如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“杧果”,已知点A,B,C,D分别是“杧果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}$,则图中CD的长为.

$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$

【分析】要求CD的长，观察可知C、D均在y轴上，因此只需分别求出点C、点D的纵坐标，用上方点C的纵坐标减去下方点D的纵坐标即可得到CD的长度。首先求抛物线与x轴的交点A、B的坐标，得到AB的长度即半圆的直径，进而求出上半圆顶点C的坐标；再求抛物线与y轴的交点D的坐标，最后计算两点纵坐标之差即可。
【解析】
1. 求点A、B的坐标
令抛物线解析式$y=\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}$中$y=0$，可得：
$\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}=0$
化简得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
因此$A(-1,0)$，$B(1,0)$，半圆直径$AB=2$。
2. 求点C的坐标
半圆的圆心为原点O，半径为$2÷2=1$，C是上半圆与y轴的交点，因此$C(0,1)$。
3. 求点D的坐标
令抛物线解析式中$x=0$，代入得：
$y=\frac{3}{2}×0^2 - \frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$
因此$D(0,-\frac{3}{2})$。
4. 计算CD的长度
$CD=1 - (-\frac{3}{2})=\frac{5}{2}$
【答案】$\frac{5}{2}$
【知识点】二次函数与坐标轴交点，圆的基本性质，坐标轴上两点距离计算
【点评】本题是二次函数与圆的综合基础题，解题的核心是利用坐标轴上点的坐标特征，快速求出关键点坐标，进而计算线段长度，解题思路清晰。
【难度系数】0.7

知识点1）二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质
一般地,抛物线$y=ax^2+k$的对称轴是,顶点是.
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点.
当$x＜0$时,y随x的增大而;当$x＞0$时,y随x的增大而.
当$x=0$时,y有最值.
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点.
当$x＜0$时,y随x的增大而;当$x＞0$时,y随x的增大而.
当$x=0$时,y有最值.
重点提示
二次函数$y=ax^2+k$的系数a的符号决定了抛物线的开口方向,$|a|$的大小决定了抛物线的开口大小,常数项k决定了抛物线的顶点位置.

一般地,抛物线$y=ax^2+k$的对称轴是y轴，顶点是(0,k)。
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点。
当$x＜0$时,y随x的增大而减小;当$x＞0$时,y随x的增大而增大。
当$x=0$时,y有最小值k。
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。
当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小。
当$x=0$时,y有最大值k。

【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2+k$的基础图象与性质，我们可以结合图象记忆相关结论：首先$y=ax^2+k$是由$y=ax^2$上下平移得到的，因此对称轴和$y=ax^2$一致，顶点仅纵坐标变化。再根据$a$的正负判断开口方向：开口向上时顶点为最低点，有最小值，对称轴两侧左降右升；开口向下时顶点为最高点，有最大值，对称轴两侧左升右降，对应填写各空即可。
【解析】
我们结合二次函数图象的平移规律和性质逐步推导：
1. 对称轴与顶点：抛物线$y=ax^2+k$可看作$y=ax^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位得到，因此对称轴与$y=ax^2$相同，为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。
2. 当$a＞0$时：
抛物线开口向上，顶点是整个抛物线的最低点；以对称轴y轴为界，$x＜0$时图象呈下降趋势，因此y随x的增大而减小；$x＞0$时图象呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；顶点处函数值最小，即$x=0$时，y有最小值$k$。
3. 当$a＜0$时：
抛物线开口向下，顶点是整个抛物线的最高点；以对称轴y轴为界，$x＜0$时图象呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；$x＞0$时图象呈下降趋势，因此y随x的增大而减小；顶点处函数值最大，即$x=0$时，y有最大值$k$。
【答案】
一般地,抛物线$y=ax^2+k$的对称轴是y轴，顶点是(0,k)。
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点。
当$x＜0$时,y随x的增大而减小;当$x＞0$时,y随x的增大而增大。
当$x=0$时,y有最小值k。
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。
当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小。
当$x=0$时,y有最大值k。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础性质考查，内容是后续学习复杂二次函数的核心基础，建议结合函数图象理解记忆性质，不要死记硬背，避免混淆不同开口方向下的增减性规律。
【难度系数】
0.9

知识点2）二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象之间的关系
抛物线$y=ax^2+k$是把抛物线$y=ax^2$（$k＞0$）或（$k＜0$）平移个单位长度得到的.
重点提示
抛物线$y=ax^2$平移为抛物线$y=ax^2+k$只变常数项$k$，平移口诀为“上加下减”.

抛物线$y=ax^2+k$是把抛物线$y=ax^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度得到的。

【分析】
解答本题需要结合二次函数图象平移的规律思考：首先$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的二次项系数$a$完全相同，说明两条抛物线的开口方向、形状大小完全一致，仅位置不同，属于上下平移变换。再结合“上加下减”的平移口诀判断平移方向：当常数项加正数$k$（$k＞0$）时，图象向上移动；当常数项加负数$k$（$k＜0$）时，图象向下移动，平移的单位长度为非负数，因此取$k$的绝对值。
【解析】
二次函数图象平移遵循“上加下减”的规律，即函数表达式在常数项上加减数值对应图象的上下平移：
1. 当$k＞0$时，$y=ax^2+k$的函数值比$y=ax^2$对应$x$的函数值大$k$，因此是将$y=ax^2$向上平移；
2. 当$k＜0$时，$y=ax^2+k$的函数值比$y=ax^2$对应$x$的函数值小$|k|$，因此是将$y=ax^2$向下平移；
3. 平移的单位长度为非负数，因此平移单位长度为$|k|$。
【答案】
抛物线$y=ax^2+k$是把抛物线$y=ax^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度得到的。
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数图象关系
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，主要考查二次函数上下平移的规律，牢记“上加下减”的平移口诀即可快速作答，是后续学习复杂二次函数平移变换的基础。
【难度系数】
0.9

例1 如图,抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,四边形ABCD为平行四边形.

(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)若该抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线对应的函数解析式.
解:(1)当$x=0$时,$y=4$,即$C(0,4)$.
当$y=0$时,$-x^2+4=0$,解得$x=\pm2$,
$\therefore A(-2,0),B(2,0)$.
(2)$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$AB=4$,$C(0,4)$,
$\therefore CD=AB=4,CD// AB$.
$\therefore D(-4,4)$.
设平移后的抛物线为$y=-x^2+4+m$,则$4=-(-4)^2+4+m$,解得$m=16$.
$\therefore$ 平移后抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+20$.
方法点拨 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征,分别令$y=0$、$x=0$求出抛物线与x轴、y轴的交点;由平移前的抛物线$y=ax^2+k$根据平移法则将向上平移后的抛物线设为$y=ax^2+k+m$.(m为平移距离)

解：
(1) 当$x=0$时，代入$y=-x^2+4$，得$y=4$，
$\therefore C(0,4)$。
当$y=0$时，$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，
结合图象可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
(2) 由$A(-2,0)$，$B(2,0)$得$AB=4$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，$CD=AB=4$。
又$\because C(0,4)$，$CD// x$轴，
$\therefore$ 点D的纵坐标为4，横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移$m$个单位后的抛物线解析式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：
$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$。
$\therefore$ 平移后抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+20$。

【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点的坐标时，与y轴交点只需令x=0代入解析式求解，与x轴交点只需令y=0解方程，再结合图象上A、B的位置确定对应坐标即可。
(2) 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的A、B、C坐标推出点D的坐标；再根据二次函数图象向上平移时“上加下减”的规律，设出平移后的函数解析式，将D点坐标代入求解平移距离，即可得到最终解析式。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入$y=-x^2+4$，得$y=4$，
$\therefore C(0,4)$。
当$y=0$时，$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，
结合图象可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，
$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$。
(2) 由$A(-2,0)$，$B(2,0)$得$AB=2-(-2)=4$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，$CD=AB=4$。
又$\because C(0,4)$，$CD// x$轴，
$\therefore$ 点D的纵坐标为4，横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移$m$个单位后的抛物线解析式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：
$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$。
$\therefore$ 平移后抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+20$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解，平行四边形的性质，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考查基础知识的运用，解题关键是熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数平移规律，结合平行四边形性质求出对应点坐标即可求解，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.7