 = 169$；
(4) $[2024$ 宿迁期末$]3(x + 1)^2 = 27$。
答案
12. (1) $x=\pm\sqrt{10}$ (2) $x=\pm\frac{3}{2}$ (3) $x=15$或$x=-11$ (4) $x=-4$或$x=2$
解析
【分析】
这4道题均考查利用平方根的定义解一元二次方程，解题思路可统一归纳为：首先通过移项、系数化为1等等式变形，将方程整理为“含x的代数式的平方等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义（若a²=b，且b≥0，则a=±√b）对等式两边开平方，最后分类计算得到x的所有取值，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 先化简已知方程：
$x^2 - \sqrt{100}=0$即$x^2 - 10=0$，
移项得$x^2=10$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{10}$。
(2) 对原方程移项：
$4x^2=6+3=9$，
系数化为1得$x^2=\frac{9}{4}$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$。
(3) 对等式两边直接开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{169}=\pm13$，
当$x-2=13$时，解得$x=15$；
当$x-2=-13$时，解得$x=-11$。
(4) 先对原方程系数化为1，两边同时除以3得：
$(x+1)^2=9$，
开平方得$x+1=\pm3$，
当$x+1=3$时，解得$x=2$；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{10}$ (2) $x=\pm\frac{3}{2}$ (3) $x=15$或$x=-11$ (4) $x=-4$或$x=2$
【知识点】
平方根的定义、直接开平方法解方程、等式的性质
【点评】
本题是平方根定义的基础应用题型，重点考查直接开平方法解方程的操作步骤，易错点是开平方时遗漏负根，熟练掌握本题解题方法可以为后续学习一元二次方程的解法奠定基础。
【难度系数】
0.8
这4道题均考查利用平方根的定义解一元二次方程，解题思路可统一归纳为：首先通过移项、系数化为1等等式变形，将方程整理为“含x的代数式的平方等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义（若a²=b，且b≥0，则a=±√b）对等式两边开平方，最后分类计算得到x的所有取值，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 先化简已知方程：
$x^2 - \sqrt{100}=0$即$x^2 - 10=0$，
移项得$x^2=10$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{10}$。
(2) 对原方程移项：
$4x^2=6+3=9$，
系数化为1得$x^2=\frac{9}{4}$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$。
(3) 对等式两边直接开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{169}=\pm13$，
当$x-2=13$时，解得$x=15$；
当$x-2=-13$时，解得$x=-11$。
(4) 先对原方程系数化为1，两边同时除以3得：
$(x+1)^2=9$，
开平方得$x+1=\pm3$，
当$x+1=3$时，解得$x=2$；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{10}$ (2) $x=\pm\frac{3}{2}$ (3) $x=15$或$x=-11$ (4) $x=-4$或$x=2$
【知识点】
平方根的定义、直接开平方法解方程、等式的性质
【点评】
本题是平方根定义的基础应用题型，重点考查直接开平方法解方程的操作步骤，易错点是开平方时遗漏负根，熟练掌握本题解题方法可以为后续学习一元二次方程的解法奠定基础。
【难度系数】
0.8
13已知$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，$a + 3b + 1$的算术平方根是6，求$a + 2b$的平方根。
答案
13. $\because 2a - 1$的平方根是$\pm3,\therefore 2a - 1=9,\therefore a=5.$
$\because a + 3b + 1$的算术平方根是6,$\therefore a + 3b + 1=36.$ 把$a=5$代入,得$5 + 3b + 1=36,$解得$b=10.$ $\therefore a + 2b=5 + 2×10=25.$ $\because 25$的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5,\therefore a + 2b$的平方根是$\pm5$
$\because a + 3b + 1$的算术平方根是6,$\therefore a + 3b + 1=36.$ 把$a=5$代入,得$5 + 3b + 1=36,$解得$b=10.$ $\therefore a + 2b=5 + 2×10=25.$ $\because 25$的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5,\therefore a + 2b$的平方根是$\pm5$
解析
【分析】
解题的核心是利用平方根、算术平方根的定义建立方程求解参数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；若一个数的算术平方根是n（n≥0），那么这个数等于n²。我们可以先根据第一个条件求出a的值，再将a代入第二个条件求出b的值，最后计算a+2b的结果，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，
∴$2a - 1 = (\pm 3)^2 = 9$，
解得$a = 5$。
∵$a + 3b + 1$的算术平方根是6，
∴$a + 3b + 1 = 6^2 = 36$，
将$a=5$代入得：$5 + 3b + 1 = 36$，
$3b = 30$，解得$b=10$。
∴$a + 2b = 5 + 2×10 = 25$，
∵25的平方根为$\pm\sqrt{25} = \pm 5$，
∴$a + 2b$的平方根是$\pm 5$。
【答案】
$\pm 5$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根相关的基础计算题，解题关键是熟练掌握平方根和算术平方根的区别与联系，根据定义正确列方程求解参数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平方根、算术平方根的定义建立方程求解参数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；若一个数的算术平方根是n（n≥0），那么这个数等于n²。我们可以先根据第一个条件求出a的值，再将a代入第二个条件求出b的值，最后计算a+2b的结果，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，
∴$2a - 1 = (\pm 3)^2 = 9$，
解得$a = 5$。
∵$a + 3b + 1$的算术平方根是6，
∴$a + 3b + 1 = 6^2 = 36$，
将$a=5$代入得：$5 + 3b + 1 = 36$，
$3b = 30$，解得$b=10$。
∴$a + 2b = 5 + 2×10 = 25$，
∵25的平方根为$\pm\sqrt{25} = \pm 5$，
∴$a + 2b$的平方根是$\pm 5$。
【答案】
$\pm 5$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根相关的基础计算题，解题关键是熟练掌握平方根和算术平方根的区别与联系，根据定义正确列方程求解参数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.8
