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【典例1】已知方程$x^2 -2025x +2026=0$的两根为$a,b$，求$(a^2 -2026a +2026)(b^2 -2027b +2026)$的值。
答案
解:$\because a^2 -2025a +2026=0$,
$\therefore a^2 -2026a +2026=-a$.
同理$b^2 -2027b +2026=-2b$,
$\therefore$原式$=2ab=4052$.
$\therefore a^2 -2026a +2026=-a$.
同理$b^2 -2027b +2026=-2b$,
$\therefore$原式$=2ab=4052$.
变式.(2025·西湖)已知$b^2 - 4ac = 0$，若$m$是$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的一个根，$n$是$cx^2 + bx + a = 0(c≠0)$的一个根，则$m$与$n$的关系为
mn=1
。答案
解:$am^2 +bm +c=0$,$cn^2 +bn +a=0$,
$a(\frac{1}{n})^2 +b(\frac{1}{n})+c=0$,
即$m,\frac{1}{n}$为$ax^2 +bx +c=0$的解,$\therefore m=\frac{1}{n}⇒ mn=1$.
$a(\frac{1}{n})^2 +b(\frac{1}{n})+c=0$,
即$m,\frac{1}{n}$为$ax^2 +bx +c=0$的解,$\therefore m=\frac{1}{n}⇒ mn=1$.
【典例2】已知$m$、$n$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，则$2m^2 + 6n + mn - 5$的值为
12
。答案
解:$\because m +n=3$,$mn=1$,$m^2=3m -1$,
$\therefore 2m^2 +6n +mn -5=6(m +n)+mn -7=12$.
$\therefore 2m^2 +6n +mn -5=6(m +n)+mn -7=12$.
【典例3】已知$a,b$是方程$x^2 -2025x +1=0$两根，求$a^2 -2026a + \frac{2025}{b^2 +1}$的值.
答案
解:$\because ab=1$,
$\therefore$原式$=a^2 -2026a + \frac{1}{b}=a^2 -2026a +a=a^2 -2025a=-1$.
$\therefore$原式$=a^2 -2026a + \frac{1}{b}=a^2 -2026a +a=a^2 -2025a=-1$.
变式1.已知$m,n$是方程$x^2 - 3x +1=0$的两根，求$\frac{m^3 + m^2n}{3m -1}$的值.
答案
解:原式$=\frac{m^2(m +n)}{m^2}=m +n=3$.
变式2.已知方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的两根为$x_1,x_2$，求$\frac{x_1 + 2x_2}{x_1^2 + 2} + \frac{x_2 + x_1}{x_2^2 + 1}$的值.
答案
解:$\because x_1 · x_2 = 1$,$\therefore$ 原式 $= \frac{x_1 + 2x_2}{x_1(x_1 + 2x_2)} + \frac{x_2 + x_1}{x_2(x_2 + x_1)}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}=2026$.
