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1. 学校田径队要选拔实心球男运动员，成绩达到校队标准的才可以进入校队。如图，李老师用一条与校队标准等长的绳子固定在点O处画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的 性质。
答案
1. 同一个圆中所有半径都相等
解析
【分析】
我们可以结合圆的定义和特征来思考本题：固定点O就是圆的圆心，和校队标准等长的绳子就是圆的半径，用这根绳子绕O点画出的弧线是圆的一部分。根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此这条弧线上所有点到O的距离都等于校队标准的长度，以此为依据就能快速判断实心球落点是否达标，这个筛选方法用到的就是圆的半径相关性质。
【解析】
解：将固定点O看作圆心，和校队标准等长的绳子长度就是圆的半径，根据圆的性质：同一个圆中所有的半径长度都相等，因此画出的弧上任意一点到O点的距离都等于校队标准的长度，可快速筛选出达标运动员。
【答案】
同一个圆中所有半径都相等
【知识点】
圆的基本性质，半径的特征
【点评】
这道题将数学知识和生活中的体育选拔场景结合，考查对圆的基础性质的理解与实际应用能力，能让学生体会到数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
我们可以结合圆的定义和特征来思考本题：固定点O就是圆的圆心，和校队标准等长的绳子就是圆的半径，用这根绳子绕O点画出的弧线是圆的一部分。根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此这条弧线上所有点到O的距离都等于校队标准的长度，以此为依据就能快速判断实心球落点是否达标，这个筛选方法用到的就是圆的半径相关性质。
【解析】
解：将固定点O看作圆心，和校队标准等长的绳子长度就是圆的半径，根据圆的性质：同一个圆中所有的半径长度都相等，因此画出的弧上任意一点到O点的距离都等于校队标准的长度，可快速筛选出达标运动员。
【答案】
同一个圆中所有半径都相等
【知识点】
圆的基本性质，半径的特征
【点评】
这道题将数学知识和生活中的体育选拔场景结合，考查对圆的基础性质的理解与实际应用能力，能让学生体会到数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
2. 学校劳动基地有一块直径10米的圆形菜地。如果给菜地围上一圈栅栏，栅栏长（
10π
）米，这块菜地的面积是（25π
）平方米。答案
2. 10π；25π
解析
【分析】
这道题需要分别计算圆形菜地的周长和面积。首先，围一圈栅栏的长度对应圆的周长，已知圆的直径，可直接用圆的周长公式计算；其次，菜地的占地面积对应圆的面积，先通过直径求出半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算栅栏长度（即圆的周长）：
已知圆形菜地的直径$d=10$米，圆的周长公式为$ C=π d $，代入数据得：
$ C=π×10=10π $（米）
2. 计算菜地面积（即圆的面积）：
先求圆的半径：$ r=d÷2=10÷2=5 $（米）
圆的面积公式为$ S=π r^2 $，代入数据得：
$ S=π×5^2=25π $（平方米）
【答案】
10π；25π
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于圆的周长和面积公式的基础应用，解题的关键是准确判断所求量对应的是圆的哪个属性，熟记公式后代入对应数据计算即可。
【难度系数】
0.9
这道题需要分别计算圆形菜地的周长和面积。首先，围一圈栅栏的长度对应圆的周长，已知圆的直径，可直接用圆的周长公式计算；其次，菜地的占地面积对应圆的面积，先通过直径求出半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算栅栏长度（即圆的周长）：
已知圆形菜地的直径$d=10$米，圆的周长公式为$ C=π d $，代入数据得：
$ C=π×10=10π $（米）
2. 计算菜地面积（即圆的面积）：
先求圆的半径：$ r=d÷2=10÷2=5 $（米）
圆的面积公式为$ S=π r^2 $，代入数据得：
$ S=π×5^2=25π $（平方米）
【答案】
10π；25π
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于圆的周长和面积公式的基础应用，解题的关键是准确判断所求量对应的是圆的哪个属性，熟记公式后代入对应数据计算即可。
【难度系数】
0.9
3. (1) 如右图，明明用尺规画了一个半圆，这个半圆的周长是(
(2) 丽丽打算用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应是(
2π+4
)厘米。(2) 丽丽打算用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应是(
3
)厘米。答案
3. (1) 2π+4 (2) 3
解析
【分析】
第(1)题：首先观察直尺确定圆规两脚的间距，也就是半圆的半径。需牢记半圆的周长由两部分组成：圆周长的一半加上直径的长度，不要误把圆周长的一半当成半圆周长。第(2)题：圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，已知圆的周长，根据圆的周长公式变形就可以求出半径。
【解析】
(1) 先计算半圆的半径：圆规两脚分别对齐直尺的2cm和4cm刻度，因此半径 $ r = 4 - 2 = 2\mathrm{cm} $。
半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，代入数值：
$ \mathrm{半圆周长} = π r + 2r = π × 2 + 2 × 2 = 2π + 4 $（厘米）。
(2) 圆规两脚间的距离为圆的半径，已知圆的周长 $ C=18.84 $ 厘米，根据圆的周长公式 $ C=2π r $（$ π $ 取3.14），变形得：
$ r = C ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3 $（厘米）。
【答案】
(1) $ 2π+4 $；(2) 3
【知识点】
半圆的周长计算；圆的周长公式应用
【点评】
本题考查圆相关的周长计算，易错点是计算半圆周长时遗漏直径部分，同时要明确圆规画圆时，两脚的间距等于所画圆的半径，掌握周长公式的灵活变形是解题的基础。
【难度系数】
0.7
第(1)题：首先观察直尺确定圆规两脚的间距，也就是半圆的半径。需牢记半圆的周长由两部分组成：圆周长的一半加上直径的长度，不要误把圆周长的一半当成半圆周长。第(2)题：圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，已知圆的周长，根据圆的周长公式变形就可以求出半径。
【解析】
(1) 先计算半圆的半径：圆规两脚分别对齐直尺的2cm和4cm刻度，因此半径 $ r = 4 - 2 = 2\mathrm{cm} $。
半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，代入数值：
$ \mathrm{半圆周长} = π r + 2r = π × 2 + 2 × 2 = 2π + 4 $（厘米）。
(2) 圆规两脚间的距离为圆的半径，已知圆的周长 $ C=18.84 $ 厘米，根据圆的周长公式 $ C=2π r $（$ π $ 取3.14），变形得：
$ r = C ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3 $（厘米）。
【答案】
(1) $ 2π+4 $；(2) 3
【知识点】
半圆的周长计算；圆的周长公式应用
【点评】
本题考查圆相关的周长计算，易错点是计算半圆周长时遗漏直径部分，同时要明确圆规画圆时，两脚的间距等于所画圆的半径，掌握周长公式的灵活变形是解题的基础。
【难度系数】
0.7
4. 如图，文文把一张圆形纸连续对折三次，得到一个扇形，此时这个扇形的圆心角是（
45
）°。量得这个扇形的弧长是1.57厘米，那么圆形纸片的直径是（4
）厘米。答案
4. 45；4
解析
【分析】
首先解决圆心角问题：圆形的初始圆心角为360°，每对折一次，得到的扇形圆心角就是对折前的1/2，连续对折三次，只需将360°连续除以3次2即可得到最终扇形的圆心角。
然后解决直径问题：先通过扇形圆心角占360°的比例，得出扇形弧长占整个圆周长的占比，结合已知弧长求出圆的总周长，再根据圆的周长公式C=πd，倒推计算出圆形纸片的直径。
【解析】
1. 计算扇形圆心角：
圆形圆心角为360°，连续对折三次后，圆心角为：
$360°÷2÷2÷2=45°$
2. 计算圆形纸片直径：
扇形圆心角占整个圆圆心角的比例为：$45°÷360°=\frac{1}{8}$，即扇形弧长是圆周长的$\frac{1}{8}$。
圆的周长为：$1.57×8=12.56$（厘米）
根据圆的周长公式$C=πd$（π取3.14），可得直径：
$d=12.56÷3.14=4$（厘米）
【答案】
45；4
【知识点】
扇形的认识，圆的周长计算
【点评】
本题结合操作类场景考查扇形和圆的相关知识，需要理解对折操作对圆心角的影响，理清弧长和圆周长的关系，能灵活运用圆的周长公式进行计算。
【难度系数】
0.7
首先解决圆心角问题：圆形的初始圆心角为360°，每对折一次，得到的扇形圆心角就是对折前的1/2，连续对折三次，只需将360°连续除以3次2即可得到最终扇形的圆心角。
然后解决直径问题：先通过扇形圆心角占360°的比例，得出扇形弧长占整个圆周长的占比，结合已知弧长求出圆的总周长，再根据圆的周长公式C=πd，倒推计算出圆形纸片的直径。
【解析】
1. 计算扇形圆心角：
圆形圆心角为360°，连续对折三次后，圆心角为：
$360°÷2÷2÷2=45°$
2. 计算圆形纸片直径：
扇形圆心角占整个圆圆心角的比例为：$45°÷360°=\frac{1}{8}$，即扇形弧长是圆周长的$\frac{1}{8}$。
圆的周长为：$1.57×8=12.56$（厘米）
根据圆的周长公式$C=πd$（π取3.14），可得直径：
$d=12.56÷3.14=4$（厘米）
【答案】
45；4
【知识点】
扇形的认识，圆的周长计算
【点评】
本题结合操作类场景考查扇形和圆的相关知识，需要理解对折操作对圆心角的影响，理清弧长和圆周长的关系，能灵活运用圆的周长公式进行计算。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的（
3
）倍，面积扩大到原来的（9
）倍。答案
5. 3；9
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的周长和面积计算公式，我们可以先设原来圆的半径为r，再写出半径扩大3倍后的新半径，分别代入公式计算出扩大前后的周长、面积，最后用扩大后的数值除以原来的数值，就能得到扩大的倍数。
【解析】
设原来圆的半径为r，则：
原来圆的周长：$ C_原=2π r $
原来圆的面积：$ S_原=π r^2 $
半径扩大到原来的3倍后，新半径$ r_新=3r $
新的周长：$ C_新=2π × 3r = 6π r $
周长扩大的倍数：$ 6π r ÷ 2π r = 3 $
新的面积：$ S_新=π × (3r)^2 = π × 9r^2 = 9π r^2 $
面积扩大的倍数：$ 9π r^2 ÷ π r^2 =9 $
【答案】
3；9
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；积的变化规律
【点评】
本题考查圆的周长、面积随半径变化的规律，记住结论：圆的半径扩大到原来的n倍，周长也扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n²倍，可快速解答此类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的周长和面积计算公式，我们可以先设原来圆的半径为r，再写出半径扩大3倍后的新半径，分别代入公式计算出扩大前后的周长、面积，最后用扩大后的数值除以原来的数值，就能得到扩大的倍数。
【解析】
设原来圆的半径为r，则：
原来圆的周长：$ C_原=2π r $
原来圆的面积：$ S_原=π r^2 $
半径扩大到原来的3倍后，新半径$ r_新=3r $
新的周长：$ C_新=2π × 3r = 6π r $
周长扩大的倍数：$ 6π r ÷ 2π r = 3 $
新的面积：$ S_新=π × (3r)^2 = π × 9r^2 = 9π r^2 $
面积扩大的倍数：$ 9π r^2 ÷ π r^2 =9 $
【答案】
3；9
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；积的变化规律
【点评】
本题考查圆的周长、面积随半径变化的规律，记住结论：圆的半径扩大到原来的n倍，周长也扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n²倍，可快速解答此类题目。
【难度系数】
0.8
6. 一根铁丝正好围成一个直径是4厘米的圆。如果用这根铁丝改围成一个正方形，那么正方形的边长是(
π
)厘米。答案
6. π
解析
【分析】
解题的核心是抓住铁丝的总长度不变，也就是围成的圆的周长和后续围成的正方形的周长相等。第一步先根据圆的周长公式算出铁丝的总长度，第二步利用正方形周长和边长的关系，用总长度除以4即可得到正方形的边长。
【解析】
1. 计算铁丝的总长度：铁丝围成的圆直径是4厘米，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），可得铁丝总长为：$π×4=4π$厘米。
2. 计算正方形的边长：铁丝改围正方形，说明正方形周长为$4π$厘米，根据正方形周长公式$C=4a$（$a$为正方形边长），可得边长为：$4π÷4=π$厘米。
【答案】
π
【知识点】
圆的周长计算、正方形周长计算、等周长转化
【点评】
本题重点考查不同图形间的周长转化应用，只要抓住前后铁丝长度不变的核心条件，代入对应图形的周长公式计算即可，易错点是混淆圆的周长公式或计算时出现疏漏。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住铁丝的总长度不变，也就是围成的圆的周长和后续围成的正方形的周长相等。第一步先根据圆的周长公式算出铁丝的总长度，第二步利用正方形周长和边长的关系，用总长度除以4即可得到正方形的边长。
【解析】
1. 计算铁丝的总长度：铁丝围成的圆直径是4厘米，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），可得铁丝总长为：$π×4=4π$厘米。
2. 计算正方形的边长：铁丝改围正方形，说明正方形周长为$4π$厘米，根据正方形周长公式$C=4a$（$a$为正方形边长），可得边长为：$4π÷4=π$厘米。
【答案】
π
【知识点】
圆的周长计算、正方形周长计算、等周长转化
【点评】
本题重点考查不同图形间的周长转化应用，只要抓住前后铁丝长度不变的核心条件，代入对应图形的周长公式计算即可，易错点是混淆圆的周长公式或计算时出现疏漏。
【难度系数】
0.7
7. 我国魏晋时期数学家刘徽采用“割圆术”求出了较为精确的圆周率的值，他是用圆内接正多边形来逐步逼近圆的。当圆内接正多边形的边数增加时，下面说法正确的是(
A.正多边形的周长会减小
B.正多边形与圆的面积差会增加
C.正多边形的边长会增大
D.正多边形的面积越接近圆的面积
D
)。A.正多边形的周长会减小
B.正多边形与圆的面积差会增加
C.正多边形的边长会增大
D.正多边形的面积越接近圆的面积
答案
7. D
解析
【分析】
首先我们要明确割圆术的核心规律：同一个圆的内接正多边形，边数不断增加时，正多边形的形状会越来越接近圆。接下来结合这个规律逐个判断选项：①周长方面：正多边形原本的周长小于圆周长，越接近圆，周长越接近圆周长，是逐渐变大的；②面积方面：正多边形原本的面积小于圆面积，越接近圆，两者的面积差越小，正多边形面积越接近圆面积；③边长方面：边数变多的情况下，正多边形总周长接近固定的圆周长，平均每条边的长度会越来越小。结合以上规律就能排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆内接正多边形边数增加时，正多边形更接近圆，周长逐渐接近圆的周长，呈增大趋势，因此A错误；
B. 正多边形越接近圆，它和圆的面积差会越来越小，不会增加，因此B错误；
C. 同一个圆内，正多边形边数越多，每条边的长度越小，因此C错误；
D. 正多边形边数越多，形状越贴近圆，面积就越接近圆的面积，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
割圆术原理、圆与正多边形的关系
【点评】
本题结合我国古代数学成就“割圆术”设置，核心考查圆内接正多边形边数增加时逐步逼近圆的规律，掌握该规律即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确割圆术的核心规律：同一个圆的内接正多边形，边数不断增加时，正多边形的形状会越来越接近圆。接下来结合这个规律逐个判断选项：①周长方面：正多边形原本的周长小于圆周长，越接近圆，周长越接近圆周长，是逐渐变大的；②面积方面：正多边形原本的面积小于圆面积，越接近圆，两者的面积差越小，正多边形面积越接近圆面积；③边长方面：边数变多的情况下，正多边形总周长接近固定的圆周长，平均每条边的长度会越来越小。结合以上规律就能排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆内接正多边形边数增加时，正多边形更接近圆，周长逐渐接近圆的周长，呈增大趋势，因此A错误；
B. 正多边形越接近圆，它和圆的面积差会越来越小，不会增加，因此B错误；
C. 同一个圆内，正多边形边数越多，每条边的长度越小，因此C错误；
D. 正多边形边数越多，形状越贴近圆，面积就越接近圆的面积，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
割圆术原理、圆与正多边形的关系
【点评】
本题结合我国古代数学成就“割圆术”设置，核心考查圆内接正多边形边数增加时逐步逼近圆的规律，掌握该规律即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
8. 田田在推导圆面积计算公式时，把圆转化成了近似的平行四边形、三角形和梯形。如果用r表示圆的半径，下面推导过程中，所标数据正确的是（
B
）。答案
8. B
解析
【分析】
解题核心思路是：将圆平均分成若干等份的小扇形后，拼成的近似图形（平行四边形、三角形、梯形）的面积与原圆面积相等，原圆面积为$π r^2$。我们只需要利用对应图形的面积公式，分别计算四个选项中转化后图形的面积，和$π r^2$对比，相等的即为正确选项。
【解析】
已知圆的面积为$π r^2$，分别计算各选项图形面积：
1. 选项A：近似平行四边形，面积=底×高=$2π r × r=2π r^2$，不等于圆面积，错误。
2. 选项B：近似三角形，面积=底×高÷2=$\frac{1}{2}π r × 4r ÷ 2=π r^2$，和圆面积相等，符合要求。
3. 选项C：近似平行四边形，面积=底×高=$π r × 2r=2π r^2$，不等于圆面积，错误。
4. 选项D：近似梯形，面积=（上底+下底）×高÷2=$(\frac{3}{16}π r+\frac{5}{16}π r) × 2r ÷ 2=\frac{1}{2}π r^2$，不等于圆面积，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆面积推导，平面图形面积计算
【点评】
本题考查圆面积推导中转化思想的应用，需要学生熟练掌握常见平面图形的面积公式，抓住“转化前后面积不变”的特点验证推导过程，能帮助学生加深对圆面积公式来源的理解。
【难度系数】
0.7
解题核心思路是：将圆平均分成若干等份的小扇形后，拼成的近似图形（平行四边形、三角形、梯形）的面积与原圆面积相等，原圆面积为$π r^2$。我们只需要利用对应图形的面积公式，分别计算四个选项中转化后图形的面积，和$π r^2$对比，相等的即为正确选项。
【解析】
已知圆的面积为$π r^2$，分别计算各选项图形面积：
1. 选项A：近似平行四边形，面积=底×高=$2π r × r=2π r^2$，不等于圆面积，错误。
2. 选项B：近似三角形，面积=底×高÷2=$\frac{1}{2}π r × 4r ÷ 2=π r^2$，和圆面积相等，符合要求。
3. 选项C：近似平行四边形，面积=底×高=$π r × 2r=2π r^2$，不等于圆面积，错误。
4. 选项D：近似梯形，面积=（上底+下底）×高÷2=$(\frac{3}{16}π r+\frac{5}{16}π r) × 2r ÷ 2=\frac{1}{2}π r^2$，不等于圆面积，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆面积推导，平面图形面积计算
【点评】
本题考查圆面积推导中转化思想的应用，需要学生熟练掌握常见平面图形的面积公式，抓住“转化前后面积不变”的特点验证推导过程，能帮助学生加深对圆面积公式来源的理解。
【难度系数】
0.7
