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10. (★★)把多项式$(x+y)^2 -12(x+y)+36$分解因式正确的是 【 】
A.$(x+y-6)^2$
B.$(x+y+6)^2$
C.$(x-y-6)^2$
D.$(x-y+6)^2$
A.$(x+y-6)^2$
B.$(x+y+6)^2$
C.$(x-y-6)^2$
D.$(x-y+6)^2$
答案
A
解析
【分析】
观察多项式的结构，发现(x+y)作为整体重复出现，可先将(x+y)看作一个整体，再对照完全平方差公式的结构特征$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，判断该多项式符合完全平方式，代入公式分解即可。
【解析】
解：设$a = x+y$，则原式可改写为：
$a^2 - 12a + 36$
根据完全平方差公式，$a^2 - 2× a×6 + 6^2 = (a-6)^2$
将$a = x+y$代回，得原式$=(x+y - 6)^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式因式分解；整体思想
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会把重复出现的代数式当作整体处理，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
观察多项式的结构，发现(x+y)作为整体重复出现，可先将(x+y)看作一个整体，再对照完全平方差公式的结构特征$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，判断该多项式符合完全平方式，代入公式分解即可。
【解析】
解：设$a = x+y$，则原式可改写为：
$a^2 - 12a + 36$
根据完全平方差公式，$a^2 - 2× a×6 + 6^2 = (a-6)^2$
将$a = x+y$代回，得原式$=(x+y - 6)^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式因式分解；整体思想
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会把重复出现的代数式当作整体处理，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
11. (★★)分解因式：
(1)$\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{9}n^2 =$；
(2)$1 + 4(x + y) + 4(x + y)^2 =$.
(1)$\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{9}n^2 =$；
(2)$1 + 4(x + y) + 4(x + y)^2 =$.
答案
解：
(1) 原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - 2· \frac{1}{2}m · \frac{1}{3}n + (\frac{1}{3}n)^2$
$=(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n)^2$
(2) 原式$=1^2 + 2· 1· 2(x+y) + [2(x+y)]^2$
$=[1 + 2(x+y)]^2$
$=(2x + 2y + 1)^2$
(1) 原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - 2· \frac{1}{2}m · \frac{1}{3}n + (\frac{1}{3}n)^2$
$=(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n)^2$
(2) 原式$=1^2 + 2· 1· 2(x+y) + [2(x+y)]^2$
$=[1 + 2(x+y)]^2$
$=(2x + 2y + 1)^2$
解析
【分析】
本题考查用完全平方公式分解因式，解题时先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，核心是找到式子中对应$a$、$b$的部分。(1)先观察三项特征：首项是$(\frac{1}{2}m)^2$，尾项是$(\frac{1}{3}n)^2$，中间项恰好是两个底数乘积的2倍的相反数，符合差的完全平方结构，可直接套用公式；(2)将$(x+y)$看作一个整体，首项是$1^2$，尾项是$[2(x+y)]^2$，中间项是1和$2(x+y)$乘积的2倍，符合和的完全平方结构，套用公式后再化简整理即可。
【解析】
(1) 先将原式变形为完全平方差的标准结构：
原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - 2· \frac{1}{2}m · \frac{1}{3}n + (\frac{1}{3}n)^2$
根据完全平方差公式计算得：
$=(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n)^2$
(2) 把$(x+y)$看作整体，将原式变形为完全平方和的标准结构：
原式$=1^2 + 2· 1· 2(x+y) + [2(x+y)]^2$
根据完全平方和公式计算得：
$=[1 + 2(x+y)]^2$
去括号整理得：
$=(2x + 2y + 1)^2$
【答案】
(1)$( \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n )^2$；(2)$(2x + 2y + 1)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要准确识别公式中“$a$”“$b$”对应的代数式，遇到重复出现的多项式部分可利用整体思想简化判断，分解后注意检查结果是否最简。
【难度系数】
0.8
本题考查用完全平方公式分解因式，解题时先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，核心是找到式子中对应$a$、$b$的部分。(1)先观察三项特征：首项是$(\frac{1}{2}m)^2$，尾项是$(\frac{1}{3}n)^2$，中间项恰好是两个底数乘积的2倍的相反数，符合差的完全平方结构，可直接套用公式；(2)将$(x+y)$看作一个整体，首项是$1^2$，尾项是$[2(x+y)]^2$，中间项是1和$2(x+y)$乘积的2倍，符合和的完全平方结构，套用公式后再化简整理即可。
【解析】
(1) 先将原式变形为完全平方差的标准结构：
原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - 2· \frac{1}{2}m · \frac{1}{3}n + (\frac{1}{3}n)^2$
根据完全平方差公式计算得：
$=(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n)^2$
(2) 把$(x+y)$看作整体，将原式变形为完全平方和的标准结构：
原式$=1^2 + 2· 1· 2(x+y) + [2(x+y)]^2$
根据完全平方和公式计算得：
$=[1 + 2(x+y)]^2$
去括号整理得：
$=(2x + 2y + 1)^2$
【答案】
(1)$( \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n )^2$；(2)$(2x + 2y + 1)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要准确识别公式中“$a$”“$b$”对应的代数式，遇到重复出现的多项式部分可利用整体思想简化判断，分解后注意检查结果是否最简。
【难度系数】
0.8
12. (★★)已知$x^2 -2x +1 + |x - y +3| =0$，则$x=$，$y=$.
答案
解：
对已知等式变形，由完全平方公式得：
$(x-1)^2 + |x - y + 3| = 0$
因为$(x-1)^2 ≥ 0$，$|x - y + 3| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
将$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$。
则$x=\boldsymbol{1}$，$y=\boldsymbol{4}$。
对已知等式变形，由完全平方公式得：
$(x-1)^2 + |x - y + 3| = 0$
因为$(x-1)^2 ≥ 0$，$|x - y + 3| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
将$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$。
则$x=\boldsymbol{1}$，$y=\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，等式左侧的多项式$x^2-2x+1$符合完全平方公式的形式，可先利用完全平方公式将其转化为平方的形式；再结合平方和绝对值都属于非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，即可得到关于x、y的方程组，解方程组即可求出x和y的值。
【解析】
对已知等式变形，由完全平方公式得：
$(x-1)^2 + |x - y + 3| = 0$
因为$(x-1)^2 ≥ 0$，$|x - y + 3| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
将$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$。
【答案】
$1$；$4$
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，以及非负数的和为0时每个非负数均为0的性质，计算量小，只要掌握相关知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式的结构，等式左侧的多项式$x^2-2x+1$符合完全平方公式的形式，可先利用完全平方公式将其转化为平方的形式；再结合平方和绝对值都属于非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，即可得到关于x、y的方程组，解方程组即可求出x和y的值。
【解析】
对已知等式变形，由完全平方公式得：
$(x-1)^2 + |x - y + 3| = 0$
因为$(x-1)^2 ≥ 0$，$|x - y + 3| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}x - 1 = 0 \\x - y + 3 = 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
将$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$。
【答案】
$1$；$4$
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，以及非负数的和为0时每个非负数均为0的性质，计算量小，只要掌握相关知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13. (★★)分解因式：
(1)$x^2y^2 - 2xy + 1$；
(2)$(m-n)^2 + 6(n-m) + 9$；
(3)$m(m-4) + 4$。
(1)$x^2y^2 - 2xy + 1$；
(2)$(m-n)^2 + 6(n-m) + 9$；
(3)$m(m-4) + 4$。
答案
解：
(1) 原式$=(xy)^2 - 2· xy · 1 + 1^2$
$=(xy-1)^2$
(2) 原式$=(m-n)^2 -6(m-n) +9$
$=(m-n)^2 - 2· (m-n) · 3 + 3^2$
$=[(m-n)-3]^2$
$=(m-n-3)^2$
(3) 原式$=m^2 -4m +4$
$=m^2 - 2· m · 2 + 2^2$
$=(m-2)^2$
(1) 原式$=(xy)^2 - 2· xy · 1 + 1^2$
$=(xy-1)^2$
(2) 原式$=(m-n)^2 -6(m-n) +9$
$=(m-n)^2 - 2· (m-n) · 3 + 3^2$
$=[(m-n)-3]^2$
$=(m-n-3)^2$
(3) 原式$=m^2 -4m +4$
$=m^2 - 2· m · 2 + 2^2$
$=(m-2)^2$
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式分解因式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足式子有两个同号的平方项，还有一个是两底数乘积的2倍的项。解题思路如下：
(1) 观察式子可将$xy$看作整体，$x^2y^2=(xy)^2$，$1=1^2$，中间项$-2xy=-2· xy·1$，刚好符合完全平方差公式结构，可直接套用公式；
(2) 式子中$(m-n)$与$(n-m)$互为相反数，先统一形式为$(m-n)$，再将$(m-n)$看作整体，此时$9=3^2$，中间项$-6(m-n)=-2·(m-n)·3$，符合完全平方差公式结构，套用后化简即可；
(3) 原式不是标准公式结构，先展开整式乘积整理为二次三项式，再观察发现符合完全平方差公式结构，套用公式即可。
【解析】
(1) 原式$=(xy)^2 - 2· xy · 1 + 1^2$
$=(xy-1)^2$
(2) 原式$=(m-n)^2 -6(m-n) +9$
$=(m-n)^2 - 2· (m-n) · 3 + 3^2$
$=[(m-n)-3]^2$
$=(m-n-3)^2$
(3) 原式$=m^2 -4m +4$
$=m^2 - 2· m · 2 + 2^2$
$=(m-2)^2$
【答案】
(1) $\boxed{(xy-1)^2}$；(2) $\boxed{(m-n-3)^2}$；(3) $\boxed{(m-2)^2}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整式运算
【点评】
本题是公式法分解因式的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需先将式子整理为标准的公式结构，灵活运用整体思想可简化运算，要注意互为相反数的项的符号转换，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
解题前先回忆完全平方公式分解因式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足式子有两个同号的平方项，还有一个是两底数乘积的2倍的项。解题思路如下：
(1) 观察式子可将$xy$看作整体，$x^2y^2=(xy)^2$，$1=1^2$，中间项$-2xy=-2· xy·1$，刚好符合完全平方差公式结构，可直接套用公式；
(2) 式子中$(m-n)$与$(n-m)$互为相反数，先统一形式为$(m-n)$，再将$(m-n)$看作整体，此时$9=3^2$，中间项$-6(m-n)=-2·(m-n)·3$，符合完全平方差公式结构，套用后化简即可；
(3) 原式不是标准公式结构，先展开整式乘积整理为二次三项式，再观察发现符合完全平方差公式结构，套用公式即可。
【解析】
(1) 原式$=(xy)^2 - 2· xy · 1 + 1^2$
$=(xy-1)^2$
(2) 原式$=(m-n)^2 -6(m-n) +9$
$=(m-n)^2 - 2· (m-n) · 3 + 3^2$
$=[(m-n)-3]^2$
$=(m-n-3)^2$
(3) 原式$=m^2 -4m +4$
$=m^2 - 2· m · 2 + 2^2$
$=(m-2)^2$
【答案】
(1) $\boxed{(xy-1)^2}$；(2) $\boxed{(m-n-3)^2}$；(3) $\boxed{(m-2)^2}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整式运算
【点评】
本题是公式法分解因式的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需先将式子整理为标准的公式结构，灵活运用整体思想可简化运算，要注意互为相反数的项的符号转换，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
14. (★★)简便计算：
(1) $198^2 - 396 × 202 + 202^2$；
(2) $-101 × 190 + 101^2 + 95^2$。
(1) $198^2 - 396 × 202 + 202^2$；
(2) $-101 × 190 + 101^2 + 95^2$。
答案
解：
(1)
原式$=198^2 - 2×198×202 + 202^2$
$=(198 - 202)^2$
$=(-4)^2$
$=16$
(2)
原式$=101^2 - 2×101×95 + 95^2$
$=(101 - 95)^2$
$=6^2$
$=36$
(1)
原式$=198^2 - 2×198×202 + 202^2$
$=(198 - 202)^2$
$=(-4)^2$
$=16$
(2)
原式$=101^2 - 2×101×95 + 95^2$
$=(101 - 95)^2$
$=6^2$
$=36$
解析
【分析】
这两道题均可通过变形凑成完全平方差公式的结构实现简便计算，避免直接计算大数平方带来的繁琐运算。对于(1)，观察到中间项的396恰好等于2×198，原式可直接转化为完全平方差公式的标准形式$a^2-2ab+b^2$，其中$a=198$，$b=202$，套用公式即可快速计算。对于(2)，观察到190等于2×95，因此中间项$-101×190$可改写为$-2×101×95$，原式即可转化为完全平方差公式的标准形式，其中$a=101$，$b=95$，套用公式计算即可。
【解析】
(1) 先对中间项变形可得$396=2×198$，因此：
原式$=198^2 - 2×198×202 + 202^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入对应数值：
$=(198 - 202)^2$
计算括号内的结果：
$=(-4)^2$
计算得最终结果：
$=16$
(2) 先对中间项变形可得$190=2×95$，因此$-101×190=-2×101×95$，原式改写为：
原式$=101^2 - 2×101×95 + 95^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入对应数值：
$=(101 - 95)^2$
计算括号内的结果：
$=6^2$
计算得最终结果：
$=36$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{36}$
【知识点】
完全平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是简便计算的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过观察各项系数的关联将原式变形为公式的标准形式，就能大幅简化计算，降低大数运算的错误概率。
【难度系数】
0.8
这两道题均可通过变形凑成完全平方差公式的结构实现简便计算，避免直接计算大数平方带来的繁琐运算。对于(1)，观察到中间项的396恰好等于2×198，原式可直接转化为完全平方差公式的标准形式$a^2-2ab+b^2$，其中$a=198$，$b=202$，套用公式即可快速计算。对于(2)，观察到190等于2×95，因此中间项$-101×190$可改写为$-2×101×95$，原式即可转化为完全平方差公式的标准形式，其中$a=101$，$b=95$，套用公式计算即可。
【解析】
(1) 先对中间项变形可得$396=2×198$，因此：
原式$=198^2 - 2×198×202 + 202^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入对应数值：
$=(198 - 202)^2$
计算括号内的结果：
$=(-4)^2$
计算得最终结果：
$=16$
(2) 先对中间项变形可得$190=2×95$，因此$-101×190=-2×101×95$，原式改写为：
原式$=101^2 - 2×101×95 + 95^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入对应数值：
$=(101 - 95)^2$
计算括号内的结果：
$=6^2$
计算得最终结果：
$=36$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{36}$
【知识点】
完全平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是简便计算的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过观察各项系数的关联将原式变形为公式的标准形式，就能大幅简化计算，降低大数运算的错误概率。
【难度系数】
0.8
15. (★★★)已知$a^2 + b^2 + 4a + 2b + 5 = 0$，则$ab$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题属于已知含两个未知数的二次等式求代数式值的题型，解题思路如下：首先观察等式左边的二次项、一次项的系数，将常数项5拆分为4和1，分别与a的二次项、一次项，b的二次项、一次项组合，凑成两个完全平方的和；再根据偶次幂的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值，最后代入计算ab即可。
【解析】
首先对已知等式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + 4a + 2b + 5 &= 0\\a^2 +4a +4 + b^2 +2b +1 &=0\\(a+2)^2 + (b+1)^2 &=0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a+2)^2≥0$，$(b+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}a+2=0\\b+1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=-1$
代入计算得：$ab=(-2)×(-1)=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 配方法因式分解 2. 偶次幂的非负性 3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算中的常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确拆分常数项完成配方，结合非负数的性质即可快速求解，掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题属于已知含两个未知数的二次等式求代数式值的题型，解题思路如下：首先观察等式左边的二次项、一次项的系数，将常数项5拆分为4和1，分别与a的二次项、一次项，b的二次项、一次项组合，凑成两个完全平方的和；再根据偶次幂的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值，最后代入计算ab即可。
【解析】
首先对已知等式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + 4a + 2b + 5 &= 0\\a^2 +4a +4 + b^2 +2b +1 &=0\\(a+2)^2 + (b+1)^2 &=0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a+2)^2≥0$，$(b+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}a+2=0\\b+1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=-1$
代入计算得：$ab=(-2)×(-1)=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 配方法因式分解 2. 偶次幂的非负性 3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算中的常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确拆分常数项完成配方，结合非负数的性质即可快速求解，掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
16. (★★★)阅读材料:利用公式,可以将一些形如$ax^2+bx+c(a≠0)$的多项式变形为$a(x+m)^2+n$的形式,我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^2+bx+c(a≠0)$的配方法.运用多项式的配方法可以解决一些数学问题.比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例:$x^2+4x-5=x^2+4x+(\dfrac{4}{2})^2-(\dfrac{4}{2})^2-5=x^2+4x+4-9=(x+2)^2-9$
$=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5).$
根据以上材料,利用多项式的配方法解答下列问题:
(1)分解因式:$x^2+2x-3;$
(2)求多项式$x^2+6x-9$的最小值.
例:$x^2+4x-5=x^2+4x+(\dfrac{4}{2})^2-(\dfrac{4}{2})^2-5=x^2+4x+4-9=(x+2)^2-9$
$=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5).$
根据以上材料,利用多项式的配方法解答下列问题:
(1)分解因式:$x^2+2x-3;$
(2)求多项式$x^2+6x-9$的最小值.
答案
解：
(1) $x^2+2x-3$
$=x^2+2x+(\dfrac{2}{2})^2-(\dfrac{2}{2})^2-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=(x+1-2)(x+1+2)$
$=(x-1)(x+3)$
(2) $x^2+6x-9$
$=x^2+6x+(\dfrac{6}{2})^2-(\dfrac{6}{2})^2-9$
$=x^2+6x+9-9-9$
$=(x+3)^2-18$
$\because (x+3)^2≥0$，
$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$，即$x=-3$时，多项式$x^2+6x-9$取得最小值，最小值为$-18$。
(1) $x^2+2x-3$
$=x^2+2x+(\dfrac{2}{2})^2-(\dfrac{2}{2})^2-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=(x+1-2)(x+1+2)$
$=(x-1)(x+3)$
(2) $x^2+6x-9$
$=x^2+6x+(\dfrac{6}{2})^2-(\dfrac{6}{2})^2-9$
$=x^2+6x+9-9-9$
$=(x+3)^2-18$
$\because (x+3)^2≥0$，
$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$，即$x=-3$时，多项式$x^2+6x-9$取得最小值，最小值为$-18$。
解析
【分析】
（1）分解因式的解题思路：按照材料给出的配方法步骤，先对二次项和一次项配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数保证原式值不变，将原式凑成“完全平方-常数”的形式，再利用平方差公式分解因式即可。
（2）求多项式最小值的解题思路：先通过配方法将多项式化为$(x+m)^2+n$的形式，根据平方的非负性，$(x+m)^2≥0$，因此当$(x+m)^2=0$时，整个多项式取得最小值，最小值为$n$。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2+2x-3&=x^2+2x+(\dfrac{2}{2})^2-(\dfrac{2}{2})^2-3\\&=x^2+2x+1-4\\&=(x+1)^2-2^2\\&=(x+1-2)(x+1+2)\\&=(x-1)(x+3)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2+6x-9&=x^2+6x+(\dfrac{6}{2})^2-(\dfrac{6}{2})^2-9\\&=x^2+6x+9-9-9\\&=(x+3)^2-18\end{aligned}$
$\because (x+3)^2≥0$，
$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$，即$x=-3$时，多项式$x^2+6x-9$取得最小值，最小值为$-18$。
【答案】
(1) $(x-1)(x+3)$
(2) 最小值为$\boldsymbol{-18}$
【知识点】
配方法，公式法因式分解，平方的非负性
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对配方法的理解与迁移应用能力，既涉及因式分解的运算，又结合平方非负性求代数式的最值，需要先掌握材料给出的方法，再灵活运用解决对应问题，是对运算能力和知识迁移能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
（1）分解因式的解题思路：按照材料给出的配方法步骤，先对二次项和一次项配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数保证原式值不变，将原式凑成“完全平方-常数”的形式，再利用平方差公式分解因式即可。
（2）求多项式最小值的解题思路：先通过配方法将多项式化为$(x+m)^2+n$的形式，根据平方的非负性，$(x+m)^2≥0$，因此当$(x+m)^2=0$时，整个多项式取得最小值，最小值为$n$。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2+2x-3&=x^2+2x+(\dfrac{2}{2})^2-(\dfrac{2}{2})^2-3\\&=x^2+2x+1-4\\&=(x+1)^2-2^2\\&=(x+1-2)(x+1+2)\\&=(x-1)(x+3)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2+6x-9&=x^2+6x+(\dfrac{6}{2})^2-(\dfrac{6}{2})^2-9\\&=x^2+6x+9-9-9\\&=(x+3)^2-18\end{aligned}$
$\because (x+3)^2≥0$，
$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$，即$x=-3$时，多项式$x^2+6x-9$取得最小值，最小值为$-18$。
【答案】
(1) $(x-1)(x+3)$
(2) 最小值为$\boldsymbol{-18}$
【知识点】
配方法，公式法因式分解，平方的非负性
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对配方法的理解与迁移应用能力，既涉及因式分解的运算，又结合平方非负性求代数式的最值，需要先掌握材料给出的方法，再灵活运用解决对应问题，是对运算能力和知识迁移能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
