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12. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF. 求证AE=AF.
答案
12. 证明：
∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF．
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC．在△OAE和△OCF中，
∵∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)，
∴OE=OF．
∵AC⊥EF，
∴AC是线段EF的垂直平分线，
∴AE=AF.
∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF．
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC．在△OAE和△OCF中，
∵∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)，
∴OE=OF．
∵AC⊥EF，
∴AC是线段EF的垂直平分线，
∴AE=AF.
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=40°$.
(1)尺规作图：
①作边$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$；
②连接$AD$，作$∠ CAD$的平分线交$BC$于点$E$.（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在(1)所作的图中，求$∠ DAE$的度数.
(1)尺规作图：
①作边$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$；
②连接$AD$，作$∠ CAD$的平分线交$BC$于点$E$.（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在(1)所作的图中，求$∠ DAE$的度数.
答案
13. (1)如图所示
(2)如图，设AB的垂直平分线交AB于点F．∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=30°．
∵∠C=40°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−30°=80°．
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=1/2∠CAD=40°.
14. 如图，已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，$BE$是$∠ ABC$的平分线，$DE⊥ BC$，垂足为$D$。
(1)请判断$AD$与$BE$是否垂直，并说明理由；
(2)如果$BC=10$，求$△ DEC$的周长。
(1)请判断$AD$与$BE$是否垂直，并说明理由；
(2)如果$BC=10$，求$△ DEC$的周长。
答案
14. (1)AD⊥BE．理由如下：
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE．
∵DE⊥BC，
∴∠BAE=∠BDE=90°，AE=DE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A，D是对称点，
∴AD⊥BE.
(2)△DEC的周长为10.
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE．
∵DE⊥BC，
∴∠BAE=∠BDE=90°，AE=DE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A，D是对称点，
∴AD⊥BE.
(2)△DEC的周长为10.
