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概念建构
整式的乘法
相反变形
因式分解
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$a^2-b^2=$
A基础巩固
知识点 运用平方差公式进行因式分解
整式的乘法
相反变形
因式分解
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$a^2-b^2=$
A基础巩固
知识点 运用平方差公式进行因式分解
答案
$(a+b)(a-b)$
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的逆用，解题时首先要明确两个核心关系：一是因式分解是整式乘法的相反变形，二是整式乘法中的平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的乘积，等于两个数的平方差。我们只需将整式乘法的平方差公式反向推导，就能得到$a^2-b^2$因式分解的结果。
【解析】
已知整式乘法的平方差公式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
由于因式分解是整式乘法的相反变形，因此将上述公式逆用，即可对$a^2-b^2$进行因式分解，可得：
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
1.平方差公式
2.因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握平方差公式的结构特征，理解因式分解和整式乘法的互逆关系，熟记公式即可快速答题。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的逆用，解题时首先要明确两个核心关系：一是因式分解是整式乘法的相反变形，二是整式乘法中的平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的乘积，等于两个数的平方差。我们只需将整式乘法的平方差公式反向推导，就能得到$a^2-b^2$因式分解的结果。
【解析】
已知整式乘法的平方差公式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
由于因式分解是整式乘法的相反变形，因此将上述公式逆用，即可对$a^2-b^2$进行因式分解，可得：
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
1.平方差公式
2.因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握平方差公式的结构特征，理解因式分解和整式乘法的互逆关系，熟记公式即可快速答题。
【难度系数】
0.9
1.(新知回顾)因为$(x+9)(x-9)=x^2 -81$，所以$x^2 -81$可以因式分解为
$(x+9)(x-9)$
.答案
1.$(x+9)(x-9)$
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，其次要识别平方差公式的结构特征：如果式子是两个数的平方差的形式，就可以分解为这两个数的和与差的乘积。本题中已知$(x+9)(x-9)$的乘积为$x^2-81$，反过来就能得到$x^2-81$的因式分解结果；也可以直接套用平方差公式，先确定$x^2-81$中对应的两个平方项分别是$x^2$和$9^2$，对应公式里的$a=x$、$b=9$，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
方法一：利用因式分解与整式乘法的互逆关系
已知整式乘法运算：$(x+9)(x-9)=x^2-81$，因式分解是整式乘法的逆运算，因此将多项式转化为整式乘积的形式可得：$x^2-81=(x+9)(x-9)$。
方法二：直接套用平方差分解公式
平方差因式分解公式为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，
将$x^2-81$变形为$x^2-9^2$，对应公式中$a=x$，$b=9$，
代入公式得：$x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)$。
【答案】
$(x+9)(x-9)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查平方差公式的结构识别和基本应用，只要掌握因式分解的定义和平方差公式的特征，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，其次要识别平方差公式的结构特征：如果式子是两个数的平方差的形式，就可以分解为这两个数的和与差的乘积。本题中已知$(x+9)(x-9)$的乘积为$x^2-81$，反过来就能得到$x^2-81$的因式分解结果；也可以直接套用平方差公式，先确定$x^2-81$中对应的两个平方项分别是$x^2$和$9^2$，对应公式里的$a=x$、$b=9$，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
方法一：利用因式分解与整式乘法的互逆关系
已知整式乘法运算：$(x+9)(x-9)=x^2-81$，因式分解是整式乘法的逆运算，因此将多项式转化为整式乘积的形式可得：$x^2-81=(x+9)(x-9)$。
方法二：直接套用平方差分解公式
平方差因式分解公式为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，
将$x^2-81$变形为$x^2-9^2$，对应公式中$a=x$，$b=9$，
代入公式得：$x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)$。
【答案】
$(x+9)(x-9)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查平方差公式的结构识别和基本应用，只要掌握因式分解的定义和平方差公式的特征，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. [2026合肥期末]分解因式:$4a^2 -1 = ( )$
A.$(2a - 1)(2a + 1)$
B.$(a - 2)(a + 2)$
C.$(a - 4)(a + 1)$
D.$(4a - 1)(a + 1)$
A.$(2a - 1)(2a + 1)$
B.$(a - 2)(a + 2)$
C.$(a - 4)(a + 1)$
D.$(4a - 1)(a + 1)$
答案
2.A
解析
【分析】要分解因式$4a^2 -1$，首先观察多项式的特征：它是两项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，符合平方差公式的适用条件。平方差公式为$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，我们只需要把$4a^2$转化为$(2a)^2$，1转化为$1^2$，再代入公式计算，最后匹配对应选项即可。
【解析】首先将原式变形为平方差的形式：
$4a^2 -1 = (2a)^2 - 1^2$
根据平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=2a$，$n=1$，代入得：
$(2a)^2 -1^2 = (2a+1)(2a-1)$
对应选项为A。
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式；因式分解
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握平方差公式分解因式的适用特征：两项、异号、均为平方形式，熟练识别公式特征即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】首先将原式变形为平方差的形式：
$4a^2 -1 = (2a)^2 - 1^2$
根据平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=2a$，$n=1$，代入得：
$(2a)^2 -1^2 = (2a+1)(2a-1)$
对应选项为A。
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式；因式分解
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握平方差公式分解因式的适用特征：两项、异号、均为平方形式，熟练识别公式特征即可快速求解。
【难度系数】0.9
3. 新考法 课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（
用平方差公式分解下列各式：
(1)$a^2 - b^2$；(2)
$x^2 - 4y^2z^2$；
(3)$-x^2 - y^2$；(4)$36m^2n^2 - 9p^2$.
A.第(1)道题
B.第(2)道题
C.第(3)道题
D.第(4)道题
C
）用平方差公式分解下列各式：
(1)$a^2 - b^2$；(2)
$x^2 - 4y^2z^2$；(3)$-x^2 - y^2$；(4)$36m^2n^2 - 9p^2$.
A.第(1)道题
B.第(2)道题
C.第(3)道题
D.第(4)道题
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都可以表示为某个整式的平方，且两项符号相反，整体为两个平方的差的形式。接下来逐一判断4个式子是否满足上述条件，即可找到错误的题目。
【解析】
平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$，适用该公式分解因式的多项式需满足“两项的平方差”这一结构特征，对4个式子逐一分析：
(1) $a^2 - b^2$是$a$的平方减$b$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解；
(2) $81x^2 - 4y^2z^2=(9x)^2 - (2yz)^2$，是$9x$的平方减$2yz$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解；
(3) $-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，是两个平方项和的相反数，不存在两个平方项的差，不满足平方差公式的适用条件，不能用平方差公式分解；
(4) $36m^2n^2 - 9p^2=(6mn)^2 - (3p)^2$，是$6mn$的平方减$3p$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解。
因此第(3)道题目错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式；2. 平方差公式的结构特征
【点评】
本题核心考查平方差公式的适用条件，只有熟练掌握公式的结构特点，才能快速判断多项式能否用平方差公式分解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都可以表示为某个整式的平方，且两项符号相反，整体为两个平方的差的形式。接下来逐一判断4个式子是否满足上述条件，即可找到错误的题目。
【解析】
平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$，适用该公式分解因式的多项式需满足“两项的平方差”这一结构特征，对4个式子逐一分析：
(1) $a^2 - b^2$是$a$的平方减$b$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解；
(2) $81x^2 - 4y^2z^2=(9x)^2 - (2yz)^2$，是$9x$的平方减$2yz$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解；
(3) $-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，是两个平方项和的相反数，不存在两个平方项的差，不满足平方差公式的适用条件，不能用平方差公式分解；
(4) $36m^2n^2 - 9p^2=(6mn)^2 - (3p)^2$，是$6mn$的平方减$3p$的平方，满足平方差的形式，可以用平方差公式分解。
因此第(3)道题目错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式；2. 平方差公式的结构特征
【点评】
本题核心考查平方差公式的适用条件，只有熟练掌握公式的结构特点，才能快速判断多项式能否用平方差公式分解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4.把下列各式分解因式：
(1)$1-25b^2$；
(2)$a^2b^2 -4$.
(1)$1-25b^2$；
(2)$a^2b^2 -4$.
答案
4.解：(1)$(1+5b)(1-5b)$. (2)$(ab+2)(ab-2)$.
解析
【分析】
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题时先将原式变形为“两个数的平方差”的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行分解即可。
对于(1)，先把1写成$1^2$，$25b^2$写成$(5b)^2$，即可识别为平方差形式；
对于(2)，先把$a^2b^2$写成$(ab)^2$，4写成$2^2$，即可对应平方差公式的结构。
【解析】
(1) 先将原式变形为平方差形式：
$1 - 25b^2 = 1^2 - (5b)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，此处$a=1$，$b=5b$，代入得：
$1^2 - (5b)^2 = (1 + 5b)(1 - 5b)$
(2) 先将原式变形为平方差形式：
$a^2b^2 - 4 = (ab)^2 - 2^2$
根据平方差公式，此处$a=ab$，$b=2$，代入得：
$(ab)^2 - 2^2 = (ab + 2)(ab - 2)$
【答案】
(1)$(1+5b)(1-5b)$；(2)$(ab+2)(ab-2)$
【知识点】
平方差公式分解因式，积的乘方逆运算
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题核心是准确将原式转化为两个整式平方作差的形式，再套用公式即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题时先将原式变形为“两个数的平方差”的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行分解即可。
对于(1)，先把1写成$1^2$，$25b^2$写成$(5b)^2$，即可识别为平方差形式；
对于(2)，先把$a^2b^2$写成$(ab)^2$，4写成$2^2$，即可对应平方差公式的结构。
【解析】
(1) 先将原式变形为平方差形式：
$1 - 25b^2 = 1^2 - (5b)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，此处$a=1$，$b=5b$，代入得：
$1^2 - (5b)^2 = (1 + 5b)(1 - 5b)$
(2) 先将原式变形为平方差形式：
$a^2b^2 - 4 = (ab)^2 - 2^2$
根据平方差公式，此处$a=ab$，$b=2$，代入得：
$(ab)^2 - 2^2 = (ab + 2)(ab - 2)$
【答案】
(1)$(1+5b)(1-5b)$；(2)$(ab+2)(ab-2)$
【知识点】
平方差公式分解因式，积的乘方逆运算
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题核心是准确将原式转化为两个整式平方作差的形式，再套用公式即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
5. [2026 滁州期末]已知$x^2 - y^2 = -1, x + y = \frac{1}{2}$，则$x - y =$
【变式·正向应用】若$2m + n = 25, m - 2n = 2$，则$(m + 3n)^2 - (3m - n)^2$的值为（
A.200
B.$-200$
C.100
D.$-100$
$-2$
。【变式·正向应用】若$2m + n = 25, m - 2n = 2$，则$(m + 3n)^2 - (3m - n)^2$的值为（
B
）A.200
B.$-200$
C.100
D.$-100$
答案
5.$-2$ 【变式·正向应用】B
解析
【分析】
第5题：利用平方差公式的因式分解形式，将已知的$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，再代入已知的$x^2-y^2$和$x+y$的值，即可直接求出$x-y$的结果，无需单独求解$x$和$y$。
变式题：所求代数式是两个整式平方的差，符合平方差公式的结构，先利用平方差公式对其因式分解，再合并同类项化简，可发现化简结果能用已知的$2m+n$和$m-2n$表示，整体代入计算即可得到答案，简化计算过程。
【解析】
第5题
根据平方差公式因式分解得：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
将$x^2 - y^2=-1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入上式得：
$-1 = \frac{1}{2} · (x-y)$
解得：$x-y = -1 ÷ \frac{1}{2} = -2$
【变式·正向应用】
对$(m + 3n)^2 - (3m - n)^2$用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]\\&=(4m+2n)(-2m+4n)\\&=2(2m+n) · [-2(m-2n)]\\&=-4(2m+n)(m-2n)\end{aligned}$
将$2m + n = 25$，$m - 2n = 2$代入得：
$\mathrm{原式}=-4 × 25 × 2 = -200$
故选B
【答案】
5. $-2$；【变式·正向应用】B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 代数式整体代入求值
【点评】
这两道题是平方差公式因式分解的典型基础应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入思想简化运算，可避免单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
第5题：利用平方差公式的因式分解形式，将已知的$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，再代入已知的$x^2-y^2$和$x+y$的值，即可直接求出$x-y$的结果，无需单独求解$x$和$y$。
变式题：所求代数式是两个整式平方的差，符合平方差公式的结构，先利用平方差公式对其因式分解，再合并同类项化简，可发现化简结果能用已知的$2m+n$和$m-2n$表示，整体代入计算即可得到答案，简化计算过程。
【解析】
第5题
根据平方差公式因式分解得：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
将$x^2 - y^2=-1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入上式得：
$-1 = \frac{1}{2} · (x-y)$
解得：$x-y = -1 ÷ \frac{1}{2} = -2$
【变式·正向应用】
对$(m + 3n)^2 - (3m - n)^2$用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]\\&=(4m+2n)(-2m+4n)\\&=2(2m+n) · [-2(m-2n)]\\&=-4(2m+n)(m-2n)\end{aligned}$
将$2m + n = 25$，$m - 2n = 2$代入得：
$\mathrm{原式}=-4 × 25 × 2 = -200$
故选B
【答案】
5. $-2$；【变式·正向应用】B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 代数式整体代入求值
【点评】
这两道题是平方差公式因式分解的典型基础应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入思想简化运算，可避免单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
6. 中考趋势·代数推理 请通过计算说明:对于任意整数$n$,多项式$(n+6)^2 - (n-2)^2$的值都能被16整除.
答案
解：
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+6)^2 - (n-2)^2&=[(n+6)+(n-2)][(n+6)-(n-2)]\\&=(2n+4)×8\\&=2(n+2)×8\\&=16(n+2)\end{aligned}$
∵n是任意整数，
∴n+2是整数，
∴多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值是16的倍数，
即对于任意整数n，多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值都能被16整除。
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+6)^2 - (n-2)^2&=[(n+6)+(n-2)][(n+6)-(n-2)]\\&=(2n+4)×8\\&=2(n+2)×8\\&=16(n+2)\end{aligned}$
∵n是任意整数，
∴n+2是整数，
∴多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值是16的倍数，
即对于任意整数n，多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值都能被16整除。
解析
【分析】
要证明多项式对任意整数n都能被16整除，核心是将多项式化简为16与某整数相乘的形式。观察多项式是两个平方项作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此首先利用平方差公式分解因式，再对分解后的式子化简整理，最后结合n为整数的条件，判断化简结果是否为16的整数倍即可完成证明。
【解析】
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+6)^2 - (n-2)^2&=[(n+6)+(n-2)][(n+6)-(n-2)]\\&=(2n+4)×8\\&=2(n+2)×8\\&=16(n+2)\end{aligned}$
∵n是任意整数，
∴n+2是整数，
∴多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值是16的倍数，即对于任意整数n，多项式的值都能被16整除。
【答案】
对于任意整数$n$，多项式$(n+6)^2 - (n-2)^2$的值都能被16整除，证明如上。
【知识点】
平方差公式因式分解；整式化简；整除判定
【点评】
本题是代数推理的基础题型，解题关键是准确识别多项式的结构特征，灵活运用平方差公式因式分解后化简，再结合整数性质完成整除性证明，能有效考查因式分解的应用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明多项式对任意整数n都能被16整除，核心是将多项式化简为16与某整数相乘的形式。观察多项式是两个平方项作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此首先利用平方差公式分解因式，再对分解后的式子化简整理，最后结合n为整数的条件，判断化简结果是否为16的整数倍即可完成证明。
【解析】
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+6)^2 - (n-2)^2&=[(n+6)+(n-2)][(n+6)-(n-2)]\\&=(2n+4)×8\\&=2(n+2)×8\\&=16(n+2)\end{aligned}$
∵n是任意整数，
∴n+2是整数，
∴多项式$(n+6)^2-(n-2)^2$的值是16的倍数，即对于任意整数n，多项式的值都能被16整除。
【答案】
对于任意整数$n$，多项式$(n+6)^2 - (n-2)^2$的值都能被16整除，证明如上。
【知识点】
平方差公式因式分解；整式化简；整除判定
【点评】
本题是代数推理的基础题型，解题关键是准确识别多项式的结构特征，灵活运用平方差公式因式分解后化简，再结合整数性质完成整除性证明，能有效考查因式分解的应用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
7. 运算能力 计算下列各式：
(1)$1-\dfrac{1}{2^2}=$
(2)$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})=$
(3)$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})=$
(4)请你用简便方法计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×(1-\dfrac{1}{5^2})×···×(1-\dfrac{1}{99^2})×(1-\dfrac{1}{100^2})$。
(1)$1-\dfrac{1}{2^2}=$
$\dfrac{3}{4}$
；(2)$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})=$
$\dfrac{2}{3}$
；(3)$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})=$
$\dfrac{5}{8}$
；(4)请你用简便方法计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×(1-\dfrac{1}{5^2})×···×(1-\dfrac{1}{99^2})×(1-\dfrac{1}{100^2})$。
答案
7.解：(1)$\dfrac{3}{4}$ (2)$\dfrac{2}{3}$ (3)$\dfrac{5}{8}$ (4)原式$=\dfrac{101}{200}$.
解析
【分析】
本题每个因式均为“1减平方数”的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征。解题时先利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数相乘的形式，再通过观察拆分后分数的特点，利用前后项约分的方法简化计算；前3小问可直接计算验证规律，第(4)问借助规律简便运算即可。
【解析】
(1) $1-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$，也可利用平方差分解计算：$(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$；
(2) 拆分每个因式后约分计算：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}$
中间$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$约分，得$\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$；
(3) 继续拆分$1-\dfrac{1}{4^2}$后约分计算：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}$
中间项依次约分，得$\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{8}$；
(4) 按照上述规律拆分所有因式，分组约分：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})×\dots×(1-\dfrac{1}{100})(1+\dfrac{1}{100})$
$=(\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{99}{100})×(\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{101}{100})$
第一组约分后剩余$\dfrac{1}{100}$，第二组约分后剩余$\dfrac{101}{2}$，相乘得：
$\dfrac{1}{100}×\dfrac{101}{2}=\dfrac{101}{200}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$\dfrac{2}{3}$；(3)$\dfrac{5}{8}$；(4)$\dfrac{101}{200}$
【知识点】
平方差公式、分数简便运算、规律探究
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过分解因式将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅降低计算难度，解题时要注意观察式子的结构特征，善于总结规律提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题每个因式均为“1减平方数”的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征。解题时先利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数相乘的形式，再通过观察拆分后分数的特点，利用前后项约分的方法简化计算；前3小问可直接计算验证规律，第(4)问借助规律简便运算即可。
【解析】
(1) $1-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$，也可利用平方差分解计算：$(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$；
(2) 拆分每个因式后约分计算：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}$
中间$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$约分，得$\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$；
(3) 继续拆分$1-\dfrac{1}{4^2}$后约分计算：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}$
中间项依次约分，得$\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{8}$；
(4) 按照上述规律拆分所有因式，分组约分：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})×\dots×(1-\dfrac{1}{100})(1+\dfrac{1}{100})$
$=(\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{99}{100})×(\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{101}{100})$
第一组约分后剩余$\dfrac{1}{100}$，第二组约分后剩余$\dfrac{101}{2}$，相乘得：
$\dfrac{1}{100}×\dfrac{101}{2}=\dfrac{101}{200}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$\dfrac{2}{3}$；(3)$\dfrac{5}{8}$；(4)$\dfrac{101}{200}$
【知识点】
平方差公式、分数简便运算、规律探究
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过分解因式将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅降低计算难度，解题时要注意观察式子的结构特征，善于总结规律提高解题效率。
【难度系数】
0.7
