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10.在一条可以折叠的数轴上，点B表示的数是4。如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边A'处，且点A'与点B之间的距离等于1。
(1)若点C为原点，求点A表示的数；
(2)若点A表示的数为－9，求点B与点C之间的距离。
(1)若点C为原点，求点A表示的数；
(2)若点A表示的数为－9，求点B与点C之间的距离。
答案
解:(1)若点C为原点,且点B表示的数是4,
则$BC=4$。
因为$A'B=1$,
所以$A'C=A'B+BC=1+4=5$。
由题意知,点$A'$表示的数为5,
所以点A表示的数为-5。
(2)因为点A表示的数为-9,
所以点A到原点的距离是9；
因为点B表示的数是4,
所以点B到原点的距离是4。
所以点A与点B之间的距离为$4+9=13$,
所以点B与点C之间的距离为$\frac{13-1}{2}=6$。
则$BC=4$。
因为$A'B=1$,
所以$A'C=A'B+BC=1+4=5$。
由题意知,点$A'$表示的数为5,
所以点A表示的数为-5。
(2)因为点A表示的数为-9,
所以点A到原点的距离是9；
因为点B表示的数是4,
所以点B到原点的距离是4。
所以点A与点B之间的距离为$4+9=13$,
所以点B与点C之间的距离为$\frac{13-1}{2}=6$。
解析
【分析】
本题解题核心是利用数轴折叠的性质：折叠后对应点到折点C的距离相等，即$AC=A'C$，结合数轴上两点间距离的计算方法求解：
(1) 已知C为原点，点B表示4，先计算BC的长度，再根据A'在B右侧且到B的距离为1，算出A'到C的长度，最后利用A和A'关于C对称的特点，得到A表示的数。
(2) 先计算点A(-9)和点B(4)之间的总距离，再结合$A'C=AC$、$A'B=1$的关系，推导得到BC的长度。
【解析】
(1) 若点C为原点，点B表示的数是4，因此$BC=4$。
已知A'与点B的距离为1，且A'在B的右侧，因此$A'C = A'B + BC = 1 + 4 = 5$，即点A'表示的数为5。
由折叠性质可知，点A和点A'关于点C对称，两点到C的距离相等，且A在C左侧，因此点A表示的数为-5。
(2) 已知点A表示的数为-9，点B表示的数为4，因此A、B两点间的距离为$4 - (-9) = 13$。
由折叠性质得$AC = A'C$，又$A'C = BC + A'B = BC +1$，且$AC + BC = AB =13$，代入得：$BC + 1 + BC =13$，解得$BC = \frac{13-1}{2}=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
数轴的应用，折叠的性质，两点间距离计算
【点评】
本题将折叠问题与数轴结合，重点考查对数轴上点的位置和距离关系的理解，解题的关键是抓住折叠前后对应点到折点距离相等这一核心性质，结合数形结合思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是利用数轴折叠的性质：折叠后对应点到折点C的距离相等，即$AC=A'C$，结合数轴上两点间距离的计算方法求解：
(1) 已知C为原点，点B表示4，先计算BC的长度，再根据A'在B右侧且到B的距离为1，算出A'到C的长度，最后利用A和A'关于C对称的特点，得到A表示的数。
(2) 先计算点A(-9)和点B(4)之间的总距离，再结合$A'C=AC$、$A'B=1$的关系，推导得到BC的长度。
【解析】
(1) 若点C为原点，点B表示的数是4，因此$BC=4$。
已知A'与点B的距离为1，且A'在B的右侧，因此$A'C = A'B + BC = 1 + 4 = 5$，即点A'表示的数为5。
由折叠性质可知，点A和点A'关于点C对称，两点到C的距离相等，且A在C左侧，因此点A表示的数为-5。
(2) 已知点A表示的数为-9，点B表示的数为4，因此A、B两点间的距离为$4 - (-9) = 13$。
由折叠性质得$AC = A'C$，又$A'C = BC + A'B = BC +1$，且$AC + BC = AB =13$，代入得：$BC + 1 + BC =13$，解得$BC = \frac{13-1}{2}=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
数轴的应用，折叠的性质，两点间距离计算
【点评】
本题将折叠问题与数轴结合，重点考查对数轴上点的位置和距离关系的理解，解题的关键是抓住折叠前后对应点到折点距离相等这一核心性质，结合数形结合思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.【阅读材料】
对于含绝对值的算式,在有些情况下,不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉。例如：$|7 - 6| = 7 - 6$；$|6 - 7| = 7 - 6$；$\left| \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$；$\left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$。
观察上述式子的特征,解答问题:
【解决问题】
(1)把下列式子写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果):
① $\left| \frac{3}{5} - \frac{3}{7} \right| = \_\_\_\_\_\_$；
② $|3.14 - π| = \_\_\_\_\_\_$。
(2)当$a ＞ b$时，$|a - b| = \_\_\_\_\_\_$；
当$a ＜ b$时，$|a - b| = \_\_\_\_\_\_$。
(3)计算:
$\left| 1 - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right| + \dots + \left| \frac{1}{98} - \frac{1}{99} \right| + \left| \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right|$。
对于含绝对值的算式,在有些情况下,不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉。例如：$|7 - 6| = 7 - 6$；$|6 - 7| = 7 - 6$；$\left| \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$；$\left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$。
观察上述式子的特征,解答问题:
【解决问题】
(1)把下列式子写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果):
① $\left| \frac{3}{5} - \frac{3}{7} \right| = \_\_\_\_\_\_$；
② $|3.14 - π| = \_\_\_\_\_\_$。
(2)当$a ＞ b$时，$|a - b| = \_\_\_\_\_\_$；
当$a ＜ b$时，$|a - b| = \_\_\_\_\_\_$。
(3)计算:
$\left| 1 - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right| + \dots + \left| \frac{1}{98} - \frac{1}{99} \right| + \left| \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right|$。
答案
(1)①$\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$
②$π-3.14$
(2)$a-b$ $b-a$
(3)原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。
②$π-3.14$
(2)$a-b$ $b-a$
(3)原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。
解析
【分析】
解题核心是掌握绝对值的化简性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。思考步骤如下：1. 解决（1）时，先比较绝对值内两个数的大小，判断差值的正负，再根据绝对值性质去掉绝对值符号；2. （2）是规律总结，直接根据a、b的大小关系判断a-b的正负，对应写出化简结果即可；3. （3）先利用前面总结的规律去掉所有绝对值，再观察算式发现中间项可两两抵消，简化计算得出最终结果。
【解析】
(1) ① 先比较大小：$\frac{3}{5}$和$\frac{3}{7}$分子相同，分母越小分数越大，故$\frac{3}{5}＞\frac{3}{7}$，$\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$是正数，因此$\left| \frac{3}{5} - \frac{3}{7} \right|=\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$；
② 已知$π≈3.14159＞3.14$，故$3.14-π$是负数，因此$|3.14 - π|=π-3.14$。
(2) 当$a＞b$时，$a-b＞0$，正数的绝对值是它本身，故$|a - b|=a-b$；
当$a＜b$时，$a-b＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|a - b|=-(a-b)=b-a$。
(3) 观察每个绝对值内的两个数：分子相同的正分数，分母越小分数越大，因此每个绝对值内的差值均为正数，去绝对值得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
观察算式可知，中间相邻的正负项两两抵消，仅剩首项和末项，即：
原式$=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
(1)①$\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$；②$π-3.14$
(2)$a-b$；$b-a$
(3)$\frac{99}{100}$
【知识点】
绝对值的化简；有理数大小比较；分数简便运算
【点评】
本题先通过示例引导学生总结去绝对值的通用规律，再将规律应用到简便计算中，重点考查学生的规律归纳能力和运算能力，掌握判断绝对值内式子正负的方法是解题关键，抵消中间项的技巧在分数运算中十分常用。
【难度系数】
0.8
解题核心是掌握绝对值的化简性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。思考步骤如下：1. 解决（1）时，先比较绝对值内两个数的大小，判断差值的正负，再根据绝对值性质去掉绝对值符号；2. （2）是规律总结，直接根据a、b的大小关系判断a-b的正负，对应写出化简结果即可；3. （3）先利用前面总结的规律去掉所有绝对值，再观察算式发现中间项可两两抵消，简化计算得出最终结果。
【解析】
(1) ① 先比较大小：$\frac{3}{5}$和$\frac{3}{7}$分子相同，分母越小分数越大，故$\frac{3}{5}＞\frac{3}{7}$，$\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$是正数，因此$\left| \frac{3}{5} - \frac{3}{7} \right|=\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$；
② 已知$π≈3.14159＞3.14$，故$3.14-π$是负数，因此$|3.14 - π|=π-3.14$。
(2) 当$a＞b$时，$a-b＞0$，正数的绝对值是它本身，故$|a - b|=a-b$；
当$a＜b$时，$a-b＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|a - b|=-(a-b)=b-a$。
(3) 观察每个绝对值内的两个数：分子相同的正分数，分母越小分数越大，因此每个绝对值内的差值均为正数，去绝对值得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
观察算式可知，中间相邻的正负项两两抵消，仅剩首项和末项，即：
原式$=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
(1)①$\frac{3}{5}-\frac{3}{7}$；②$π-3.14$
(2)$a-b$；$b-a$
(3)$\frac{99}{100}$
【知识点】
绝对值的化简；有理数大小比较；分数简便运算
【点评】
本题先通过示例引导学生总结去绝对值的通用规律，再将规律应用到简便计算中，重点考查学生的规律归纳能力和运算能力，掌握判断绝对值内式子正负的方法是解题关键，抵消中间项的技巧在分数运算中十分常用。
【难度系数】
0.8
