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9. 如图，OA是$\odot O$的半径，弦$BC⊥ OA$于点D，连接OB.若$\odot O$的半径为5 cm，BC的长为8 cm，则OD的长是
3
cm.答案
9.3
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知半径OA垂直于弦BC，首先想到运用垂径定理，垂径定理可以得到弦BC被OA平分，由此求出BD的长度；再发现△OBD是直角三角形，已知斜边OB为圆的半径、直角边BD的长度，就可以通过勾股定理计算出另一条直角边OD的长度。
【解析】
解：
∵弦$BC⊥ OA$，OA是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OB=5\mathrm{cm}$，$BD=4\mathrm{cm}$，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础常规题型，解题关键是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理求解，掌握两个基础定理即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，已知半径OA垂直于弦BC，首先想到运用垂径定理，垂径定理可以得到弦BC被OA平分，由此求出BD的长度；再发现△OBD是直角三角形，已知斜边OB为圆的半径、直角边BD的长度，就可以通过勾股定理计算出另一条直角边OD的长度。
【解析】
解：
∵弦$BC⊥ OA$，OA是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OB=5\mathrm{cm}$，$BD=4\mathrm{cm}$，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础常规题型，解题关键是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理求解，掌握两个基础定理即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
10. (2024·哈尔滨)如图，AB是$\odot O$的切线，点A为切点，连接OA，OB，若$∠ OBA=40°$，则$∠ AOB=$
50
°。答案
10.50
解析
【分析】
解题时首先识别题干中的切线条件，根据切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，可得出∠OAB为90°直角；再结合三角形内角和规律，已知△OAB中两个角的度数，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，点A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$。
在$△ OAB$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ OBA=40°$，$∠ OAB=90°$，
∴$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
50
【知识点】
切线的性质；三角形内角和
【点评】
本题是基础几何题，重点考察圆的切线性质的应用，只要熟记切线与过切点的半径垂直，结合基础的三角形角度计算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别题干中的切线条件，根据切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，可得出∠OAB为90°直角；再结合三角形内角和规律，已知△OAB中两个角的度数，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，点A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$。
在$△ OAB$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ OBA=40°$，$∠ OAB=90°$，
∴$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
50
【知识点】
切线的性质；三角形内角和
【点评】
本题是基础几何题，重点考察圆的切线性质的应用，只要熟记切线与过切点的半径垂直，结合基础的三角形角度计算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
11. (2024·徐州)如图，AB是$\odot O$的直径，点C在AB的延长线上，CD与$\odot O$相切于点D，若$∠ C=20°$，则$∠ CAD=$
35
°.答案
11.35
解析
【分析】
遇到圆的切线相关计算问题，首先想到连接圆心和切点，利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形。本题先连接OD，先在Rt△ODC中求出∠COD的度数，再结合OA=OD得到等腰△OAD，利用三角形外角的性质即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ CD与$\odot O$相切于点D，
∴ OD⊥CD，即$∠ ODC=90°$，
在Rt△ODC中，$∠ C=20°$，
∴ $∠ COD=90° - ∠ C=90° -20°=70°$，
∵ OA=OD（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ OAD=∠ ODA$，
又
∵ $∠ COD$是△AOD的外角，
∴ $∠ COD=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
∴ $∠ OAD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×70°=35°$，
即$∠ CAD=35°$。
【答案】
35
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是正确作出辅助线连接圆心与切点，结合直角三角形、等腰三角形及外角的性质逐步推导计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关计算问题，首先想到连接圆心和切点，利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形。本题先连接OD，先在Rt△ODC中求出∠COD的度数，再结合OA=OD得到等腰△OAD，利用三角形外角的性质即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ CD与$\odot O$相切于点D，
∴ OD⊥CD，即$∠ ODC=90°$，
在Rt△ODC中，$∠ C=20°$，
∴ $∠ COD=90° - ∠ C=90° -20°=70°$，
∵ OA=OD（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ OAD=∠ ODA$，
又
∵ $∠ COD$是△AOD的外角，
∴ $∠ COD=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
∴ $∠ OAD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×70°=35°$，
即$∠ CAD=35°$。
【答案】
35
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是正确作出辅助线连接圆心与切点，结合直角三角形、等腰三角形及外角的性质逐步推导计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
12. (2024·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
12.$\sqrt{15}$
解析
【分析】
解决本题需紧扣圆锥的性质：一是圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，二是圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形（母线为斜边）。解题时先通过底面半径求出底面周长，即侧面扇形的弧长，再结合扇形圆心角求出母线长，最后利用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l\ \mathrm{cm} $。
1. 计算底面圆的周长：
底面半径$ r=1\ \mathrm{cm} $，则底面圆周长$ C=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm} $，该长度等于侧面展开扇形的弧长。
2. 求母线长：
侧面展开图的圆心角为直角即$ 90° $，根据扇形弧长公式$ L=\frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），可得：
$ \frac{90π l}{180}=2π $
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边同时除以$ π $后解得$ l=4\ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理，即$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数值：
$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ \sqrt{15} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，熟练运用弧长公式和勾股定理即可求解，属于高频考点题。
【难度系数】
0.7
解决本题需紧扣圆锥的性质：一是圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，二是圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形（母线为斜边）。解题时先通过底面半径求出底面周长，即侧面扇形的弧长，再结合扇形圆心角求出母线长，最后利用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l\ \mathrm{cm} $。
1. 计算底面圆的周长：
底面半径$ r=1\ \mathrm{cm} $，则底面圆周长$ C=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm} $，该长度等于侧面展开扇形的弧长。
2. 求母线长：
侧面展开图的圆心角为直角即$ 90° $，根据扇形弧长公式$ L=\frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），可得：
$ \frac{90π l}{180}=2π $
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边同时除以$ π $后解得$ l=4\ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理，即$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数值：
$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ \sqrt{15} $
【知识点】
圆锥的计算；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，熟练运用弧长公式和勾股定理即可求解，属于高频考点题。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=8,BC=6$.以点$C$为圆心,$r$为半径作圆,当所作的圆与斜边$AB$所在的直线相切时,$r$的值为
$\frac{24}{5}$
.答案
13.$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据圆与直线相切的性质：圆和直线相切时，半径等于圆心到直线的距离，可知本题中r就是点C到斜边AB的垂线段长度（即AB边上的高）。接下来先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形的两种面积计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式即可求出r的值。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
2. 利用等面积法求AB边上的高：
设点C到AB的距离为$h$，$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，因此有：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}$。
3. 结合相切性质求r：
因为$\odot C$与AB所在直线相切，所以半径$r$等于圆心C到AB的距离，即$r=h=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题核心是将圆相切的条件转化为求点到直线的距离，再借助勾股定理和面积法计算，思路直观，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先根据圆与直线相切的性质：圆和直线相切时，半径等于圆心到直线的距离，可知本题中r就是点C到斜边AB的垂线段长度（即AB边上的高）。接下来先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形的两种面积计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式即可求出r的值。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
2. 利用等面积法求AB边上的高：
设点C到AB的距离为$h$，$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，因此有：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}$。
3. 结合相切性质求r：
因为$\odot C$与AB所在直线相切，所以半径$r$等于圆心C到AB的距离，即$r=h=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题核心是将圆相切的条件转化为求点到直线的距离，再借助勾股定理和面积法计算，思路直观，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA。若OA=5，PA=12，则CA的长为
$\frac{10}{3}$
。答案
14.$\frac{10}{3}$
解析
【分析】
首先根据切线的性质可得OA⊥PA，先利用勾股定理求出OP的长度；再连接OC，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OBC=90°，即CB⊥OP；最后设CA的长为x，用含x的式子表示出PC的长，在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵OB是⊙O的半径，
∴OB=OA=5，
∴$PB=OP-OB=13-5=8$。
在△OAC和△OBC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\CA=CB\\OC=OC\end{array} $
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OBC=∠OAC=90°，即∠PBC=90°。
设$CA=x$，则$CB=x$，$PC=PA-CA=12-x$，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：
$PC^2=CB^2+PB^2$，
代入得：$(12-x)^2=x^2+8^2$，
展开：$144-24x+x^2=x^2+64$，
整理得：$24x=80$，
解得：$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合计算题，解题的突破口是作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到同一个直角三角形中，再结合勾股定理列方程求解，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据切线的性质可得OA⊥PA，先利用勾股定理求出OP的长度；再连接OC，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OBC=90°，即CB⊥OP；最后设CA的长为x，用含x的式子表示出PC的长，在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵OB是⊙O的半径，
∴OB=OA=5，
∴$PB=OP-OB=13-5=8$。
在△OAC和△OBC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\CA=CB\\OC=OC\end{array} $
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OBC=∠OAC=90°，即∠PBC=90°。
设$CA=x$，则$CB=x$，$PC=PA-CA=12-x$，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：
$PC^2=CB^2+PB^2$，
代入得：$(12-x)^2=x^2+8^2$，
展开：$144-24x+x^2=x^2+64$，
整理得：$24x=80$，
解得：$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合计算题，解题的突破口是作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到同一个直角三角形中，再结合勾股定理列方程求解，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
15. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC=1$，将其放入平面直角坐标系，使$A$点与原点重合，$AB$在$x$轴上，$△ ABC$沿$x$轴顺时针无滑动地滚动，点$A$再次落在$x$轴时停止滚动，则点$A$经过的路线与$x$轴围成图形的面积为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.$π+\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题前先明确等腰直角△ABC的基本参数：已知AC=BC=1，∠C=90°，可先算出AB=√2，两个锐角均为45°。接下来分析滚动过程中点A的运动轨迹：滚动分为两个阶段，①第一阶段：△ABC绕点B顺时针旋转135°（旋转角为180°-∠ABC=135°），直到BC边落在x轴上，此阶段点A的轨迹是圆心为B、半径为AB=√2、圆心角135°的扇形弧；②第二阶段：三角形绕落在x轴上的点C顺时针旋转90°，直到AC边落在x轴上，此时点A回到x轴，此阶段点A的轨迹是圆心为C、半径为AC=1、圆心角90°的扇形弧。最终点A经过的路线与x轴围成的面积为两个扇形的面积加上△ABC的面积之和。
【解析】
首先计算△ABC的相关参数：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}$，∠ABC=∠BAC=45°，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}$。
接下来计算两个扇形的面积：
1. 绕点B旋转的扇形面积：
圆心角为135°，半径$r_1=AB=\sqrt{2}$，
$S_1=\frac{135°}{360°}×π×r_1^2=\frac{3}{8}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{3π}{4}$。
2. 绕点C旋转的扇形面积：
圆心角为90°，半径$r_2=AC=1$，
$S_2=\frac{90°}{360°}×π×r_2^2=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
总面积$S=S_1+S_2+S_{△ABC}=\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}+\frac{1}{2}=π+\frac{1}{2}$。
【答案】
$π+\frac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，图形的旋转，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的核心是准确分析三角形滚动过程中点A的运动轨迹，明确两次旋转的旋转中心、旋转半径及旋转角是解题的关键，计算时注意不要遗漏等腰直角三角形本身的面积。
【难度系数】
0.6
解题前先明确等腰直角△ABC的基本参数：已知AC=BC=1，∠C=90°，可先算出AB=√2，两个锐角均为45°。接下来分析滚动过程中点A的运动轨迹：滚动分为两个阶段，①第一阶段：△ABC绕点B顺时针旋转135°（旋转角为180°-∠ABC=135°），直到BC边落在x轴上，此阶段点A的轨迹是圆心为B、半径为AB=√2、圆心角135°的扇形弧；②第二阶段：三角形绕落在x轴上的点C顺时针旋转90°，直到AC边落在x轴上，此时点A回到x轴，此阶段点A的轨迹是圆心为C、半径为AC=1、圆心角90°的扇形弧。最终点A经过的路线与x轴围成的面积为两个扇形的面积加上△ABC的面积之和。
【解析】
首先计算△ABC的相关参数：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}$，∠ABC=∠BAC=45°，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}$。
接下来计算两个扇形的面积：
1. 绕点B旋转的扇形面积：
圆心角为135°，半径$r_1=AB=\sqrt{2}$，
$S_1=\frac{135°}{360°}×π×r_1^2=\frac{3}{8}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{3π}{4}$。
2. 绕点C旋转的扇形面积：
圆心角为90°，半径$r_2=AC=1$，
$S_2=\frac{90°}{360°}×π×r_2^2=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
总面积$S=S_1+S_2+S_{△ABC}=\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}+\frac{1}{2}=π+\frac{1}{2}$。
【答案】
$π+\frac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，图形的旋转，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的核心是准确分析三角形滚动过程中点A的运动轨迹，明确两次旋转的旋转中心、旋转半径及旋转角是解题的关键，计算时注意不要遗漏等腰直角三角形本身的面积。
【难度系数】
0.6
16. (2024·吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由$\odot O$和扇形$OBC$组成，$OB$，$OC$分别与$\odot O$交于点$A$，$D$.$OA=1\ \mathrm{m}$，$OB=10\ \mathrm{m}$，$∠ AOD=40°$，则阴影部分的面积为
11π
$\mathrm{m}^2$(结果保留$π$).答案
16.11π
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是大扇形OBC减去小扇形OAD得到的。两个扇形的圆心角相同，都等于∠AOD=40°，分别确定两个扇形的半径后，利用扇形面积公式计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
由题意可知，$∠ BOC=∠ AOD=40°$，
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。
大扇形OBC的半径$OB=10\ \mathrm{m}$，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{40π×10^2}{360}=\frac{100π}{9}\ \mathrm{m}^2$
小扇形OAD的半径$OA=1\ \mathrm{m}$，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{40π×1^2}{360}=\frac{π}{9}\ \mathrm{m}^2$
则阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{100π}{9}-\frac{π}{9}=11π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$11π$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，圆心角性质
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题的关键是判断出阴影部分的面积为两个同圆心角的扇形面积之差，熟记扇形面积公式代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是大扇形OBC减去小扇形OAD得到的。两个扇形的圆心角相同，都等于∠AOD=40°，分别确定两个扇形的半径后，利用扇形面积公式计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
由题意可知，$∠ BOC=∠ AOD=40°$，
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。
大扇形OBC的半径$OB=10\ \mathrm{m}$，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{40π×10^2}{360}=\frac{100π}{9}\ \mathrm{m}^2$
小扇形OAD的半径$OA=1\ \mathrm{m}$，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{40π×1^2}{360}=\frac{π}{9}\ \mathrm{m}^2$
则阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{100π}{9}-\frac{π}{9}=11π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$11π$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，圆心角性质
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题的关键是判断出阴影部分的面积为两个同圆心角的扇形面积之差，熟记扇形面积公式代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
17. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，$\overset{\frown}{AB}$是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在$\overset{\frown}{AB}$上，$CD⊥ AB$。“会圆术”给出$\overset{\frown}{AB}$长l的近似值s计算公式：$s=AB+\frac{CD^2}{OA}$，当$OA=2$，$∠ AOB=90°$时，$|l-s|=$
0.1
。（结果保留一位小数）答案
17.0.1
解析
【分析】
要计算$|l-s|$，需分别求出弧长$l$的准确值和近似值$s$，再计算两者差的绝对值即可。①求$l$：直接用圆心角为$90°$、半径为2的弧长公式计算；②求$s$：需先算出弦$AB$的长度、$CD$的长度，再代入题干给出的$s$的公式计算。其中$AB$可通过等腰直角$△ AOB$用勾股定理求出，$C$是$AB$中点，结合等腰三角形三线合一可知$OC⊥ AB$，$O、C、D$三点共线，$CD=OD-OC$，$OC$可通过等腰直角三角形斜边中线性质求出。
【解析】
1. 计算弧长$\overset{\frown}{AB}$的准确值$l$：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中圆心角$n=90°$，半径$r=OA=2$，代入得：
$l=\frac{90×π×2}{180}=π\approx3.14$
2. 计算近似值$s$：
（1）求弦$AB$的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=OB=2$，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\approx2.828$
（2）求$CD$的长度：
$\because OA=OB$，$C$是$AB$中点，$\therefore OC⊥ AB$，
又$\because CD⊥ AB$，$\therefore O、C、D$三点共线，$OD$为半径长度为2。
等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，故$OC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}\approx1.414$，
$\therefore CD=OD-OC=2-\sqrt{2}\approx0.586$
（3）代入公式计算$s$：
$s=AB+\frac{CD^2}{OA}\approx2.828+\frac{(0.586)^2}{2}\approx2.828+0.172=3.0$
3. 计算差值：
$|l-s|\approx|3.14-3.0|=0.14\approx0.1$
【答案】
0.1
【知识点】
弧长计算，勾股定理，代数式求值
【点评】
本题结合古代数学成果设置考点，既考查基础几何计算能力，也考查对新公式的理解应用能力，计算时要注意精度控制，最终结果按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.6
要计算$|l-s|$，需分别求出弧长$l$的准确值和近似值$s$，再计算两者差的绝对值即可。①求$l$：直接用圆心角为$90°$、半径为2的弧长公式计算；②求$s$：需先算出弦$AB$的长度、$CD$的长度，再代入题干给出的$s$的公式计算。其中$AB$可通过等腰直角$△ AOB$用勾股定理求出，$C$是$AB$中点，结合等腰三角形三线合一可知$OC⊥ AB$，$O、C、D$三点共线，$CD=OD-OC$，$OC$可通过等腰直角三角形斜边中线性质求出。
【解析】
1. 计算弧长$\overset{\frown}{AB}$的准确值$l$：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中圆心角$n=90°$，半径$r=OA=2$，代入得：
$l=\frac{90×π×2}{180}=π\approx3.14$
2. 计算近似值$s$：
（1）求弦$AB$的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=OB=2$，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\approx2.828$
（2）求$CD$的长度：
$\because OA=OB$，$C$是$AB$中点，$\therefore OC⊥ AB$，
又$\because CD⊥ AB$，$\therefore O、C、D$三点共线，$OD$为半径长度为2。
等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，故$OC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}\approx1.414$，
$\therefore CD=OD-OC=2-\sqrt{2}\approx0.586$
（3）代入公式计算$s$：
$s=AB+\frac{CD^2}{OA}\approx2.828+\frac{(0.586)^2}{2}\approx2.828+0.172=3.0$
3. 计算差值：
$|l-s|\approx|3.14-3.0|=0.14\approx0.1$
【答案】
0.1
【知识点】
弧长计算，勾股定理，代数式求值
【点评】
本题结合古代数学成果设置考点，既考查基础几何计算能力，也考查对新公式的理解应用能力，计算时要注意精度控制，最终结果按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.6
18. (2025·南京)如图，扇形OAB的圆心角为$260°$，若点P在该扇形内，则$∠ APB$的度数的范围是
$50°＜∠APB＜140°$
。答案
18.$50°＜∠APB＜140°$
解析
【分析】
要确定∠APB的度数范围，需先找到其临界状态的角度值：
1. 先分析扇形的基本性质：OA=OB，扇形圆心角为260°，因此OA、OB形成的较小夹角为360°-260°=100°，可先算出等腰△OAB的底角为40°；
2. 找∠APB的最小值：当P落在扇形的弧AB（优弧）上时，∠APB是劣弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理可算出最小值的临界值，因为P在扇形内，因此实际角度大于该临界值；
3. 找∠APB的最大值：扇形的边界为OA、OB，当P在OA/OB上无限靠近A/B时，∠APB接近最大值，结合三角形内角和可算出上限的临界值，同理P在内部，实际角度小于该临界值。
【解析】
解：
∵ 扇形OAB的圆心角为260°，
∴ OA与OB所夹的小于平角的角为：$360°-260°=100°$，
又
∵ OA=OB（都是扇形半径），
∴ 在等腰$△ OAB$中，$∠ OAB=∠ OBA=(180°-100°)÷2=40°$。
① 求$∠ APB$的下限：
当点P在优弧AB上时，$∠ APB$是劣弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
此时$∠ APB=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∵ 点P在扇形内部，不落在弧AB上，
∴ $∠ APB＞50°$。
② 求$∠ APB$的上限：
当点P在边OA上且无限靠近点A时，$∠ PBA$趋近于$0°$，在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$，$∠ APB=180°-∠ PAB-∠ PBA$，其中$∠ PAB=∠ OAB=40°$，因此$∠ APB$趋近于$180°-40°=140°$；
同理当P在边OB上无限靠近点B时，$∠ APB$也趋近于$140°$。
∵ 点P在扇形内部，不与A、B重合，
∴ $∠ APB＜140°$。
综上，$∠ APB$的度数范围是$50°＜∠APB＜140°$。
【答案】
$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查扇形背景下的角度范围求解，解题关键是准确找到角度的两个临界位置，结合圆的性质和三角形内角关系分析，需要注意扇形内的点无法取到边界，因此范围不包含等号。
【难度系数】
0.6
要确定∠APB的度数范围，需先找到其临界状态的角度值：
1. 先分析扇形的基本性质：OA=OB，扇形圆心角为260°，因此OA、OB形成的较小夹角为360°-260°=100°，可先算出等腰△OAB的底角为40°；
2. 找∠APB的最小值：当P落在扇形的弧AB（优弧）上时，∠APB是劣弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理可算出最小值的临界值，因为P在扇形内，因此实际角度大于该临界值；
3. 找∠APB的最大值：扇形的边界为OA、OB，当P在OA/OB上无限靠近A/B时，∠APB接近最大值，结合三角形内角和可算出上限的临界值，同理P在内部，实际角度小于该临界值。
【解析】
解：
∵ 扇形OAB的圆心角为260°，
∴ OA与OB所夹的小于平角的角为：$360°-260°=100°$，
又
∵ OA=OB（都是扇形半径），
∴ 在等腰$△ OAB$中，$∠ OAB=∠ OBA=(180°-100°)÷2=40°$。
① 求$∠ APB$的下限：
当点P在优弧AB上时，$∠ APB$是劣弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
此时$∠ APB=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∵ 点P在扇形内部，不落在弧AB上，
∴ $∠ APB＞50°$。
② 求$∠ APB$的上限：
当点P在边OA上且无限靠近点A时，$∠ PBA$趋近于$0°$，在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$，$∠ APB=180°-∠ PAB-∠ PBA$，其中$∠ PAB=∠ OAB=40°$，因此$∠ APB$趋近于$180°-40°=140°$；
同理当P在边OB上无限靠近点B时，$∠ APB$也趋近于$140°$。
∵ 点P在扇形内部，不与A、B重合，
∴ $∠ APB＜140°$。
综上，$∠ APB$的度数范围是$50°＜∠APB＜140°$。
【答案】
$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查扇形背景下的角度范围求解，解题关键是准确找到角度的两个临界位置，结合圆的性质和三角形内角关系分析，需要注意扇形内的点无法取到边界，因此范围不包含等号。
【难度系数】
0.6
