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变式训练1 | 如图，已知点A(-2，3)，B(4，3)，C(-1，-3)。
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)若点P在y轴上，则当$△ ABP$的面积为6时，求点P的坐标。
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)若点P在y轴上，则当$△ ABP$的面积为6时，求点P的坐标。
答案
解:(1)因为点 C 的坐标为$(-1,-3)$，$|-3|=3$，
所以点 C 到 x 轴的距离为 3。
(2)因为$A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)$，
所以$AB=4-(-2)=6$，
点 C 到边 AB 的距离为$3-(-3)=6$，
所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3)设点 P 的坐标为$(0,y)$，
因为$△ABP$的面积为 6，$A(-2,3),B(4,3)$，
所以$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
所以$|y-3|=2$，
解得$y=1$或$y=5$，
所以点 P 的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
所以点 C 到 x 轴的距离为 3。
(2)因为$A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)$，
所以$AB=4-(-2)=6$，
点 C 到边 AB 的距离为$3-(-3)=6$，
所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3)设点 P 的坐标为$(0,y)$，
因为$△ABP$的面积为 6，$A(-2,3),B(4,3)$，
所以$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
所以$|y-3|=2$，
解得$y=1$或$y=5$，
所以点 P 的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
解析
【分析】
(1) 求点到x轴的距离，根据坐标的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此只需提取点C的纵坐标计算绝对值即可。
(2) 观察点A和B的坐标，二者纵坐标相等，说明AB是平行于x轴的线段，先通过横坐标差计算AB的长度；再计算点C到AB的竖直距离（即AB的纵坐标与点C纵坐标的差），最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 点P在y轴上，横坐标为0，设坐标为$(0,y)$。△ABP的底AB长度不变，高为点P到直线AB的竖直距离，即$|y-3|$，结合已知面积列方程，解绝对值方程即可得到y的取值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 因为点 C 的坐标为$(-1,-3)$，$|-3|=3$，所以点 C 到 x 轴的距离为 3。
(2) 因为$A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)$，所以$AB=4-(-2)=6$，点 C 到边 AB 的距离为$3-(-3)=6$，所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3) 设点 P 的坐标为$(0,y)$，因为$△ABP$的面积为 6，$A(-2,3),B(4,3)$，所以$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，所以$|y-3|=2$，解得$y=1$或$y=5$，所以点 P 的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$；(3) $\boxed{(0,1)}$或$\boxed{(0,5)}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题关键是掌握平行于坐标轴的线段长度计算方法，结合三角形面积公式列方程求解，第三问要注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求点到x轴的距离，根据坐标的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此只需提取点C的纵坐标计算绝对值即可。
(2) 观察点A和B的坐标，二者纵坐标相等，说明AB是平行于x轴的线段，先通过横坐标差计算AB的长度；再计算点C到AB的竖直距离（即AB的纵坐标与点C纵坐标的差），最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 点P在y轴上，横坐标为0，设坐标为$(0,y)$。△ABP的底AB长度不变，高为点P到直线AB的竖直距离，即$|y-3|$，结合已知面积列方程，解绝对值方程即可得到y的取值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 因为点 C 的坐标为$(-1,-3)$，$|-3|=3$，所以点 C 到 x 轴的距离为 3。
(2) 因为$A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)$，所以$AB=4-(-2)=6$，点 C 到边 AB 的距离为$3-(-3)=6$，所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3) 设点 P 的坐标为$(0,y)$，因为$△ABP$的面积为 6，$A(-2,3),B(4,3)$，所以$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，所以$|y-3|=2$，解得$y=1$或$y=5$，所以点 P 的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$；(3) $\boxed{(0,1)}$或$\boxed{(0,5)}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题关键是掌握平行于坐标轴的线段长度计算方法，结合三角形面积公式列方程求解，第三问要注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
例2 如图,已知等边三角形AOB的一个顶点的坐标为A(2,0),求其余两个顶点的坐标。
[点拨] 本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理和点的坐标的确定。由图可直接得到点O的坐标。作BD⊥OA于点D,根据等边三角形的性质可求出OD,然后根据勾股定理求出BD即可。
[解] 点O的坐标为(0,0)。
如图,过点B作BD⊥OA于点D,
因为点A的坐标为(2,0),
所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形,
所以OB=OA=2,OD=$\frac{1}{2}$OA=1,
所以BD=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$,
所以点B的坐标为(1,$\sqrt{3}$)。
[点拨] 本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理和点的坐标的确定。由图可直接得到点O的坐标。作BD⊥OA于点D,根据等边三角形的性质可求出OD,然后根据勾股定理求出BD即可。
[解] 点O的坐标为(0,0)。
如图,过点B作BD⊥OA于点D,
因为点A的坐标为(2,0),
所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形,
所以OB=OA=2,OD=$\frac{1}{2}$OA=1,
所以BD=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$,
所以点B的坐标为(1,$\sqrt{3}$)。
答案
解：
点O的坐标为(0,0)。
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
因为点A的坐标为(2,0)，
所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形，
所以OB=OA=2，OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得
BD=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
所以点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
综上，其余两个顶点的坐标分别为O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$。
点O的坐标为(0,0)。
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
因为点A的坐标为(2,0)，
所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形，
所以OB=OA=2，OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得
BD=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
所以点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
综上，其余两个顶点的坐标分别为O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$。
解析
【分析】
要解决本题，可分两步推导未知顶点坐标：①首先平面直角坐标系的原点O的坐标固定为(0,0)，可直接得出；②再求点B的坐标，利用等边三角形“三线合一”的性质，过B作OA的垂线，垂足就是OA的中点，即可先得到点B的横坐标，再通过勾股定理计算出垂线段的长度，也就是点B的纵坐标，最终确定点B的坐标。
【解析】
点O的坐标为(0,0)。
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
因为点A的坐标为(2,0)，所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形，所以OB=OA=2，根据等边三角形三线合一的性质，D为OA中点，因此OD=$\frac{1}{2}$OA=1。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
BD=$\sqrt{OB^2 - OD^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$。
点B在第一象限，横坐标等于OD的长度，纵坐标等于BD的长度，所以点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
综上，其余两个顶点的坐标分别为O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；点的坐标确定
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可分两步推导未知顶点坐标：①首先平面直角坐标系的原点O的坐标固定为(0,0)，可直接得出；②再求点B的坐标，利用等边三角形“三线合一”的性质，过B作OA的垂线，垂足就是OA的中点，即可先得到点B的横坐标，再通过勾股定理计算出垂线段的长度，也就是点B的纵坐标，最终确定点B的坐标。
【解析】
点O的坐标为(0,0)。
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
因为点A的坐标为(2,0)，所以OA=2。
因为△AOB是等边三角形，所以OB=OA=2，根据等边三角形三线合一的性质，D为OA中点，因此OD=$\frac{1}{2}$OA=1。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
BD=$\sqrt{OB^2 - OD^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$。
点B在第一象限，横坐标等于OD的长度，纵坐标等于BD的长度，所以点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
综上，其余两个顶点的坐标分别为O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
O(0,0)，B$(1,\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；点的坐标确定
【点评】
本题是几何与坐标系结合的基础题，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
