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1 [2025宿城期中]若等腰三角形的其中两边长分别为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为
10
cm.答案
1. 10
解析
【分析】
解决本题首先需要结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，分两种情况讨论第三条边的长度，再根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后，再计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，则三角形的三边长为2cm、2cm、4cm
由于2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，因此该情况无法构成三角形，舍去；
2. 若腰长为4cm，则三角形的三边长为4cm、4cm、2cm
验证三边关系：4+2＞4，4+4＞2，满足构成三角形的条件，此时三角形的周长为4+4+2=10（cm）。
综上，该等腰三角形的周长为10cm。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都作为结果，解题时要牢记：涉及三角形边长的问题，必须先验证三边是否符合构成三角形的条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，分两种情况讨论第三条边的长度，再根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后，再计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，则三角形的三边长为2cm、2cm、4cm
由于2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，因此该情况无法构成三角形，舍去；
2. 若腰长为4cm，则三角形的三边长为4cm、4cm、2cm
验证三边关系：4+2＞4，4+4＞2，满足构成三角形的条件，此时三角形的周长为4+4+2=10（cm）。
综上，该等腰三角形的周长为10cm。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都作为结果，解题时要牢记：涉及三角形边长的问题，必须先验证三边是否符合构成三角形的条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
2 整体思想 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,P是BC上任意一点,$PE⊥ AB$于点E,$PF⊥ AC$于点F.若$S_{△ ABC}=1$,则$PE+PF$的值为
（第2题）
1
.（第2题）答案
2. 1
解析
【分析】
要求PE+PF的值，已知△ABC的总面积，且PE、PF分别是两个小三角形的高，我们可以利用等积法，将△ABC的面积拆分为△ABP和△ACP的面积之和，再结合已知的AB、AC的长度，代入面积公式即可直接求出PE+PF的整体值，不需要分别计算PE和PF的长度。
【解析】
连接AP，
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
且 $PE⊥AB$，$PF⊥AC$，$AB=AC=2$，$S_{△ABC}=1$，
∴ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PE$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PF$，
代入得：$1=\frac{1}{2}×2×PE + \frac{1}{2}×2×PF$，
化简可得：$1=PE+PF$，即$PE+PF=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积计算，等积变换，整体思想
【点评】
本题是垂线段和类问题的典型题型，核心解题方法是等积法，通过拆分大三角形面积为两个小三角形面积和，结合面积公式直接推导线段和，简化了计算过程，是该类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
要求PE+PF的值，已知△ABC的总面积，且PE、PF分别是两个小三角形的高，我们可以利用等积法，将△ABC的面积拆分为△ABP和△ACP的面积之和，再结合已知的AB、AC的长度，代入面积公式即可直接求出PE+PF的整体值，不需要分别计算PE和PF的长度。
【解析】
连接AP，
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
且 $PE⊥AB$，$PF⊥AC$，$AB=AC=2$，$S_{△ABC}=1$，
∴ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PE$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PF$，
代入得：$1=\frac{1}{2}×2×PE + \frac{1}{2}×2×PF$，
化简可得：$1=PE+PF$，即$PE+PF=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积计算，等积变换，整体思想
【点评】
本题是垂线段和类问题的典型题型，核心解题方法是等积法，通过拆分大三角形面积为两个小三角形面积和，结合面积公式直接推导线段和，简化了计算过程，是该类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
3 如图，AD为$△ ABC$的中线，BE为$△ ABD$的中线.若$△ ABC$的面积为40，$BD=5$，则$△ BDE$中边BD上的高为
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的中线条件，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。我们可以先根据AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积，再根据BE是△ABD的中线，求出△BDE的面积，最后利用三角形的面积公式，已知底BD的长度，反推BD边上的高即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} $，
已知$ S_{△ ABC}=40 $，代入得$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×40=20 $。
又
∵BE是△ABD的中线，
∴△BDE和△ABE等底同高，面积相等，即$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} $，
代入得$ S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×20=10 $。
设△BDE中边BD上的高为$ h $，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，可得：
$ S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD× h $，
已知$ BD=5 $，$ S_{△ BDE}=10 $，代入得：
$ \frac{1}{2}×5× h=10 $，
解得$ h=4 $。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查三角形中线的面积等分性质，解题的关键是灵活运用“中线将三角形分为两个面积相等的部分”这一结论，再结合面积公式求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目给出的中线条件，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。我们可以先根据AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积，再根据BE是△ABD的中线，求出△BDE的面积，最后利用三角形的面积公式，已知底BD的长度，反推BD边上的高即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} $，
已知$ S_{△ ABC}=40 $，代入得$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×40=20 $。
又
∵BE是△ABD的中线，
∴△BDE和△ABE等底同高，面积相等，即$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} $，
代入得$ S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×20=10 $。
设△BDE中边BD上的高为$ h $，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，可得：
$ S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD× h $，
已知$ BD=5 $，$ S_{△ BDE}=10 $，代入得：
$ \frac{1}{2}×5× h=10 $，
解得$ h=4 $。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查三角形中线的面积等分性质，解题的关键是灵活运用“中线将三角形分为两个面积相等的部分”这一结论，再结合面积公式求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
4 如图，BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的大小为
80°
。答案
4. 80°
解析
【分析】
解题时我们可以利用三角形内角和为180°的性质，先分别在△BDC和△BGC中求出对应两个底角的和，两者作差得到角平分线分出的两个小角的和；再结合角平分线的定义，求出∠ABD与∠ACD的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 140° = 40°$
2. 在△BGC中，同理可得：
$∠ GBC + ∠ GCB = 180° - ∠ BGC = 180° - 110° = 70°$
3. 计算$∠ GBD + ∠ GCD$的和：
$∠ GBD + ∠ GCD = (∠ GBC + ∠ GCB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 70° - 40° = 30°$
4. 因为BG平分$∠ ABD$，CG平分$∠ ACD$，根据角平分线定义：
$∠ ABD = 2∠ GBD$，$∠ ACD = 2∠ GCD$
则$∠ ABD + ∠ ACD = 2(∠ GBD + ∠ GCD) = 2×30° = 60°$
5. 在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = (∠ ABD + ∠ ACD) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 60° + 40° = 100°$
所以$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 100° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是典型的三角形角度计算问题，核心是将未知角的和通过已知角逐步推导，解题过程中多次用到三角形内角和与角平分线的性质，需要学生理清各角之间的数量关系，避免混淆角的组成。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用三角形内角和为180°的性质，先分别在△BDC和△BGC中求出对应两个底角的和，两者作差得到角平分线分出的两个小角的和；再结合角平分线的定义，求出∠ABD与∠ACD的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 140° = 40°$
2. 在△BGC中，同理可得：
$∠ GBC + ∠ GCB = 180° - ∠ BGC = 180° - 110° = 70°$
3. 计算$∠ GBD + ∠ GCD$的和：
$∠ GBD + ∠ GCD = (∠ GBC + ∠ GCB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 70° - 40° = 30°$
4. 因为BG平分$∠ ABD$，CG平分$∠ ACD$，根据角平分线定义：
$∠ ABD = 2∠ GBD$，$∠ ACD = 2∠ GCD$
则$∠ ABD + ∠ ACD = 2(∠ GBD + ∠ GCD) = 2×30° = 60°$
5. 在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = (∠ ABD + ∠ ACD) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 60° + 40° = 100°$
所以$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 100° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是典型的三角形角度计算问题，核心是将未知角的和通过已知角逐步推导，解题过程中多次用到三角形内角和与角平分线的性质，需要学生理清各角之间的数量关系，避免混淆角的组成。
【难度系数】
0.7
5 如图，点$A$，$D$，$C$，$F$在同一条直线上，$BC // EF$，$AD = CF$。添加下列一个条件：① $BC = EF$；② $AB = DE$；③ $∠ A = ∠ F$；④ $AB // DE$。其中，能使$△ ABC ≌ △ DEF$的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第5题）
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第5题）答案
5. B
解析
【分析】
首先先推导题干给出的可直接得到的相等条件：由AD=CF，两边同时加DC可得AC=DF；再由BC//EF，根据平行线的性质可得∠ACB=∠F，此时已具备一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，SSA不能判定全等），逐个分析4个添加的条件是否能满足判定定理即可。
【解析】
解：已知$AD=CF$，$\therefore AD+DC=CF+DC$，即$AC=DF$。
$\because BC// EF$，$\therefore ∠ ACB=∠ F$（两直线平行，同位角相等）。
逐一判断添加的条件：
①添加$BC=EF$：此时$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，$BC=EF$，满足SAS判定定理，可证$△ ABC≌△ DEF$，符合要求；
②添加$AB=DE$：此时条件为$AB=DE$，$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
③添加$∠ A=∠ F$：已知$∠ ACB=∠ F$，可得$∠ A=∠ ACB$，无法得到$△ ABC$和$△ DEF$全等的有效判定条件，不符合要求；
④添加$AB// DE$：可得$∠ A=∠ EDF$（两直线平行，同位角相等），此时$∠ A=∠ EDF$，$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，满足ASA判定定理，可证$△ ABC≌△ DEF$，符合要求。
综上，能使$△ ABC≌△ DEF$的条件有①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的综合应用，解题的关键是先根据已知条件推导出已有的相等边和相等角，再结合判定定理逐一验证添加的条件，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先先推导题干给出的可直接得到的相等条件：由AD=CF，两边同时加DC可得AC=DF；再由BC//EF，根据平行线的性质可得∠ACB=∠F，此时已具备一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，SSA不能判定全等），逐个分析4个添加的条件是否能满足判定定理即可。
【解析】
解：已知$AD=CF$，$\therefore AD+DC=CF+DC$，即$AC=DF$。
$\because BC// EF$，$\therefore ∠ ACB=∠ F$（两直线平行，同位角相等）。
逐一判断添加的条件：
①添加$BC=EF$：此时$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，$BC=EF$，满足SAS判定定理，可证$△ ABC≌△ DEF$，符合要求；
②添加$AB=DE$：此时条件为$AB=DE$，$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
③添加$∠ A=∠ F$：已知$∠ ACB=∠ F$，可得$∠ A=∠ ACB$，无法得到$△ ABC$和$△ DEF$全等的有效判定条件，不符合要求；
④添加$AB// DE$：可得$∠ A=∠ EDF$（两直线平行，同位角相等），此时$∠ A=∠ EDF$，$AC=DF$，$∠ ACB=∠ F$，满足ASA判定定理，可证$△ ABC≌△ DEF$，符合要求。
综上，能使$△ ABC≌△ DEF$的条件有①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的综合应用，解题的关键是先根据已知条件推导出已有的相等边和相等角，再结合判定定理逐一验证添加的条件，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免出错。
【难度系数】
0.7
6 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$AD=BE$,$DC=EC$,则下列结论不一定正确的是 （
A.$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$
B.$OA=OB$
C.$E$是$AC$的中点
D.$AE=BD$
C
）A.$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$
B.$OA=OB$
C.$E$是$AC$的中点
D.$AE=BD$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从已知的两个直角三角形入手，已知斜边和一组直角边对应相等，首先用HL判定定理判断两个直角三角形是否全等，再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，依次推导各选项的结论是否成立：先证△ACD和△BCE全等，再推导边的关系判断D选项，再通过角和边的关系证小三角形全等判断B选项，最后看C选项是否有足够条件支撑，无相关条件证明E是AC中点即可得出答案。
【解析】
1. 判断选项A：
∵$△ ACD$和$△ BCE$都是直角三角形，$∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$\begin{cases}AD=BE\\DC=EC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE(\mathrm{HL})$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项D：
由$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$可得$AC=BC$，
又
∵$DC=EC$，
∴$AC-EC=BC-DC$，即$AE=BD$，故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项B：
在$△ AOE$和$△ BOD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ B(\mathrm{全等三角形对应角相等})\\∠ AOE=∠ BOD(\mathrm{对顶角相等})\\AE=BD(\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ BOD(\mathrm{AAS})$，
∴$OA=OB$，故B选项结论正确，不符合题意。
4. 判断选项C：
题中未给出可证明$AE=EC$的条件，无法推出E是AC的中点，故C选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质的综合应用，解题时要充分利用已知的边相等条件先证大三角形全等，再推导边、角的等量关系，注意没有已知条件支撑的结论不一定成立。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两个直角三角形入手，已知斜边和一组直角边对应相等，首先用HL判定定理判断两个直角三角形是否全等，再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，依次推导各选项的结论是否成立：先证△ACD和△BCE全等，再推导边的关系判断D选项，再通过角和边的关系证小三角形全等判断B选项，最后看C选项是否有足够条件支撑，无相关条件证明E是AC中点即可得出答案。
【解析】
1. 判断选项A：
∵$△ ACD$和$△ BCE$都是直角三角形，$∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$\begin{cases}AD=BE\\DC=EC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE(\mathrm{HL})$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项D：
由$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$可得$AC=BC$，
又
∵$DC=EC$，
∴$AC-EC=BC-DC$，即$AE=BD$，故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项B：
在$△ AOE$和$△ BOD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ B(\mathrm{全等三角形对应角相等})\\∠ AOE=∠ BOD(\mathrm{对顶角相等})\\AE=BD(\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ BOD(\mathrm{AAS})$，
∴$OA=OB$，故B选项结论正确，不符合题意。
4. 判断选项C：
题中未给出可证明$AE=EC$的条件，无法推出E是AC的中点，故C选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质的综合应用，解题时要充分利用已知的边相等条件先证大三角形全等，再推导边、角的等量关系，注意没有已知条件支撑的结论不一定成立。
【难度系数】
0.7
7 新考向 条件开放题 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,$CE\bot AB$,垂足分别为$D$,$E$,$AD$,$CE$交于点$H$,请你添加一个适当的条件:________(写出一个即可),使$△ AEH≌△ CEB$.
答案
7. 答案不唯一,如$AH=CB$
解析
【分析】首先根据已知的两组垂直关系，可先推导得出△AEH和△CEB中已有两组角对应相等：一是两个直角∠AEH=∠CEB=90°，二是通过“同角的余角相等”可证∠EAH=∠ECB。此时要证明两个三角形全等，只需再添加一组对应边相等即可，可结合AAS、ASA的判定定理选择合适的边相等作为条件。
【解析】已知$AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ EAH+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ EAH=∠ ECB$。
若添加条件$AH=CB$：
在$△ AEH$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ AEH=∠ CEB \\∠ EAH=∠ ECB \\AH=CB\end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
（注：添加$EH=EB$或$AE=CE$也可，分别可通过AAS、ASA判定全等）
【答案】答案不唯一，如$AH=CB$
【知识点】全等三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】本题是条件开放类题型，需先根据已知条件推导得出两个三角形已有的相等元素，再结合全等三角形的判定定理补充缺少的条件即可，答案具有多样性。
【难度系数】
0.7
【解析】已知$AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ EAH+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ EAH=∠ ECB$。
若添加条件$AH=CB$：
在$△ AEH$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ AEH=∠ CEB \\∠ EAH=∠ ECB \\AH=CB\end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
（注：添加$EH=EB$或$AE=CE$也可，分别可通过AAS、ASA判定全等）
【答案】答案不唯一，如$AH=CB$
【知识点】全等三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】本题是条件开放类题型，需先根据已知条件推导得出两个三角形已有的相等元素，再结合全等三角形的判定定理补充缺少的条件即可，答案具有多样性。
【难度系数】
0.7
8 如图，$AB=AC$，$BD=CD$，$DE⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$F$。求证：$DE=DF$。
（第8题）
（第8题）答案
8. 如图,连接AD.在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD (\mathrm{SSS}),\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,即AD 平分$∠ EAF.\because DE⊥ AE,DF⊥ AF,\therefore DE=DF$
解析
【分析】
要证明DE=DF，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以先证明点D在∠EAF的角平分线上，即证明AD平分∠EAF。要证角相等，可通过证明包含这两个角的三角形全等实现，观察图形，已知AB=AC、BD=CD，AD是公共边，因此可先连接AD，利用SSS判定△ABD和△ACD全等，得到对应角相等，再结合DE、DF分别是D到角两边的垂线，即可得出结论。
【解析】
证明：如图，连接AD.
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ EAF$。
$\because DE ⊥ AE$，$DF ⊥ AF$，
$\therefore DE=DF$。
【答案】
如图,连接AD.在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD (\mathrm{SSS}),\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,即AD 平分$∠ EAF.\because DE⊥ AE,DF⊥ AF,\therefore DE=DF$
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线AD构造全等三角形，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，考查了对全等三角形和角平分线性质的综合应用能力，以及几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要证明DE=DF，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以先证明点D在∠EAF的角平分线上，即证明AD平分∠EAF。要证角相等，可通过证明包含这两个角的三角形全等实现，观察图形，已知AB=AC、BD=CD，AD是公共边，因此可先连接AD，利用SSS判定△ABD和△ACD全等，得到对应角相等，再结合DE、DF分别是D到角两边的垂线，即可得出结论。
【解析】
证明：如图，连接AD.
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ EAF$。
$\because DE ⊥ AE$，$DF ⊥ AF$，
$\therefore DE=DF$。
【答案】
如图,连接AD.在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD (\mathrm{SSS}),\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,即AD 平分$∠ EAF.\because DE⊥ AE,DF⊥ AF,\therefore DE=DF$
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线AD构造全等三角形，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，考查了对全等三角形和角平分线性质的综合应用能力，以及几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
