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例1 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象经过点$A(2,3)$.
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点$B(-1,6)$，$C(3,2)$是否在这个函数的图象上；
（3）当$-3＜x＜-1$时，求$y$的取值范围.
解：(1)把$A(2,3)$代入解析式，得$k=6$，故函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$，
所以$B(-1,6)$不在这个函数的图象上.
当$x=3$时，$y=\frac{6}{3}=2$，
所以$C(3,2)$在这个函数的图象上.
(3)$-6＜y＜-2$.
方法点拨 利用函数解析式求值时，可以把自变量的值代入函数解析式求函数值，也可以把函数值代入函数解析式求自变量的值.
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点$B(-1,6)$，$C(3,2)$是否在这个函数的图象上；
（3）当$-3＜x＜-1$时，求$y$的取值范围.
解：(1)把$A(2,3)$代入解析式，得$k=6$，故函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$，
所以$B(-1,6)$不在这个函数的图象上.
当$x=3$时，$y=\frac{6}{3}=2$，
所以$C(3,2)$在这个函数的图象上.
(3)$-6＜y＜-2$.
方法点拨 利用函数解析式求值时，可以把自变量的值代入函数解析式求函数值，也可以把函数值代入函数解析式求自变量的值.
答案
解：
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{2}$，
解得$k=6$，
因此这个函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-1}=-6\ne6$，
因此点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上；
把$x=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{3}=2$，
因此点$C(3,2)$在这个函数的图象上。
(3) 因为$k=6＞0$，所以反比例函数$y=\frac{6}{x}$在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{2}$，
解得$k=6$，
因此这个函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-1}=-6\ne6$，
因此点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上；
把$x=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{3}=2$，
因此点$C(3,2)$在这个函数的图象上。
(3) 因为$k=6＞0$，所以反比例函数$y=\frac{6}{x}$在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式时，因反比例函数$y=\frac{k}{x}$仅含一个待定系数$k$，只需将已知点$A$的坐标代入解析式，即可求出$k$的值，进而确定函数解析式。
（2）判断点是否在函数图象上的方法为：将点的横坐标代入函数解析式计算对应$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。
（3）求指定区间内$y$的取值范围时，先根据$k$的正负判断反比例函数在$x＜0$区间的增减性，再计算区间端点对应的$y$值，结合增减性即可确定$y$的取值范围，注意区间端点无法取到，故$y$的端点值也无法取到。
【解析】
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{2}$，
解得$k=6$，
因此这个函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-1}=-6\ne6$，
因此点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上；
把$x=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{3}=2$，
因此点$C(3,2)$在这个函数的图象上。
(3) 因为$k=6＞0$，所以反比例函数$y=\frac{6}{x}$在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$
(2) 点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上，点$C(3,2)$在这个函数的图象上
(3) $-6＜y＜-2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，围绕反比例函数的核心性质设置问题，解题思路清晰直接，熟练掌握反比例函数的基本性质和相关判断方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求反比例函数解析式时，因反比例函数$y=\frac{k}{x}$仅含一个待定系数$k$，只需将已知点$A$的坐标代入解析式，即可求出$k$的值，进而确定函数解析式。
（2）判断点是否在函数图象上的方法为：将点的横坐标代入函数解析式计算对应$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。
（3）求指定区间内$y$的取值范围时，先根据$k$的正负判断反比例函数在$x＜0$区间的增减性，再计算区间端点对应的$y$值，结合增减性即可确定$y$的取值范围，注意区间端点无法取到，故$y$的端点值也无法取到。
【解析】
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{2}$，
解得$k=6$，
因此这个函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-1}=-6\ne6$，
因此点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上；
把$x=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{3}=2$，
因此点$C(3,2)$在这个函数的图象上。
(3) 因为$k=6＞0$，所以反比例函数$y=\frac{6}{x}$在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$
(2) 点$B(-1,6)$不在这个函数的图象上，点$C(3,2)$在这个函数的图象上
(3) $-6＜y＜-2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，围绕反比例函数的核心性质设置问题，解题思路清晰直接，熟练掌握反比例函数的基本性质和相关判断方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
例2 已知反比例函数$y=\frac{m-7}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求$m$的取值范围;
(2)如图,$O$为坐标原点,点$A$在该反比例函数位于第一象限的图象上,点$B$与点$A$关于$x$轴对称,若$△ OAB$的面积为$6$,求$m$的值.
解:(1)由题意得$m-7＞0$,
$\therefore \ m＞7$,另一支在第三象限.
(2)设$A(x,\frac{m-7}{x})$,则$B(x,-\frac{m-7}{x})$,
$\therefore \ S_{△ OAB}=\frac{1}{2}(\frac{m-7}{x}+\frac{m-7}{x})x=6$,
$\therefore \ m=13$.
方法点拨 熟练掌握反比例函数的性质,能在平面直角坐标系中熟练地用坐标表示线段的长.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求$m$的取值范围;
(2)如图,$O$为坐标原点,点$A$在该反比例函数位于第一象限的图象上,点$B$与点$A$关于$x$轴对称,若$△ OAB$的面积为$6$,求$m$的值.
解:(1)由题意得$m-7＞0$,
$\therefore \ m＞7$,另一支在第三象限.
(2)设$A(x,\frac{m-7}{x})$,则$B(x,-\frac{m-7}{x})$,
$\therefore \ S_{△ OAB}=\frac{1}{2}(\frac{m-7}{x}+\frac{m-7}{x})x=6$,
$\therefore \ m=13$.
方法点拨 熟练掌握反比例函数的性质,能在平面直角坐标系中熟练地用坐标表示线段的长.
答案
解：
(1) 根据反比例函数图象的对称性，该函数图象的另一支位于第三象限。
由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得比例系数大于0，即
$m-7＞0$
解得 $m＞7$。
(2) 设点$A$的坐标为$(x,\frac{m-7}{x})$，
因为点$B$与点$A$关于$x$轴对称，所以点$B$的坐标为$(x,-\frac{m-7}{x})$，
则线段$AB$的长度为$\frac{m-7}{x} - (-\frac{m-7}{x}) = \frac{2(m-7)}{x}$，
点$O$到直线$AB$的距离为$x$（$x＞0$），
因此$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · AB · x = \frac{1}{2} · \frac{2(m-7)}{x} · x = m-7$。
已知$S_{△ OAB}=6$，代入得：
$m-7=6$
解得 $m=13$。
(1) 根据反比例函数图象的对称性，该函数图象的另一支位于第三象限。
由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得比例系数大于0，即
$m-7＞0$
解得 $m＞7$。
(2) 设点$A$的坐标为$(x,\frac{m-7}{x})$，
因为点$B$与点$A$关于$x$轴对称，所以点$B$的坐标为$(x,-\frac{m-7}{x})$，
则线段$AB$的长度为$\frac{m-7}{x} - (-\frac{m-7}{x}) = \frac{2(m-7)}{x}$，
点$O$到直线$AB$的距离为$x$（$x＞0$），
因此$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · AB · x = \frac{1}{2} · \frac{2(m-7)}{x} · x = m-7$。
已知$S_{△ OAB}=6$，代入得：
$m-7=6$
解得 $m=13$。
解析
【分析】
(1) 首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象为双曲线，当$k＞0$时，两支分别位于第一、第三象限，且图象关于原点对称。已知该函数一支在第一象限，可直接推出另一支所在象限，再根据$k＞0$列不等式即可求解$m$的取值范围。
(2) 先利用关于$x$轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，写出点$B$的坐标。观察图形可知线段$AB$垂直于$x$轴，$AB$的长度为$A$、$B$两点纵坐标的差的绝对值，点$O$到直线$AB$的距离等于点$A$的横坐标，代入三角形面积公式列方程，化简后即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 根据反比例函数图象的对称性，该函数图象的另一支位于第三象限。
由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得比例系数大于0，即
$m-7＞0$
解得 $m＞7$。
(2) 设点$A$的坐标为$(x,\frac{m-7}{x})$，
因为点$B$与点$A$关于$x$轴对称，所以点$B$的坐标为$(x,-\frac{m-7}{x})$，
则线段$AB$的长度为$\frac{m-7}{x} - (-\frac{m-7}{x}) = \frac{2(m-7)}{x}$，
点$O$到直线$AB$的距离为$x$（$x＞0$），
因此$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · AB · x = \frac{1}{2} · \frac{2(m-7)}{x} · x = m-7$。
已知$S_{△ OAB}=6$，代入得：
$m-7=6$
解得 $m=13$。
【答案】
(1) 函数图象的另一支位于第三象限，$m＞7$；
(2) $m=13$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，关于x轴对称的点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，将函数性质、坐标对称、面积计算结合考查，解题核心是熟练掌握反比例函数的图象性质，能正确用坐标表示线段长度，计算过程中横坐标$x$可直接约去，降低了解题难度，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象为双曲线，当$k＞0$时，两支分别位于第一、第三象限，且图象关于原点对称。已知该函数一支在第一象限，可直接推出另一支所在象限，再根据$k＞0$列不等式即可求解$m$的取值范围。
(2) 先利用关于$x$轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，写出点$B$的坐标。观察图形可知线段$AB$垂直于$x$轴，$AB$的长度为$A$、$B$两点纵坐标的差的绝对值，点$O$到直线$AB$的距离等于点$A$的横坐标，代入三角形面积公式列方程，化简后即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 根据反比例函数图象的对称性，该函数图象的另一支位于第三象限。
由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得比例系数大于0，即
$m-7＞0$
解得 $m＞7$。
(2) 设点$A$的坐标为$(x,\frac{m-7}{x})$，
因为点$B$与点$A$关于$x$轴对称，所以点$B$的坐标为$(x,-\frac{m-7}{x})$，
则线段$AB$的长度为$\frac{m-7}{x} - (-\frac{m-7}{x}) = \frac{2(m-7)}{x}$，
点$O$到直线$AB$的距离为$x$（$x＞0$），
因此$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · AB · x = \frac{1}{2} · \frac{2(m-7)}{x} · x = m-7$。
已知$S_{△ OAB}=6$，代入得：
$m-7=6$
解得 $m=13$。
【答案】
(1) 函数图象的另一支位于第三象限，$m＞7$；
(2) $m=13$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，关于x轴对称的点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，将函数性质、坐标对称、面积计算结合考查，解题核心是熟练掌握反比例函数的图象性质，能正确用坐标表示线段长度，计算过程中横坐标$x$可直接约去，降低了解题难度，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD关于y轴对称,边AD在x轴上,点B在第四象限,直线BD与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点B,E.
(1)求反比例函数及直线BD的解析式;
(2)求点E的坐标;
(3)根据图象直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围.
(1)求反比例函数及直线BD的解析式;
(2)求点E的坐标;
(3)根据图象直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围.
答案
(1)$y=-\frac{2}{x}$,$y=-x-1$.
(2)$E(-2,1)$.
(3)$-2＜x＜0$ 或 $x＞1$.
(2)$E(-2,1)$.
(3)$-2＜x＜0$ 或 $x＞1$.
解析
【分析】
解题首先利用正方形的性质确定关键点坐标：边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，AD在x轴上，可先推出D、B两点的坐标。①求函数解析式采用待定系数法：将点B坐标代入反比例函数表达式求出m值，再将B、D两点坐标代入一次函数一般式，解方程组得到一次函数的参数；②求点E坐标，只需联立反比例函数与直线BD的解析式，解方程组后排除点B的解即可得到E的坐标；③比较函数值大小，结合两个函数的交点坐标，观察图象中反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的x的范围，注意分区间判断，不要漏解。
【解析】
(1) 先确定点坐标：
∵ 边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，
∴ AD的中点为坐标原点，$OD=OA=1$，
∴ $D(-1, 0)$，$A(1, 0)$，
又
∵ $AB=2$，点B在第四象限，
∴ $B(1, -2)$。
求反比例函数解析式：
将$B(1, -2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-2=\frac{m}{1}$，解得$m=-2$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
求直线BD的解析式：
设直线BD的解析式为$y=kx+b$，将$D(-1, 0)$、$B(1, -2)$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b \\ -2=k+b\end{cases}$
两式相加得$-2=2b$，解得$b=-1$，将$b=-1$代入$0=-k+b$得$k=-1$，
∴ 直线BD的解析式为$y=-x-1$。
(2) 联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-\frac{2}{x} \\ y=-x-1\end{cases}$
消去y得：$-\frac{2}{x}=-x-1$，两边同乘$x(x≠0)$整理得$x^2+x-2=0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
当$x=1$时对应点B，将$x=-2$代入$y=-x-1$得$y=2-1=1$，
∴ 点E的坐标为$(-2, 1)$。
(3) 观察图象，两个函数的交点为$E(-2,1)$、$B(1,-2)$，反比例函数图象在一次函数图象上方的区域对应x的范围为：
$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$，直线BD的解析式为$y=-x-1$；
(2) $E(-2,1)$；
(3) $-2＜x＜0$ 或 $x＞1$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，正方形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，解题的核心是先通过几何性质求出关键点坐标，再利用函数的相关性质求解，考查了学生的计算能力和数形结合分析问题的能力，掌握待定系数法和函数图象读图技巧是得分关键。
【难度系数】
0.6
解题首先利用正方形的性质确定关键点坐标：边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，AD在x轴上，可先推出D、B两点的坐标。①求函数解析式采用待定系数法：将点B坐标代入反比例函数表达式求出m值，再将B、D两点坐标代入一次函数一般式，解方程组得到一次函数的参数；②求点E坐标，只需联立反比例函数与直线BD的解析式，解方程组后排除点B的解即可得到E的坐标；③比较函数值大小，结合两个函数的交点坐标，观察图象中反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的x的范围，注意分区间判断，不要漏解。
【解析】
(1) 先确定点坐标：
∵ 边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，
∴ AD的中点为坐标原点，$OD=OA=1$，
∴ $D(-1, 0)$，$A(1, 0)$，
又
∵ $AB=2$，点B在第四象限，
∴ $B(1, -2)$。
求反比例函数解析式：
将$B(1, -2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-2=\frac{m}{1}$，解得$m=-2$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
求直线BD的解析式：
设直线BD的解析式为$y=kx+b$，将$D(-1, 0)$、$B(1, -2)$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b \\ -2=k+b\end{cases}$
两式相加得$-2=2b$，解得$b=-1$，将$b=-1$代入$0=-k+b$得$k=-1$，
∴ 直线BD的解析式为$y=-x-1$。
(2) 联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-\frac{2}{x} \\ y=-x-1\end{cases}$
消去y得：$-\frac{2}{x}=-x-1$，两边同乘$x(x≠0)$整理得$x^2+x-2=0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
当$x=1$时对应点B，将$x=-2$代入$y=-x-1$得$y=2-1=1$，
∴ 点E的坐标为$(-2, 1)$。
(3) 观察图象，两个函数的交点为$E(-2,1)$、$B(1,-2)$，反比例函数图象在一次函数图象上方的区域对应x的范围为：
$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$，直线BD的解析式为$y=-x-1$；
(2) $E(-2,1)$；
(3) $-2＜x＜0$ 或 $x＞1$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，正方形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，解题的核心是先通过几何性质求出关键点坐标，再利用函数的相关性质求解，考查了学生的计算能力和数形结合分析问题的能力，掌握待定系数法和函数图象读图技巧是得分关键。
【难度系数】
0.6
