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1. 如图所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则a的值是（
A.5
B.7
C.9
D.11
B
）A.5
B.7
C.9
D.11
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线的三个数之和相等”的性质，先找到所有数都已知的第二行，计算出这三个数的和也就是幻和，再观察含a的中间列，该列三个数的和与幻和相等，据此列等式即可求出a的值。
【解析】
第一步：计算幻和。第二行三个数全部已知，求和得：
$6 + 3 + 5 = 14$，即每行、每列的和均为14。
第二步：根据中间列的和等于幻和列等式计算a。中间列的三个数为4、3、a，因此：
$4 + 3 + a = 14$
化简得：$7 + a = 14$
解得：$a = 14 - 7 = 7$
【答案】
B
【知识点】
三阶幻方性质，简易方程求解
【点评】
本题考查幻方的基本性质应用，解题的核心是先通过全已知的行/列求出公共和，再利用和相等的关系计算未知量，难度较低，掌握幻方基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线的三个数之和相等”的性质，先找到所有数都已知的第二行，计算出这三个数的和也就是幻和，再观察含a的中间列，该列三个数的和与幻和相等，据此列等式即可求出a的值。
【解析】
第一步：计算幻和。第二行三个数全部已知，求和得：
$6 + 3 + 5 = 14$，即每行、每列的和均为14。
第二步：根据中间列的和等于幻和列等式计算a。中间列的三个数为4、3、a，因此：
$4 + 3 + a = 14$
化简得：$7 + a = 14$
解得：$a = 14 - 7 = 7$
【答案】
B
【知识点】
三阶幻方性质，简易方程求解
【点评】
本题考查幻方的基本性质应用，解题的核心是先通过全已知的行/列求出公共和，再利用和相等的关系计算未知量，难度较低，掌握幻方基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
2. 有一个三阶幻方如图所示，a的值是（
A.6
B.12
C.18
D.24
B
）A.6
B.12
C.18
D.24
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道三阶幻方求a的问题，首先回忆三阶幻方的核心性质：①每行、每列、每条对角线上的三个数之和（称为幻和）相等；②幻和等于中间数的3倍。首先观察图形，中间位置的数已经给出是11，因此可以先算出幻和；再通过第一列的已知数求出左上角的数；最后利用左上到右下的对角线的和等于幻和，即可求出a的值。
【解析】
步骤1：计算幻和。根据三阶幻方的性质，幻和=3×中间数，已知中间数为11，因此幻和=3×11=33。
步骤2：求第一行第一列的数。第一列三个数的和等于幻和，已知第二行第一列是7，第三行第一列是16，因此第一行第一列的数=33-7-16=10。
步骤3：求a的值。左上到右下的对角线上三个数的和等于幻和，三个数分别为10、11、a，因此列等式：
$10 + 11 + a = 33$
解得：$a=33-21=12$
【答案】
B
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是三阶幻方的基础应用题，解题关键是熟练掌握三阶幻方的基础性质，结合行列、对角线的和相等的特点逐步推导未知量，重在对基础性质的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道三阶幻方求a的问题，首先回忆三阶幻方的核心性质：①每行、每列、每条对角线上的三个数之和（称为幻和）相等；②幻和等于中间数的3倍。首先观察图形，中间位置的数已经给出是11，因此可以先算出幻和；再通过第一列的已知数求出左上角的数；最后利用左上到右下的对角线的和等于幻和，即可求出a的值。
【解析】
步骤1：计算幻和。根据三阶幻方的性质，幻和=3×中间数，已知中间数为11，因此幻和=3×11=33。
步骤2：求第一行第一列的数。第一列三个数的和等于幻和，已知第二行第一列是7，第三行第一列是16，因此第一行第一列的数=33-7-16=10。
步骤3：求a的值。左上到右下的对角线上三个数的和等于幻和，三个数分别为10、11、a，因此列等式：
$10 + 11 + a = 33$
解得：$a=33-21=12$
【答案】
B
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是三阶幻方的基础应用题，解题关键是熟练掌握三阶幻方的基础性质，结合行列、对角线的和相等的特点逐步推导未知量，重在对基础性质的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,在三阶幻方中填写了一些数和字母,试求 $ x - y $ 的值.
答案
3. 解:-3.
解析
【分析】
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、每条对角线的三个数之和（称为幻和）相等，且幻和等于中间数的3倍。首先从已知的中间数1出发，先求出幻和，再通过对角线的和求出x的值，接着逐步推导其他位置的数，求出y的值，最后计算x-y即可。
【解析】
解：根据三阶幻方的性质，幻和（每行/列/对角线的和）=3×中间数，已知中间数为1，因此幻和=3×1=3。
1. 求x的值：
左上到右下的对角线三个数为-3、1、x，其和等于幻和，列等式：
$-3 + 1 + x = 3$
解得：$x = 3 + 3 - 1 = 5$
2. 求第二行第一个数：
第一列三个数为-3、第二行第一个数、4，和为幻和3，列等式：
$-3 + 第二行第一个数 + 4 = 3$
解得：第二行第一个数= $3 - 1 = 2$
3. 求第二行第三个数：
第二行三个数为2、1、第二行第三个数，和为幻和3，列等式：
$2 + 1 + 第二行第三个数 = 3$
解得：第二行第三个数= $3 - 3 = 0$
4. 求第一行第三个数：
第三列三个数为第一行第三个数、0、$x=5$，和为幻和3，列等式：
$第一行第三个数 + 0 + 5 = 3$
解得：第一行第三个数= $3 - 5 = -2$
5. 求y的值：
第一行三个数为-3、y、-2，和为幻和3，列等式：
$-3 + y + (-2) = 3$
解得：$y = 3 + 5 = 8$
6. 计算$x-y$：
$x - y = 5 - 8 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 三阶幻方的性质
2. 有理数的加减运算
【点评】
本题需要熟练掌握三阶幻方的核心特征，从已知的中间数入手推导幻和是解题的突破口，计算过程中要注意有理数加减运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、每条对角线的三个数之和（称为幻和）相等，且幻和等于中间数的3倍。首先从已知的中间数1出发，先求出幻和，再通过对角线的和求出x的值，接着逐步推导其他位置的数，求出y的值，最后计算x-y即可。
【解析】
解：根据三阶幻方的性质，幻和（每行/列/对角线的和）=3×中间数，已知中间数为1，因此幻和=3×1=3。
1. 求x的值：
左上到右下的对角线三个数为-3、1、x，其和等于幻和，列等式：
$-3 + 1 + x = 3$
解得：$x = 3 + 3 - 1 = 5$
2. 求第二行第一个数：
第一列三个数为-3、第二行第一个数、4，和为幻和3，列等式：
$-3 + 第二行第一个数 + 4 = 3$
解得：第二行第一个数= $3 - 1 = 2$
3. 求第二行第三个数：
第二行三个数为2、1、第二行第三个数，和为幻和3，列等式：
$2 + 1 + 第二行第三个数 = 3$
解得：第二行第三个数= $3 - 3 = 0$
4. 求第一行第三个数：
第三列三个数为第一行第三个数、0、$x=5$，和为幻和3，列等式：
$第一行第三个数 + 0 + 5 = 3$
解得：第一行第三个数= $3 - 5 = -2$
5. 求y的值：
第一行三个数为-3、y、-2，和为幻和3，列等式：
$-3 + y + (-2) = 3$
解得：$y = 3 + 5 = 8$
6. 计算$x-y$：
$x - y = 5 - 8 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 三阶幻方的性质
2. 有理数的加减运算
【点评】
本题需要熟练掌握三阶幻方的核心特征，从已知的中间数入手推导幻和是解题的突破口，计算过程中要注意有理数加减运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
4. 完成如图两个三阶幻方的填写,并试着说明理由. 
答案
解:第1个图由中心数先填上面中间和右上角方格中的数,再填左上角和右下角的数,最后填剩下的两个,第2个图先填中心数,再填上面中间和左上角的数,最后填剩下的三个.
解析
【分析】
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：①每行、每列、每条对角线上的三个数之和（称为幻和）相等；②幻和=3×中心数。
对于左侧第一个幻方：已知中心数，可先算出幻和，再依次计算每条已知两个数的行、列、对角线上的未知数字。
对于右侧第二个幻方：已知一条对角线上的两个数，先设中心数为未知数，根据“对角线和=3×中心数”列方程求出中心数和幻和，再逐步推导其余未知数字即可。
【解析】
左侧幻方填写步骤：
1. 由三阶幻方性质得幻和=3×中心数=3×6=18。
2. 第二列已知6、2，所以第二列第一行的数为：$18-6-2=10$。
3. 左下到右上的对角线已知7、6，所以第一行第三列的数为：$18-7-6=5$。
4. 第一行已知10、5，所以第一行第一列的数为：$18-10-5=3$。
5. 第一列已知3、7，所以第一列第二行的数为：$18-3-7=8$。
6. 第二行已知8、6，所以第二行第三列的数为：$18-8-6=4$。
7. 第三行已知7、2，所以第三行第三列的数为：$18-7-2=9$，验证所有行、列、对角线和均为18，填写正确。
右侧幻方填写步骤：
1. 设中心数为$x$，则幻和为$3x$。右上到左下的对角线已知-4、2，可得方程：$-4+x+2=3x$，解得$x=-1$，因此幻和为$3×(-1)=-3$。
2. 第二列已知-1、-5，所以第二列第一行的数为：$-3 - (-1) - (-5)=3$。
3. 第一行已知3、-4，所以第一行第一列的数为：$-3 -3 - (-4)=-2$。
4. 第一列已知-2、2，所以第一列第二行的数为：$-3 - (-2) -2=-3$。
5. 第二行已知-3、-1，所以第二行第三列的数为：$-3 - (-3) - (-1)=1$。
6. 第三行已知2、-5，所以第三行第三列的数为：$-3 -2 - (-5)=0$，验证所有行、列、对角线和均为-3，填写正确。
【答案】
【知识点】
三阶幻方性质、有理数加减运算、一元一次方程应用
【点评】
本题重点考察三阶幻方性质的灵活运用，解题的突破口是先确定中心数和幻和，再利用各行各列和相等的规则逐步推导未知量，能够有效锻炼逻辑推理能力和运算准确性。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用三阶幻方的基本性质：①每行、每列、每条对角线上的三个数之和（称为幻和）相等；②幻和=3×中心数。
对于左侧第一个幻方：已知中心数，可先算出幻和，再依次计算每条已知两个数的行、列、对角线上的未知数字。
对于右侧第二个幻方：已知一条对角线上的两个数，先设中心数为未知数，根据“对角线和=3×中心数”列方程求出中心数和幻和，再逐步推导其余未知数字即可。
【解析】
左侧幻方填写步骤：
1. 由三阶幻方性质得幻和=3×中心数=3×6=18。
2. 第二列已知6、2，所以第二列第一行的数为：$18-6-2=10$。
3. 左下到右上的对角线已知7、6，所以第一行第三列的数为：$18-7-6=5$。
4. 第一行已知10、5，所以第一行第一列的数为：$18-10-5=3$。
5. 第一列已知3、7，所以第一列第二行的数为：$18-3-7=8$。
6. 第二行已知8、6，所以第二行第三列的数为：$18-8-6=4$。
7. 第三行已知7、2，所以第三行第三列的数为：$18-7-2=9$，验证所有行、列、对角线和均为18，填写正确。
右侧幻方填写步骤：
1. 设中心数为$x$，则幻和为$3x$。右上到左下的对角线已知-4、2，可得方程：$-4+x+2=3x$，解得$x=-1$，因此幻和为$3×(-1)=-3$。
2. 第二列已知-1、-5，所以第二列第一行的数为：$-3 - (-1) - (-5)=3$。
3. 第一行已知3、-4，所以第一行第一列的数为：$-3 -3 - (-4)=-2$。
4. 第一列已知-2、2，所以第一列第二行的数为：$-3 - (-2) -2=-3$。
5. 第二行已知-3、-1，所以第二行第三列的数为：$-3 - (-3) - (-1)=1$。
6. 第三行已知2、-5，所以第三行第三列的数为：$-3 -2 - (-5)=0$，验证所有行、列、对角线和均为-3，填写正确。
【答案】
【知识点】
三阶幻方性质、有理数加减运算、一元一次方程应用
【点评】
本题重点考察三阶幻方性质的灵活运用，解题的突破口是先确定中心数和幻和，再利用各行各列和相等的规则逐步推导未知量，能够有效锻炼逻辑推理能力和运算准确性。
【难度系数】
0.7
5. 将-10,-8,-6, -5,-3,-1, 0, 2, 4这九个数填入如图所示的方格里,使之成为幻方.
答案
（填法不唯一）
解析
【分析】
要构造三阶幻方，首先明确三阶幻方的核心特征：每行、每列、两条对角线上的三个数之和（即幻和）相等。解题思路如下：①先计算给出的9个有理数的总和，因为三行的和相加等于九数总和，因此用总和除以3即可得到幻和；②三阶幻方的中间数等于幻和除以3，先确定中心格的数字；③剩余8个数两两配对，每对的和为“幻和-中间数”，将配对数字放在对称位置，调整后验证所有行、列、对角线的和等于幻和即可。
【解析】
步骤1：计算九数总和
将给出的9个数相加：
$\begin{aligned}&(-10)+(-8)+(-6)+(-5)+(-3)+(-1)+0+2+4\\=&(-33)+6\\=&-27\end{aligned}$
步骤2：计算幻和
三阶幻方每行和相等，因此幻和为：$-27÷3=-9$
步骤3：确定中间数
三阶幻方中间数等于幻和除以3，即：$-9÷3=-3$，中心格填-3。
步骤4：配对剩余数字
剩余8个数中，两数之和为$-9-(-3)=-6$的数对为：$(-10,4)$、$(-8,2)$、$(-6,0)$、$(-5,-1)$。
步骤5：将数对放在中心对称的位置，调整后验证每行、每列、对角线的和均为-9，即可得到符合要求的幻方。
【答案】
（填法不唯一）
【知识点】
有理数加减法、三阶幻方性质
【点评】
本题是三阶幻方的基础构造题，核心是先通过有理数计算确定幻和与中间数，再通过对称配对填充剩余数字，解题时注意验证所有行、列、对角线的和是否一致，幻方填法不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
要构造三阶幻方，首先明确三阶幻方的核心特征：每行、每列、两条对角线上的三个数之和（即幻和）相等。解题思路如下：①先计算给出的9个有理数的总和，因为三行的和相加等于九数总和，因此用总和除以3即可得到幻和；②三阶幻方的中间数等于幻和除以3，先确定中心格的数字；③剩余8个数两两配对，每对的和为“幻和-中间数”，将配对数字放在对称位置，调整后验证所有行、列、对角线的和等于幻和即可。
【解析】
步骤1：计算九数总和
将给出的9个数相加：
$\begin{aligned}&(-10)+(-8)+(-6)+(-5)+(-3)+(-1)+0+2+4\\=&(-33)+6\\=&-27\end{aligned}$
步骤2：计算幻和
三阶幻方每行和相等，因此幻和为：$-27÷3=-9$
步骤3：确定中间数
三阶幻方中间数等于幻和除以3，即：$-9÷3=-3$，中心格填-3。
步骤4：配对剩余数字
剩余8个数中，两数之和为$-9-(-3)=-6$的数对为：$(-10,4)$、$(-8,2)$、$(-6,0)$、$(-5,-1)$。
步骤5：将数对放在中心对称的位置，调整后验证每行、每列、对角线的和均为-9，即可得到符合要求的幻方。
【答案】
（填法不唯一）
【知识点】
有理数加减法、三阶幻方性质
【点评】
本题是三阶幻方的基础构造题，核心是先通过有理数计算确定幻和与中间数，再通过对称配对填充剩余数字，解题时注意验证所有行、列、对角线的和是否一致，幻方填法不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
