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一、选择题
1. 在代数式$\frac{2}{n}$，$m - 3$，$-2^2$，$-\frac{m^2}{3}$，$2π b^2$中，单项式有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 在代数式$\frac{2}{n}$，$m - 3$，$-2^2$，$-\frac{m^2}{3}$，$2π b^2$中，单项式有(
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
解题前首先要明确单项式的判定标准：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；需要注意：①分母中含有字母的式子不是单项式；②含有加减运算的式子不是单项式；③π是常数，不是字母。接下来我们逐个判断给出的5个代数式是否符合单项式的定义，统计符合的个数即可选出答案。
【解析】
根据单项式的定义逐一判断：
1. $\frac{2}{n}$：分母中含有字母$n$，属于分式，不是单项式；
2. $m - 3$：式子中含有减法运算，是多项式，不是单项式；
3. $-2^2$：计算结果为$-4$，是单独的一个常数，属于单项式；
4. $-\frac{m^2}{3}$：可以看作$-\frac{1}{3}$与$m^2$的乘积，是数与字母的积，属于单项式；
5. $2π b^2$：其中$π$是常数，该式可以看作$2π$与$b^2$的乘积，是数与字母的积，属于单项式。
综上，单项式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式的定义；整式的分类；常数的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查单项式的判定，解题时要注意易混淆点：一是分母含字母的式子不属于单项式，二是π是常数而非字母，三是单独的常数也属于单项式，牢记概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确单项式的判定标准：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；需要注意：①分母中含有字母的式子不是单项式；②含有加减运算的式子不是单项式；③π是常数，不是字母。接下来我们逐个判断给出的5个代数式是否符合单项式的定义，统计符合的个数即可选出答案。
【解析】
根据单项式的定义逐一判断：
1. $\frac{2}{n}$：分母中含有字母$n$，属于分式，不是单项式；
2. $m - 3$：式子中含有减法运算，是多项式，不是单项式；
3. $-2^2$：计算结果为$-4$，是单独的一个常数，属于单项式；
4. $-\frac{m^2}{3}$：可以看作$-\frac{1}{3}$与$m^2$的乘积，是数与字母的积，属于单项式；
5. $2π b^2$：其中$π$是常数，该式可以看作$2π$与$b^2$的乘积，是数与字母的积，属于单项式。
综上，单项式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式的定义；整式的分类；常数的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查单项式的判定，解题时要注意易混淆点：一是分母含字母的式子不属于单项式，二是π是常数而非字母，三是单独的常数也属于单项式，牢记概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 单项式$-\dfrac{3π xy^2}{5}$的系数和次数分别是(
A.$-\dfrac{3}{5}$，3
B.$-\dfrac{3}{5}$，4
C.$-\dfrac{3π}{5}$，3
D.$-\dfrac{3π}{5}$，4
C
)A.$-\dfrac{3}{5}$，3
B.$-\dfrac{3}{5}$，4
C.$-\dfrac{3π}{5}$，3
D.$-\dfrac{3π}{5}$，4
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义，按照定义分步判断即可：①先确定系数：系数是单项式中的数字因数，注意π是常数，不属于字母，要归入数字部分，且要保留原式的符号；②再确定次数：次数是单项式中所有字母的指数和，仅计算字母的指数，常数的指数不算，注意字母指数省略不写时默认是1。
【解析】
首先求系数：
单项式的数字因数为系数，π是圆周率，属于常数，因此该单项式的数字部分为$-\dfrac{3π}{5}$，即系数是$-\dfrac{3π}{5}$。
然后求次数：
单项式的次数是所有字母的指数和，该单项式中的字母为x和y：x的指数省略，默认是1，y的指数是2，因此总次数为$1+2=3$。
综上，该单项式的系数是$-\dfrac{3π}{5}$，次数是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，易错点是误将π当作字母参与次数计算，或是遗漏x的隐含指数1、漏带系数的负号，牢记相关概念即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义，按照定义分步判断即可：①先确定系数：系数是单项式中的数字因数，注意π是常数，不属于字母，要归入数字部分，且要保留原式的符号；②再确定次数：次数是单项式中所有字母的指数和，仅计算字母的指数，常数的指数不算，注意字母指数省略不写时默认是1。
【解析】
首先求系数：
单项式的数字因数为系数，π是圆周率，属于常数，因此该单项式的数字部分为$-\dfrac{3π}{5}$，即系数是$-\dfrac{3π}{5}$。
然后求次数：
单项式的次数是所有字母的指数和，该单项式中的字母为x和y：x的指数省略，默认是1，y的指数是2，因此总次数为$1+2=3$。
综上，该单项式的系数是$-\dfrac{3π}{5}$，次数是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，易错点是误将π当作字母参与次数计算，或是遗漏x的隐含指数1、漏带系数的负号，牢记相关概念即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 若$2x^m y$与$x^3 y^n$是同类项，则$m$，$n$满足的条件是（
A.$m=3$，$n=3$
B.$m=1$，$n=1$
C.$m=1$，$n=3$
D.$m=3$，$n=1$
D
）A.$m=3$，$n=3$
B.$m=1$，$n=1$
C.$m=1$，$n=3$
D.$m=3$，$n=1$
答案
3.D
解析
【分析】
解答本题首先要明确本题考查同类项的定义，先回忆同类项的判定条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也相等，两个条件需同时满足。接下来对照给出的两个单项式：$2x^m y$与$x^3 y^n$，二者所含字母都是x和y，满足第一个条件，接下来只需让相同字母的指数对应相等即可：x的指数分别是m和3，因此$m=3$；y的指数分别是1（省略不写）和n，因此$n=1$，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
针对$2x^m y$与$x^3 y^n$：
x的指数对应相等，可得：$m=3$
y的指数对应相等，$2x^m y$中y的指数为1（省略书写），可得：$n=1$
因此$m=3$，$n=1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题是同类项相关的基础题型，解题核心是牢记同类项的两个判定标准，注意单个字母的指数为1通常省略不写，避免因忽略这一点出错。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确本题考查同类项的定义，先回忆同类项的判定条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也相等，两个条件需同时满足。接下来对照给出的两个单项式：$2x^m y$与$x^3 y^n$，二者所含字母都是x和y，满足第一个条件，接下来只需让相同字母的指数对应相等即可：x的指数分别是m和3，因此$m=3$；y的指数分别是1（省略不写）和n，因此$n=1$，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
针对$2x^m y$与$x^3 y^n$：
x的指数对应相等，可得：$m=3$
y的指数对应相等，$2x^m y$中y的指数为1（省略书写），可得：$n=1$
因此$m=3$，$n=1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题是同类项相关的基础题型，解题核心是牢记同类项的两个判定标准，注意单个字母的指数为1通常省略不写，避免因忽略这一点出错。
【难度系数】
0.9
4. 若a
答案
4.C
5. 若多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m - 4)x + 7$是关于$x$的四次式，则$m$的值是(
A.4
B.$-2$
C.$-4$
D.4或$-4$
D
)A.4
B.$-2$
C.$-4$
D.4或$-4$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。已知该多项式是关于x的四次式，首先可得最高次项的次数为4，也就是x的指数|m|=4，先求出m的可能取值，再验证这些取值下多项式是否满足四次式的要求即可。
【解析】
∵ 多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m - 4)x + 7$是关于$x$的四次式
∴ 最高次项的次数为4，即$|m|=4$
解得 $m=4$ 或 $m=-4$
验证：
① 当$m=4$时，原多项式为$\frac{1}{2}x^4 - (4-4)x +7 = \frac{1}{2}x^4 +7$，是四次二项式，符合四次式的要求；
② 当$m=-4$时，原多项式为$\frac{1}{2}x^4 - (-4-4)x +7 = \frac{1}{2}x^4 +8x +7$，是四次三项式，符合四次式的要求。
综上，m的值为4或-4，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 绝对值的运算
【点评】
本题重点考查多项式次数的基本概念，解题时需要注意，只要多项式最高次项的次数符合要求即可，不需要强制要求项数，避免因错误排除m=4的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。已知该多项式是关于x的四次式，首先可得最高次项的次数为4，也就是x的指数|m|=4，先求出m的可能取值，再验证这些取值下多项式是否满足四次式的要求即可。
【解析】
∵ 多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m - 4)x + 7$是关于$x$的四次式
∴ 最高次项的次数为4，即$|m|=4$
解得 $m=4$ 或 $m=-4$
验证：
① 当$m=4$时，原多项式为$\frac{1}{2}x^4 - (4-4)x +7 = \frac{1}{2}x^4 +7$，是四次二项式，符合四次式的要求；
② 当$m=-4$时，原多项式为$\frac{1}{2}x^4 - (-4-4)x +7 = \frac{1}{2}x^4 +8x +7$，是四次三项式，符合四次式的要求。
综上，m的值为4或-4，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 绝对值的运算
【点评】
本题重点考查多项式次数的基本概念，解题时需要注意，只要多项式最高次项的次数符合要求即可，不需要强制要求项数，避免因错误排除m=4的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
6. 若$ a $，$ b $，$ c $都是有理数，则$ 2a - 3b + c $的相反数是(
A.$ 3b - 2a - c $
B.$ -3b - 2a + c $
C.$ 3b - 2a + c $
D.$ 3b + 2a - c $
A
)A.$ 3b - 2a - c $
B.$ -3b - 2a + c $
C.$ 3b - 2a + c $
D.$ 3b + 2a - c $
答案
6.A
解析
【分析】
首先回忆相反数的定义：互为相反数的两个数和为0，因此求一个整式的相反数，只需在这个整式整体的前面添加负号，再根据去括号法则化简，最后对比选项即可得到答案。需要注意去括号时，若括号前是负号，括号内每一项的符号都要改变。
【解析】
根据相反数的定义，$2a - 3b + c$的相反数为：
$-(2a - 3b + c)$
根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号：
$-(2a - 3b + c) = -2a + 3b - c = 3b - 2a - c$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；去括号法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对相反数概念的理解和去括号的运算能力，易错点是去括号时容易漏改某一项的符号，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
首先回忆相反数的定义：互为相反数的两个数和为0，因此求一个整式的相反数，只需在这个整式整体的前面添加负号，再根据去括号法则化简，最后对比选项即可得到答案。需要注意去括号时，若括号前是负号，括号内每一项的符号都要改变。
【解析】
根据相反数的定义，$2a - 3b + c$的相反数为：
$-(2a - 3b + c)$
根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号：
$-(2a - 3b + c) = -2a + 3b - c = 3b - 2a - c$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；去括号法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对相反数概念的理解和去括号的运算能力，易错点是去括号时容易漏改某一项的符号，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
7. 下列运算正确的是 (
A.$\frac{1}{3}a + \frac{1}{6}b = \frac{1}{2}ab$
B.$3a^3b - 3ba^3 = 0$
C.$8a^4 - 6a^3 = 2a$
D.$\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^2 = \frac{1}{6}$
B
)A.$\frac{1}{3}a + \frac{1}{6}b = \frac{1}{2}ab$
B.$3a^3b - 3ba^3 = 0$
C.$8a^4 - 6a^3 = 2a$
D.$\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^2 = \frac{1}{6}$
答案
7.B
解析
【分析】
本题考查合并同类项相关知识，解题思路为：第一步先明确同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，只有同类项才可以合并；第二步对每个选项的两项先判断是否为同类项，非同类项不能直接合并，若为同类项，再按照“系数相加减，字母和字母的指数保持不变”的合并规则验证运算是否正确。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$\frac{1}{3}a$含字母a，$\frac{1}{6}b$含字母b，二者所含字母不同，不属于同类项，无法合并，因此运算错误；
B选项：$3a^3b$和$3ba^3$所含字母均为a、b，且a的指数都是3，b的指数都是1，属于同类项，合并时系数相减得$3-3=0$，计算结果为0，因此运算正确；
C选项：$8a^4$中a的指数为4，$6a^3$中a的指数为3，二者相同字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，因此运算错误；
D选项：$\frac{1}{2}y^2$和$\frac{1}{3}y^2$是同类项，合并后系数为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，字母和指数不变，正确结果应为$\frac{1}{6}y^2$，选项中丢掉了$y^2$，因此运算错误。
【答案】
B
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心易错点为混淆同类项的判定标准，或是合并同类项时错误省略字母及对应指数，熟练掌握同类项的定义和合并规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查合并同类项相关知识，解题思路为：第一步先明确同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，只有同类项才可以合并；第二步对每个选项的两项先判断是否为同类项，非同类项不能直接合并，若为同类项，再按照“系数相加减，字母和字母的指数保持不变”的合并规则验证运算是否正确。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$\frac{1}{3}a$含字母a，$\frac{1}{6}b$含字母b，二者所含字母不同，不属于同类项，无法合并，因此运算错误；
B选项：$3a^3b$和$3ba^3$所含字母均为a、b，且a的指数都是3，b的指数都是1，属于同类项，合并时系数相减得$3-3=0$，计算结果为0，因此运算正确；
C选项：$8a^4$中a的指数为4，$6a^3$中a的指数为3，二者相同字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，因此运算错误；
D选项：$\frac{1}{2}y^2$和$\frac{1}{3}y^2$是同类项，合并后系数为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，字母和指数不变，正确结果应为$\frac{1}{6}y^2$，选项中丢掉了$y^2$，因此运算错误。
【答案】
B
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心易错点为混淆同类项的判定标准，或是合并同类项时错误省略字母及对应指数，熟练掌握同类项的定义和合并规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
8. 已知$a$为正整数，则多项式$a^3 - 3a^2 + 7a + 7$与$3 - 2a + 3a^2 - a^3$的和一定是(
A.奇数
B.偶数
C.5的倍数
D.无法确定
C
)A.奇数
B.偶数
C.5的倍数
D.无法确定
答案
8.C
解析
【分析】
要判断两个多项式的和的特征，首先需要先求出两个多项式的和，解题思路如下：第一步将两个多项式相加，第二步通过去括号、合并同类项对和进行化简，第三步结合a是正整数的条件，分析化简后式子的整除特征，对应选项得出答案。
【解析】
先计算两个多项式的和：
$\begin{aligned}&(a^3 - 3a^2 + 7a + 7)+(3 - 2a + 3a^2 - a^3)\\=&a^3 - 3a^2 + 7a + 7 + 3 - 2a + 3a^2 - a^3\\=&(a^3 - a^3)+(-3a^2 + 3a^2)+(7a - 2a)+(7 + 3)\\=&5a + 10\\=&5(a + 2)\end{aligned}$
因为a是正整数，所以$a+2$也是正整数，因此$5(a+2)$一定是5的倍数。
【答案】
C
【知识点】
整式的加减运算、合并同类项、整除的概念
【点评】
本题重点考查整式的加减运算，解题的核心是正确合并同类项得到化简后的结果，再结合正整数的性质判断结果的特征，属于基础类题型，熟练掌握整式加减的运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
要判断两个多项式的和的特征，首先需要先求出两个多项式的和，解题思路如下：第一步将两个多项式相加，第二步通过去括号、合并同类项对和进行化简，第三步结合a是正整数的条件，分析化简后式子的整除特征，对应选项得出答案。
【解析】
先计算两个多项式的和：
$\begin{aligned}&(a^3 - 3a^2 + 7a + 7)+(3 - 2a + 3a^2 - a^3)\\=&a^3 - 3a^2 + 7a + 7 + 3 - 2a + 3a^2 - a^3\\=&(a^3 - a^3)+(-3a^2 + 3a^2)+(7a - 2a)+(7 + 3)\\=&5a + 10\\=&5(a + 2)\end{aligned}$
因为a是正整数，所以$a+2$也是正整数，因此$5(a+2)$一定是5的倍数。
【答案】
C
【知识点】
整式的加减运算、合并同类项、整除的概念
【点评】
本题重点考查整式的加减运算，解题的核心是正确合并同类项得到化简后的结果，再结合正整数的性质判断结果的特征，属于基础类题型，熟练掌握整式加减的运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
9. 当$x=1$时，多项式$ax^2+bx+1$的值为3，则$(a+b-1)(1-a-b)$的值为(
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
B
)A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件，把x=1代入给定的多项式，得到关于a和b的关系式，求出a+b的整体值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有a+b整体的形式，最后整体代入计算即可。不需要单独求出a、b的具体值，两个未知数仅一个方程也无法求出单个值，因此优先考虑整体代入法求解。
【解析】
1. 将$x=1$代入多项式$ax^2+bx+1$，结合题目给出的值为3，列等式：
$a×1^2 + b×1 + 1 = 3$
化简得$a+b+1=3$，计算可得$a+b=2$。
2. 对所求代数式变形，将后一个括号的部分提取负号，转化为含$a+b$的形式：
$(a+b-1)(1-a-b)=(a+b-1)[1-(a+b)]$
3. 把$a+b=2$整体代入变形后的式子计算：
原式$=(2-1)×(1-2)=1×(-1)=-1$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题核心是运用整体代入的思想，规避了单独求解未知数的繁琐，能够很好地检验学生对代数式变形和整体代换方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件，把x=1代入给定的多项式，得到关于a和b的关系式，求出a+b的整体值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有a+b整体的形式，最后整体代入计算即可。不需要单独求出a、b的具体值，两个未知数仅一个方程也无法求出单个值，因此优先考虑整体代入法求解。
【解析】
1. 将$x=1$代入多项式$ax^2+bx+1$，结合题目给出的值为3，列等式：
$a×1^2 + b×1 + 1 = 3$
化简得$a+b+1=3$，计算可得$a+b=2$。
2. 对所求代数式变形，将后一个括号的部分提取负号，转化为含$a+b$的形式：
$(a+b-1)(1-a-b)=(a+b-1)[1-(a+b)]$
3. 把$a+b=2$整体代入变形后的式子计算：
原式$=(2-1)×(1-2)=1×(-1)=-1$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题核心是运用整体代入的思想，规避了单独求解未知数的繁琐，能够很好地检验学生对代数式变形和整体代换方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 若多项式$x^2 - 3kxy - 3y^2 + xy - 8$化简后不含$xy$项，则$k$的值为(
A.0
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.3
C
)A.0
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.3
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“化简后不含xy项”的含义：即合并同类项后，xy项的系数为0。解题思路分为三步：①先找出多项式中所有含xy的同类项；②合并xy项，写出该项系数的表达式；③令xy项的系数等于0，解关于k的一元一次方程，即可求出k的值。
【解析】
解：对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}x^2 - 3kxy - 3y^2 + xy - 8&=x^2 + (-3kxy + xy) - 3y^2 - 8\\&=x^2 + (-3k + 1)xy - 3y^2 - 8\end{aligned}$
∵化简后不含xy项
∴xy项的系数为0，即：
$-3k + 1 = 0$
移项得：$-3k = -1$
两边同时除以-3得：$k=\frac{1}{3}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的基础常考题型，解题核心是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”，需要熟练掌握合并同类项的操作，以及简单一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“化简后不含xy项”的含义：即合并同类项后，xy项的系数为0。解题思路分为三步：①先找出多项式中所有含xy的同类项；②合并xy项，写出该项系数的表达式；③令xy项的系数等于0，解关于k的一元一次方程，即可求出k的值。
【解析】
解：对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}x^2 - 3kxy - 3y^2 + xy - 8&=x^2 + (-3kxy + xy) - 3y^2 - 8\\&=x^2 + (-3k + 1)xy - 3y^2 - 8\end{aligned}$
∵化简后不含xy项
∴xy项的系数为0，即：
$-3k + 1 = 0$
移项得：$-3k = -1$
两边同时除以-3得：$k=\frac{1}{3}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的基础常考题型，解题核心是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”，需要熟练掌握合并同类项的操作，以及简单一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
