登录
1. (★)同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作的圆心角就可以等分圆周,从而得到相应的.
答案
解：相等；等分弧
解析
【分析】
解题时先结合题干给出的定理“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”思考：等分圆周的本质是将圆周分为若干段相等的弧，根据上述定理，相等的圆心角对应相等的弧，因此只需作出相等的圆心角，就能得到相等的弧，实现圆周等分，得到对应的等分弧。
【解析】
根据同圆中圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等。若要等分圆周，只需作出相等的圆心角，此时每个圆心角所对的弧均相等，即可将圆周等分，进而得到对应的等分弧。
【答案】
相等；等分弧
【知识点】
圆心角与弧的关系；圆周等分
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接依托圆心角与弧的对应关系命题，是学习正多边形和圆相关内容的预备知识，牢记基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先结合题干给出的定理“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”思考：等分圆周的本质是将圆周分为若干段相等的弧，根据上述定理，相等的圆心角对应相等的弧，因此只需作出相等的圆心角，就能得到相等的弧，实现圆周等分，得到对应的等分弧。
【解析】
根据同圆中圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等。若要等分圆周，只需作出相等的圆心角，此时每个圆心角所对的弧均相等，即可将圆周等分，进而得到对应的等分弧。
【答案】
相等；等分弧
【知识点】
圆心角与弧的关系；圆周等分
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接依托圆心角与弧的对应关系命题，是学习正多边形和圆相关内容的预备知识，牢记基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. (★)我们知道，五星红旗上有五颗五角星，每一颗五角星有五个相等的锐角(如图)，每个锐角等于【 】
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
要计算五角星每个锐角的度数，我们可以通过两种思路推导：第一种是利用三角形外角的性质，将五个锐角转化到同一个三角形中，结合三角形内角和为180°的规律求解；第二种是先计算五角星中间正五边形的内角，再结合其邻补角为锐角所在等腰三角形的底角，利用等腰三角形内角和性质计算。两种方法都符合初中几何知识要求，同学们可选择自己更容易理解的思路解题。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质推导
根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可将五角星的五个锐角全部转移到同一个三角形内，由三角形内角和为180°，可知五角星五个锐角的总和为180°。
已知五个锐角大小相等，因此每个锐角的度数为：$180°÷5=36°$。
方法2：结合正五边形性质计算
五角星中间的封闭图形是正五边形，根据多边形内角和公式：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$，可得正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
正五边形内角的邻补角为$180°-108°=72°$，该角是五角星锐角所在等腰三角形的底角，因此每个锐角（等腰三角形顶角）的度数为：
$180°-72°×2=36°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，多边形内角和公式，等腰三角形性质
【点评】
本题结合生活中常见的五角星图案考查几何基础知识点，解题的核心是建立五角星的角与三角形、多边形内角的关联，将未知角度转化为已知规律可计算的角度，也体现了数学和生活实际的紧密联系。
【难度系数】
0.7
要计算五角星每个锐角的度数，我们可以通过两种思路推导：第一种是利用三角形外角的性质，将五个锐角转化到同一个三角形中，结合三角形内角和为180°的规律求解；第二种是先计算五角星中间正五边形的内角，再结合其邻补角为锐角所在等腰三角形的底角，利用等腰三角形内角和性质计算。两种方法都符合初中几何知识要求，同学们可选择自己更容易理解的思路解题。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质推导
根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可将五角星的五个锐角全部转移到同一个三角形内，由三角形内角和为180°，可知五角星五个锐角的总和为180°。
已知五个锐角大小相等，因此每个锐角的度数为：$180°÷5=36°$。
方法2：结合正五边形性质计算
五角星中间的封闭图形是正五边形，根据多边形内角和公式：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$，可得正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
正五边形内角的邻补角为$180°-108°=72°$，该角是五角星锐角所在等腰三角形的底角，因此每个锐角（等腰三角形顶角）的度数为：
$180°-72°×2=36°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，多边形内角和公式，等腰三角形性质
【点评】
本题结合生活中常见的五角星图案考查几何基础知识点，解题的核心是建立五角星的角与三角形、多边形内角的关联，将未知角度转化为已知规律可计算的角度，也体现了数学和生活实际的紧密联系。
【难度系数】
0.7
3. (★★)某校计划在校内建一座周长为12 m的花坛，同学们设计出了正三角形、正方形、正六边形、圆，要使花坛的面积最大，你设计的图形是.
答案
圆
解析
【分析】
本题要求比较周长均为12m的正三角形、正方形、正六边形、圆的面积大小。解题时既可以先根据周长分别计算四种图形的面积，再对面积数值进行比较得出结果；也可以结合已学的等周问题相关规律直接判断。
【解析】
已知四个图形周长均为12m，分别计算各图形面积：
1. 正三角形：
边长为$12÷3=4\mathrm{m}$，高为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\mathrm{m}$，
面积$S_1=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx6.93\mathrm{m}^2$。
2. 正方形：
边长为$12÷4=3\mathrm{m}$，
面积$S_2=3^2=9\mathrm{m}^2$。
3. 正六边形：
边长为$12÷6=2\mathrm{m}$，正六边形可分割为6个边长为2m的全等正三角形，单个小正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}\mathrm{m}^2$，
总面积$S_3=6×\sqrt{3}\approx10.39\mathrm{m}^2$。
4. 圆：
设圆半径为$r$，由周长公式$2π r=12$得$r=\frac{6}{π}\mathrm{m}$，
面积$S_4=π r^2=π×(\frac{6}{π})^2=\frac{36}{π}\approx11.46\mathrm{m}^2$。
比较得$S_1＜S_2＜S_3＜S_4$，即周长相等时圆的面积最大。
【答案】
圆
【知识点】
周长与面积计算、正多边形性质、等周面积规律
【点评】
本题既可以通过分步计算各图形面积得出结论，也可以直接运用“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”这一常用规律快速解题，日常学习中注意归纳同类问题的结论，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题要求比较周长均为12m的正三角形、正方形、正六边形、圆的面积大小。解题时既可以先根据周长分别计算四种图形的面积，再对面积数值进行比较得出结果；也可以结合已学的等周问题相关规律直接判断。
【解析】
已知四个图形周长均为12m，分别计算各图形面积：
1. 正三角形：
边长为$12÷3=4\mathrm{m}$，高为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\mathrm{m}$，
面积$S_1=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx6.93\mathrm{m}^2$。
2. 正方形：
边长为$12÷4=3\mathrm{m}$，
面积$S_2=3^2=9\mathrm{m}^2$。
3. 正六边形：
边长为$12÷6=2\mathrm{m}$，正六边形可分割为6个边长为2m的全等正三角形，单个小正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}\mathrm{m}^2$，
总面积$S_3=6×\sqrt{3}\approx10.39\mathrm{m}^2$。
4. 圆：
设圆半径为$r$，由周长公式$2π r=12$得$r=\frac{6}{π}\mathrm{m}$，
面积$S_4=π r^2=π×(\frac{6}{π})^2=\frac{36}{π}\approx11.46\mathrm{m}^2$。
比较得$S_1＜S_2＜S_3＜S_4$，即周长相等时圆的面积最大。
【答案】
圆
【知识点】
周长与面积计算、正多边形性质、等周面积规律
【点评】
本题既可以通过分步计算各图形面积得出结论，也可以直接运用“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”这一常用规律快速解题，日常学习中注意归纳同类问题的结论，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. (★)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 【 】
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
D
解析
【分析】
正多边形的所有顶点都在其外接圆上，中心O就是外接圆的圆心。已知圆周角∠ADB的度数，首先利用圆周角定理求出该角所对弧对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角，再结合正多边形中心角和边数的关系，即可求出正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，
∴点A、B、C、D都在以O为圆心的正多边形外接圆上。
∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ADB=2×18°=36°$。
设正多边形的边数为$n$，正$n$边形的所有中心角和为$360°$，且每个中心角相等，即单个中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$\frac{360°}{n}=36°$，
解得$n=10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正多边形与圆
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质与圆周角定理的基础综合题，解题的关键是明确正多边形的中心角等于对应弧的圆心角，结合圆周角定理求出中心角后即可快速求解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
正多边形的所有顶点都在其外接圆上，中心O就是外接圆的圆心。已知圆周角∠ADB的度数，首先利用圆周角定理求出该角所对弧对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角，再结合正多边形中心角和边数的关系，即可求出正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，
∴点A、B、C、D都在以O为圆心的正多边形外接圆上。
∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ADB=2×18°=36°$。
设正多边形的边数为$n$，正$n$边形的所有中心角和为$360°$，且每个中心角相等，即单个中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$\frac{360°}{n}=36°$，
解得$n=10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正多边形与圆
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质与圆周角定理的基础综合题，解题的关键是明确正多边形的中心角等于对应弧的圆心角，结合圆周角定理求出中心角后即可快速求解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
5. (★)如图,将正五边形绕着它的中心O旋转$n°(0＜n＜360)$后,能够与原来的图形完全重合,则n的值可以是(写出一个符合题意的数即可).
答案
解：正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，因此当旋转角度为$72°$的整数倍，且满足$0＜n＜360$时，旋转后的图形都能与原图形完全重合。
n的值可以是$\boldsymbol{72}$（答案不唯一，144、216、288均符合要求）。
n的值可以是$\boldsymbol{72}$（答案不唯一，144、216、288均符合要求）。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确正多边形绕中心旋转后与原图形重合的原理：正n边形的中心角均相等，当绕中心旋转的角度为中心角的正整数倍时，旋转后的图形就能和原图形完全重合。因此解题第一步先计算正五边形的中心角，再找出0~360°之间中心角的整数倍的数值即可。
【解析】
正多边形的中心角总和为360°，正五边形有5个大小相等的中心角，因此每个中心角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。当旋转角度$n°$为72°的正整数倍，且满足$0＜n＜360$时，旋转后的正五边形都能与原图形完全重合，因此n可以取72（144、216、288也均符合要求）。
【答案】
72（答案不唯一，144、216、288均可）
【知识点】
正多边形的性质；旋转对称图形；中心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形的旋转对称特征，解题的关键是掌握正多边形中心角的计算方法，理解旋转后重合的角度要求。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确正多边形绕中心旋转后与原图形重合的原理：正n边形的中心角均相等，当绕中心旋转的角度为中心角的正整数倍时，旋转后的图形就能和原图形完全重合。因此解题第一步先计算正五边形的中心角，再找出0~360°之间中心角的整数倍的数值即可。
【解析】
正多边形的中心角总和为360°，正五边形有5个大小相等的中心角，因此每个中心角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。当旋转角度$n°$为72°的正整数倍，且满足$0＜n＜360$时，旋转后的正五边形都能与原图形完全重合，因此n可以取72（144、216、288也均符合要求）。
【答案】
72（答案不唯一，144、216、288均可）
【知识点】
正多边形的性质；旋转对称图形；中心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形的旋转对称特征，解题的关键是掌握正多边形中心角的计算方法，理解旋转后重合的角度要求。
【难度系数】
0.9
6. (★)图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身.已知司南中心为圆形，圆心为O，若根据八个方位将圆形八等分(图②中点A~H)且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为度.
答案
45
解析
【分析】
要计算正八边形的中心角，首先明确正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为1个周角即360°，且每个中心角大小相等，因此正n边形的单个中心角的度数等于360°除以边数n。本题中图形为正八边形，边数n=8，代入计算即可得到结果。
【解析】
正n边形的中心角之和为周角360°，且所有中心角相等，因此正n边形中心角的计算公式为：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$
本题中正八边形的边数$n=8$，代入公式得：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{8}=45°$
【答案】
45
【知识点】
正多边形的中心角，周角的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，只要牢记正多边形中心角的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要计算正八边形的中心角，首先明确正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为1个周角即360°，且每个中心角大小相等，因此正n边形的单个中心角的度数等于360°除以边数n。本题中图形为正八边形，边数n=8，代入计算即可得到结果。
【解析】
正n边形的中心角之和为周角360°，且所有中心角相等，因此正n边形中心角的计算公式为：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$
本题中正八边形的边数$n=8$，代入公式得：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{8}=45°$
【答案】
45
【知识点】
正多边形的中心角，周角的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，只要牢记正多边形中心角的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7. (★★)如图,已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A. 求作$\odot O$的内接正方形ABCD.
答案
解：
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点。
则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形。
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点。
则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形。
解析
【分析】
要作⊙O的内接正方形，需结合正方形和圆的性质推导作图思路：圆内接正方形的四个顶点都在圆上，且正方形的对角线相等、互相垂直平分，因此正方形的对角线必然是圆的直径。我们只需先作出一条直径作为正方形的一条对角线，再作出该直径的垂直平分线，得到另一条与其垂直的直径，两条直径的四个端点顺次连接即可得到所求正方形。
【解析】
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点。
则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形。
【答案】
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为所求作的⊙O的内接正方形。
【知识点】
尺规作垂直平分线；圆的直径性质；圆内接正方形性质
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心是利用圆内接正方形的对角线为互相垂直的两条直径的特征解题，只要熟练掌握基本尺规作图操作和特殊几何图形的性质就能顺利完成。
【难度系数】
0.8
要作⊙O的内接正方形，需结合正方形和圆的性质推导作图思路：圆内接正方形的四个顶点都在圆上，且正方形的对角线相等、互相垂直平分，因此正方形的对角线必然是圆的直径。我们只需先作出一条直径作为正方形的一条对角线，再作出该直径的垂直平分线，得到另一条与其垂直的直径，两条直径的四个端点顺次连接即可得到所求正方形。
【解析】
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点。
则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形。
【答案】
作法如下：
1. 作直线AO，交⊙O于点C，得到⊙O的一条直径AC；
2. 用尺规作AC的垂直平分线，该直线交⊙O于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为所求作的⊙O的内接正方形。
【知识点】
尺规作垂直平分线；圆的直径性质；圆内接正方形性质
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心是利用圆内接正方形的对角线为互相垂直的两条直径的特征解题，只要熟练掌握基本尺规作图操作和特殊几何图形的性质就能顺利完成。
【难度系数】
0.8
