知识点 平行四边形的判定
一组对边的四边形是平行四边形。

平行且相等

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的判定定理，思考与一组对边相关的判定要求：若只有一组对边平行，可能是梯形，无法判定为平行四边形；若只有一组对边相等，可能是不规则四边形，也无法判定为平行四边形，因此需要同时满足位置关系（平行）和数量关系（相等）两个条件，才能判定该四边形为平行四边形。
【解析】
根据平行四边形的判定定理可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此空缺处应填入“平行且相等”。
【答案】
平行且相等
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，直接考查对平行四边形判定定理的记忆掌握情况，只要准确牢记各判定定理的条件即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9

例1 如图,点A,F,C,D在同一条直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且$AB=DE$,$∠A=∠D$,$AF=DC$。求证:四边形BCEF是平行四边形。

[点拨] 平行四边形的判定定理是“一组对边平行且相等”,而不是“一组对边平行,另一组对边相等”。
[证明] $\because AF=DC$,
$\therefore AF+FC=DC+FC$,
即 $AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中,
$\begin{cases}AC=DF, \\∠A=∠D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BC=EF,∠ACB=∠DFE$,
$\therefore BC // EF$,
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形。

证明：
$\because AF=DC$，
$\therefore AF+FC=DC+FC$，
即 $AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC=DF, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BC=EF$，$∠ ACB=∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$，
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形。

【分析】
要证明四边形BCEF是平行四边形，可优先考虑证明它的一组对边平行且相等。首先由已知AF=DC，在等式两边同时加上公共线段FC，可推得AC=DF；结合已知的AB=DE、∠A=∠D，可通过SAS判定定理证明△ABC≌△DEF；再利用全等三角形的性质得到BC=EF，且对应角∠ACB=∠DFE，由内错角相等可推出BC//EF，此时BC与EF满足平行且相等的关系，即可判定四边形BCEF是平行四边形。
【解析】
证明：
$\because AF=DC$，
$\therefore AF+FC=DC+FC$，
即 $AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC=DF, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BC=EF$，$∠ ACB=∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$，
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形。
【答案】
证明：
$\because AF=DC$，
$\therefore AF+FC=DC+FC$，
即 $AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC=DF, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BC=EF$，$∠ ACB=∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$，
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是先通过线段和差关系得到全等三角形的判定条件，再借助全等的性质得到平行四边形判定所需的边的位置与数量关系，是平行四边形判定类的典型常考题。
【难度系数】
0.7

变式训练1 | 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是 （）


A.AB=CD
B.BC//AD
C.∠A=∠C
D.BC=AD

D

【分析】
已知四边形ABCD中AB//CD，解题时需结合平行四边形的判定定理，逐一验证每个选项添加后能否判定该四边形为平行四边形，最终选出无法判定的错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若添加AB=CD，已知AB//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，该选项不符合题意；
B. 若添加BC//AD，此时AB//CD、BC//AD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，该选项不符合题意；
C. 若添加∠A=∠C，因为AB//CD，所以∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），结合∠A=∠C可得∠C+∠D=180°，由此推出AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），此时两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形，该选项不符合题意；
D. 若添加BC=AD，一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法判定一定是平行四边形，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的各类判定定理，注意不要混淆“一组对边平行且相等”和“一组对边平行另一组对边相等”的判定差异，避免错判。
【难度系数】
0.7

例2 如图，在$□ ABCD$中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且$BE=DF$。连接AF，交BC于点H，连接EC。求证：四边形EAFC是平行四边形。

[点拨] 由平行四边形的性质得到$AB=CD$，$AB// CD$，则可证明$AE=CF$，据此可证明结论。
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∵$BE=DF$，
∴$BE-AB=DF-CD$，即$AE=CF$。
又∵$AE// CF$，
∴四边形EAFC是平行四边形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$。
∵ 点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，
∴ $AE// CF$。
又∵ $BE=DF$，
∴ $BE-AB=DF-CD$，即 $AE=CF$。
∵ $AE// CF$且$AE=CF$，
∴ 四边形EAFC是平行四边形。

【分析】
要证明四边形EAFC是平行四边形，可优先选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等；由于E、F分别在BA、DC的延长线上，可直接推出AE与CF互相平行；再结合已知条件BE=DF，通过线段的和差运算推导得到AE=CF，此时已满足一组对边平行且相等的判定条件，即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$。
∵ 点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，
∴ $AE// CF$。
又
∵ $BE=DF$，
∴ $BE-AB=DF-CD$，即 $AE=CF$。
∵ $AE// CF$且$AE=CF$，
∴ 四边形EAFC是平行四边形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$。
∵ 点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，
∴ $AE// CF$。
又
∵ $BE=DF$，
∴ $BE-AB=DF-CD$，即 $AE=CF$。
∵ $AE// CF$且$AE=CF$，
∴ 四边形EAFC是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，解题核心是灵活利用平行四边形对边的性质推导待证四边形的对边关系，熟练掌握平行四边形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8