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例1 某学校甲、乙两个班参加植树活动，乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树。设甲班植树的总量为$y_甲$（单位：棵），乙班植树的总量为$y_乙$（单位：棵），两个班一起植树的时间（从甲班开始植树时计时）为$x$（单位：h），$y_甲$、$y_乙$与$x$之间的部分函数图象如图所示。
(1)当$0≤ x≤6$时，分别求$y_甲$、$y_乙$与$x$之间的函数表达式；
(2)假设甲、乙两个班均保持前6 h的工作效率，通过计算说明，当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能否超过260棵？
(3)已知6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2 h后活动结束。若当$x=8$时，两班之间植树总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵。
[点拨] (1)由图象可知，一条是过原点的直线（设$y_甲=k_1x$），另一条是不过原点的直线（设$y_乙=k_2x+b$）。利用图象上点的坐标，用待定系数法即可求解。
(2)已知自变量$(x=8)$，代入函数表达式求出函数值即可。
(3)两班之间植树总量相差20棵，有两种情况：①乙班比甲班多植树20棵；②甲班比乙班多植树20棵。根据等量关系列出方程求解即可。
[解] (1)设$y_甲=k_1x$，把$(6,120)$代入，得$k_1=20$，所以$y_甲=20x$。
当$x=3$时，$y_甲=60$。
设$y_乙=k_2x+b$，把$(0,30),(3,60)$代入，得$b=30,3k_2+b=60$。
解得$k_2=10,b=30$。
所以$y_乙=10x+30$。
(2)当$x=8$时，$y_甲=8×20=160$，$y_乙=8×10+30=110$。
因为$160+110=270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3)设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a -20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵。
(1)当$0≤ x≤6$时，分别求$y_甲$、$y_乙$与$x$之间的函数表达式；
(2)假设甲、乙两个班均保持前6 h的工作效率，通过计算说明，当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能否超过260棵？
(3)已知6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2 h后活动结束。若当$x=8$时，两班之间植树总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵。
[点拨] (1)由图象可知，一条是过原点的直线（设$y_甲=k_1x$），另一条是不过原点的直线（设$y_乙=k_2x+b$）。利用图象上点的坐标，用待定系数法即可求解。
(2)已知自变量$(x=8)$，代入函数表达式求出函数值即可。
(3)两班之间植树总量相差20棵，有两种情况：①乙班比甲班多植树20棵；②甲班比乙班多植树20棵。根据等量关系列出方程求解即可。
[解] (1)设$y_甲=k_1x$，把$(6,120)$代入，得$k_1=20$，所以$y_甲=20x$。
当$x=3$时，$y_甲=60$。
设$y_乙=k_2x+b$，把$(0,30),(3,60)$代入，得$b=30,3k_2+b=60$。
解得$k_2=10,b=30$。
所以$y_乙=10x+30$。
(2)当$x=8$时，$y_甲=8×20=160$，$y_乙=8×10+30=110$。
因为$160+110=270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3)设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a -20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵。
答案
解：
(1) 设$y_甲 = k_1 x$，把$(6,120)$代入，得
$120=6k_1$，解得$k_1=20$，
所以$y_甲=20x \quad (0≤ x≤6)$。
当$x=3$时，$y_甲=20×3=60$。
设$y_乙 = k_2 x + b$，把$(0,30)$，$(3,60)$代入，得
$\begin{cases} b=30 \\ 3k_2 + b=60 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=10 \\ b=30 \end{cases}$，
所以$y_乙=10x+30 \quad (0≤ x≤6)$。
(2) 当$x=8$时，
$y_甲=20×8=160$，
$y_乙=10×8+30=110$。
两班植树总量为$160+110=270$棵，
因为$270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3) 设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a - 20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
答：乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵。
(1) 设$y_甲 = k_1 x$，把$(6,120)$代入，得
$120=6k_1$，解得$k_1=20$，
所以$y_甲=20x \quad (0≤ x≤6)$。
当$x=3$时，$y_甲=20×3=60$。
设$y_乙 = k_2 x + b$，把$(0,30)$，$(3,60)$代入，得
$\begin{cases} b=30 \\ 3k_2 + b=60 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=10 \\ b=30 \end{cases}$，
所以$y_乙=10x+30 \quad (0≤ x≤6)$。
(2) 当$x=8$时，
$y_甲=20×8=160$，
$y_乙=10×8+30=110$。
两班植树总量为$160+110=270$棵，
因为$270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3) 设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a - 20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
答：乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵。
解析
【分析】
(1) 求函数表达式优先用待定系数法：观察图像可知$y_甲$是过原点的正比例函数，设为$y_甲=k_1x$，代入已知点$(6,120)$即可求出$k_1$；$y_乙$是一次函数，已知x=0时乙班已植树30棵，即过点$(0,30)$，且x=3时$y_乙$与$y_甲$相等，先算出x=3时$y_甲$的值得出交点坐标，再代入$y_乙=k_2x+b$即可求出系数。
(2) 前6h工作效率不变，即甲乙的函数关系不变，将x=8分别代入两个解析式求出对应植树量，求和后和260比较即可判断。
(3) 先算出x=8时甲班总植树量，再表示出乙班前6h的植树总量，设乙班提速后每小时植a棵，则后2h植树2a；“总量相差20棵”分两种情况：①乙班总量比甲班多20棵，②甲班总量比乙班多20棵，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设$y_甲 = k_1 x$，把$(6,120)$代入，得
$120=6k_1$，解得$k_1=20$，
所以$y_甲=20x \quad (0≤ x≤6)$。
当$x=3$时，$y_甲=20×3=60$。
设$y_乙 = k_2 x + b$，把$(0,30)$，$(3,60)$代入，得
$\begin{cases} b=30 \\ 3k_2 + b=60 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=10 \\ b=30 \end{cases}$，
所以$y_乙=10x+30 \quad (0≤ x≤6)$。
(2) 当$x=8$时，
$y_甲=20×8=160$，
$y_乙=10×8+30=110$。
两班植树总量为$160+110=270$棵，
因为$270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3) 设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a - 20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
【答案】
(1) $y_甲=20x\ (0≤x≤6)$，$y_乙=10x+30\ (0≤x≤6)$；
(2) 能超过260棵；
(3) 乙班增加人数后平均每小时植树25棵或45棵。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活植树场景考查一次函数的实际应用，核心是从函数图像中提取有效坐标信息，利用待定系数法求解函数表达式，解题时需注意“相差20棵”存在两种情况，避免漏解，能有效锻炼学生的读图能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式优先用待定系数法：观察图像可知$y_甲$是过原点的正比例函数，设为$y_甲=k_1x$，代入已知点$(6,120)$即可求出$k_1$；$y_乙$是一次函数，已知x=0时乙班已植树30棵，即过点$(0,30)$，且x=3时$y_乙$与$y_甲$相等，先算出x=3时$y_甲$的值得出交点坐标，再代入$y_乙=k_2x+b$即可求出系数。
(2) 前6h工作效率不变，即甲乙的函数关系不变，将x=8分别代入两个解析式求出对应植树量，求和后和260比较即可判断。
(3) 先算出x=8时甲班总植树量，再表示出乙班前6h的植树总量，设乙班提速后每小时植a棵，则后2h植树2a；“总量相差20棵”分两种情况：①乙班总量比甲班多20棵，②甲班总量比乙班多20棵，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设$y_甲 = k_1 x$，把$(6,120)$代入，得
$120=6k_1$，解得$k_1=20$，
所以$y_甲=20x \quad (0≤ x≤6)$。
当$x=3$时，$y_甲=20×3=60$。
设$y_乙 = k_2 x + b$，把$(0,30)$，$(3,60)$代入，得
$\begin{cases} b=30 \\ 3k_2 + b=60 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=10 \\ b=30 \end{cases}$，
所以$y_乙=10x+30 \quad (0≤ x≤6)$。
(2) 当$x=8$时，
$y_甲=20×8=160$，
$y_乙=10×8+30=110$。
两班植树总量为$160+110=270$棵，
因为$270＞260$，
所以当$x=8$时，甲、乙两个班的植树总量能超过260棵。
(3) 设乙班增加人数后平均每小时植树$a$棵。
当乙班比甲班多植树20棵时，
$6×10+30+2a - 20×8=20$，
解得$a=45$。
当甲班比乙班多植树20棵时，
$20×8-(6×10+30+2a)=20$，
解得$a=25$。
【答案】
(1) $y_甲=20x\ (0≤x≤6)$，$y_乙=10x+30\ (0≤x≤6)$；
(2) 能超过260棵；
(3) 乙班增加人数后平均每小时植树25棵或45棵。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活植树场景考查一次函数的实际应用，核心是从函数图像中提取有效坐标信息，利用待定系数法求解函数表达式，解题时需注意“相差20棵”存在两种情况，避免漏解，能有效锻炼学生的读图能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
