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7.将30本相同厚度的练习本叠放在一起，它们的高度为16 cm.如果将45本这样厚度的练习本叠放起来，那么新的高度是
24
cm.答案
7.24
解析
【分析】
解题时首先抓住“每本练习本厚度相同”这一不变量，叠放总高度和练习本的数量成正比。我们可以先算出1本练习本的厚度，再乘45得到45本的总高度；也可以先算出45本是30本的几倍，对应高度就是16cm的几倍，两种方法都用到有理数的乘除运算，计算时可以先约分简化计算。
【解析】
方法1：先计算单本练习本的厚度
单本厚度 = 总高度÷本数 = $16÷30=\frac{8}{15}\ \mathrm{cm}$
45本的总高度 = 单本厚度×45 = $\frac{8}{15}×45=24\ \mathrm{cm}$
方法2：利用倍数关系计算
45本是30本的倍数：$45÷30=1.5$
总高度随本数同倍数增长，新高度 = $16×1.5=24\ \mathrm{cm}$
【答案】
24
【知识点】
有理数乘除运算、比例应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是找到厚度不变的隐含条件，结合有理数四则运算就能求解，计算时优先约分可以提高运算速度和正确率。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住“每本练习本厚度相同”这一不变量，叠放总高度和练习本的数量成正比。我们可以先算出1本练习本的厚度，再乘45得到45本的总高度；也可以先算出45本是30本的几倍，对应高度就是16cm的几倍，两种方法都用到有理数的乘除运算，计算时可以先约分简化计算。
【解析】
方法1：先计算单本练习本的厚度
单本厚度 = 总高度÷本数 = $16÷30=\frac{8}{15}\ \mathrm{cm}$
45本的总高度 = 单本厚度×45 = $\frac{8}{15}×45=24\ \mathrm{cm}$
方法2：利用倍数关系计算
45本是30本的倍数：$45÷30=1.5$
总高度随本数同倍数增长，新高度 = $16×1.5=24\ \mathrm{cm}$
【答案】
24
【知识点】
有理数乘除运算、比例应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是找到厚度不变的隐含条件，结合有理数四则运算就能求解，计算时优先约分可以提高运算速度和正确率。
【难度系数】
0.9
8.用计算器计算：
(1) -4.21 - (-22.5) + (-7.25) - 29.2 =
(2) -4.375×(-0.112) - 2.321÷(-5.157) ≈
(1) -4.21 - (-22.5) + (-7.25) - 29.2 =
-18.16
；(2) -4.375×(-0.112) - 2.321÷(-5.157) ≈
0.94
(结果保留小数点后两位)答案
8.(1)-18.16 (2)0.94
解析
【分析】
（1）本题是有理数加减混合运算，解题时先根据减法法则将减法统一转化为加法，再按从左到右的顺序依次计算即可，计算时要注意符号的变化。
（2）本题是有理数四则混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，先分别计算乘法和除法，计算乘除时依据“同号得正、异号得负”确定结果符号，最后计算加法，结果保留两位小数时要先计算到第三位小数，再用四舍五入法取近似值，也可直接用计算器按运算顺序输入计算。
【解析】
（1）先化简原式符号：
$\begin{aligned}原式&=-4.21 + 22.5 - 7.25 - 29.2\\&=18.29 - 7.25 - 29.2\\&=11.04 - 29.2\\&=-18.16\end{aligned}$
（2）先计算乘除部分，再计算加减：
$\begin{aligned}原式&=4.375×0.112 + 2.321÷5.157\\&\approx0.49 + 0.450\\&\approx0.94\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18.16}$；(2) $\boldsymbol{0.94}$
【知识点】
有理数加减运算；有理数四则混合运算；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察有理数运算的符号规则和运算顺序，取近似值时要注意四舍五入的规范，熟练掌握计算器的使用可以有效提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.7
（1）本题是有理数加减混合运算，解题时先根据减法法则将减法统一转化为加法，再按从左到右的顺序依次计算即可，计算时要注意符号的变化。
（2）本题是有理数四则混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，先分别计算乘法和除法，计算乘除时依据“同号得正、异号得负”确定结果符号，最后计算加法，结果保留两位小数时要先计算到第三位小数，再用四舍五入法取近似值，也可直接用计算器按运算顺序输入计算。
【解析】
（1）先化简原式符号：
$\begin{aligned}原式&=-4.21 + 22.5 - 7.25 - 29.2\\&=18.29 - 7.25 - 29.2\\&=11.04 - 29.2\\&=-18.16\end{aligned}$
（2）先计算乘除部分，再计算加减：
$\begin{aligned}原式&=4.375×0.112 + 2.321÷5.157\\&\approx0.49 + 0.450\\&\approx0.94\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18.16}$；(2) $\boldsymbol{0.94}$
【知识点】
有理数加减运算；有理数四则混合运算；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察有理数运算的符号规则和运算顺序，取近似值时要注意四舍五入的规范，熟练掌握计算器的使用可以有效提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.7
9.如图，这是计算机的某计算程序，若开始输入$m=-1$，则最后输出的结果$n$是(
A.1
B.5
C.$-1$
D.6
B
)A.1
B.5
C.$-1$
D.6
答案
9.B
解析
【分析】
解决本题首先要理清计算程序的逻辑：先把输入的m代入指定代数式计算，再判断结果是否满足输出条件，若不满足就将计算结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果符合输出条件为止。我们按步骤依次代入初始值计算即可得到最终输出结果。
【解析】
根据该计算程序的运算规则：输入m后计算$2m+3$的值，若结果$≥4$则直接输出，若结果$＜4$则将结果作为新的m重新代入计算。
① 初始输入$m=-1$，代入计算：
$2×(-1)+3=-2+3=1$
因为$1＜4$，不满足输出条件，将1作为新的输入值；
② 第二次输入$m=1$，代入计算：
$2×1+3=2+3=5$
因为$5＞4$，满足输出条件，所以最后输出的结果$n=5$。
【答案】
B
【知识点】
有理数四则混合运算、代数式求值、程序类计算
【点评】
本题易错点是容易只计算一次就直接输出结果，忽略不满足条件时需要循环代入的步骤，解题时要仔细梳理程序的运算逻辑，避免漏算。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要理清计算程序的逻辑：先把输入的m代入指定代数式计算，再判断结果是否满足输出条件，若不满足就将计算结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果符合输出条件为止。我们按步骤依次代入初始值计算即可得到最终输出结果。
【解析】
根据该计算程序的运算规则：输入m后计算$2m+3$的值，若结果$≥4$则直接输出，若结果$＜4$则将结果作为新的m重新代入计算。
① 初始输入$m=-1$，代入计算：
$2×(-1)+3=-2+3=1$
因为$1＜4$，不满足输出条件，将1作为新的输入值；
② 第二次输入$m=1$，代入计算：
$2×1+3=2+3=5$
因为$5＞4$，满足输出条件，所以最后输出的结果$n=5$。
【答案】
B
【知识点】
有理数四则混合运算、代数式求值、程序类计算
【点评】
本题易错点是容易只计算一次就直接输出结果，忽略不满足条件时需要循环代入的步骤，解题时要仔细梳理程序的运算逻辑，避免漏算。
【难度系数】
0.8
10. 跨学科·物理一种金属棒，当温度是$20\ °\mathrm{C}$时，长5 cm，温度每降低$10\ °\mathrm{C}$，它的长度就随之缩短0.005 cm，当温度为$-10\ °\mathrm{C}$时，金属棒的长度为
4.985
cm.答案
10.4.985
解析
【分析】
解题时首先要计算出从20℃到-10℃的总降温幅度，再结合每降低10℃缩短0.005cm的规律，算出金属棒总共缩短的长度，最后用金属棒的原始长度减去缩短的总长度，即可得到-10℃时金属棒的长度。
【解析】
1. 计算温度降低的总幅度：
$20 - (-10) = 30(°\mathrm{C})$
2. 计算30℃中包含多少个10℃：
$30 ÷ 10 = 3$
3. 计算金属棒总共缩短的长度：
$3 × 0.005 = 0.015(\mathrm{cm})$
4. 计算-10℃时金属棒的长度：
$5 - 0.015 = 4.985(\mathrm{cm})$
【答案】
4.985
【知识点】
有理数减法运算，有理数混合运算，实际问题应用
【点评】
本题结合物理中金属热胀冷缩的场景考查有理数的运算应用，解题核心是准确求出温度变化量，再根据题意逐步列式计算，属于基础应用题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要计算出从20℃到-10℃的总降温幅度，再结合每降低10℃缩短0.005cm的规律，算出金属棒总共缩短的长度，最后用金属棒的原始长度减去缩短的总长度，即可得到-10℃时金属棒的长度。
【解析】
1. 计算温度降低的总幅度：
$20 - (-10) = 30(°\mathrm{C})$
2. 计算30℃中包含多少个10℃：
$30 ÷ 10 = 3$
3. 计算金属棒总共缩短的长度：
$3 × 0.005 = 0.015(\mathrm{cm})$
4. 计算-10℃时金属棒的长度：
$5 - 0.015 = 4.985(\mathrm{cm})$
【答案】
4.985
【知识点】
有理数减法运算，有理数混合运算，实际问题应用
【点评】
本题结合物理中金属热胀冷缩的场景考查有理数的运算应用，解题核心是准确求出温度变化量，再根据题意逐步列式计算，属于基础应用题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
11.运算能力 计算：
(1)$(-\dfrac{2}{3})÷\left|-5\dfrac{1}{6}\right|×6\dfrac{1}{5}-2\dfrac{1}{5}$；
(2)$-5×\left|-6×\dfrac{2}{3}\right|×(-0.2)+(-12)×(-2.5)$。
(1)$(-\dfrac{2}{3})÷\left|-5\dfrac{1}{6}\right|×6\dfrac{1}{5}-2\dfrac{1}{5}$；
(2)$-5×\left|-6×\dfrac{2}{3}\right|×(-0.2)+(-12)×(-2.5)$。
答案
(1)原式$= (-\dfrac{2}{3}) ÷ \left|-\dfrac{31}{6}\right| × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5} = (-\dfrac{2}{3}) × \dfrac{6}{31} × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5} = -\dfrac{4}{5} - \dfrac{11}{5} = -3$.
(2)原式$=-5×4×(-0.2)+12×2.5=-20×(-0.2)+30=4+30=34$.
(2)原式$=-5×4×(-0.2)+12×2.5=-20×(-0.2)+30=4+30=34$.
解析
【分析】
这两道题属于有理数四则混合运算题，解题时遵循运算顺序：先化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减，同级运算从左到右进行。
对于第(1)题：第一步先把所有带分数化为假分数，同时化简绝对值；第二步将除法运算转化为乘法运算，先约分再计算乘除部分的结果；最后计算减法得到最终结果。
对于第(2)题：第一步先计算绝对值内的乘法，再化简绝对值；第二步分别计算两个乘法项，注意根据有理数乘法符号规则判断结果符号；最后计算加法得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简带分数和绝对值：
原式$= (-\dfrac{2}{3}) ÷ \left|-\dfrac{31}{6}\right| × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5}$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$= (-\dfrac{2}{3}) × \dfrac{6}{31} × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5}$
$= -\dfrac{4}{5} - \dfrac{11}{5}$
$= -3$
(2) 先计算绝对值内的运算并化简绝对值：
原式$=-5×\left|-6×\dfrac{2}{3}\right|×(-0.2)+(-12)×(-2.5)$
$=-5×4×(-0.2)+30$
分别计算乘法项后求和：
$=4+30$
$=34$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{34}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数四则混合运算
3. 带分数与假分数互化
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时优先处理绝对值，乘除运算中先约分再计算可大幅简化计算过程，要特别注意负号参与运算时的符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数四则混合运算题，解题时遵循运算顺序：先化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减，同级运算从左到右进行。
对于第(1)题：第一步先把所有带分数化为假分数，同时化简绝对值；第二步将除法运算转化为乘法运算，先约分再计算乘除部分的结果；最后计算减法得到最终结果。
对于第(2)题：第一步先计算绝对值内的乘法，再化简绝对值；第二步分别计算两个乘法项，注意根据有理数乘法符号规则判断结果符号；最后计算加法得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简带分数和绝对值：
原式$= (-\dfrac{2}{3}) ÷ \left|-\dfrac{31}{6}\right| × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5}$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$= (-\dfrac{2}{3}) × \dfrac{6}{31} × \dfrac{31}{5} - \dfrac{11}{5}$
$= -\dfrac{4}{5} - \dfrac{11}{5}$
$= -3$
(2) 先计算绝对值内的运算并化简绝对值：
原式$=-5×\left|-6×\dfrac{2}{3}\right|×(-0.2)+(-12)×(-2.5)$
$=-5×4×(-0.2)+30$
分别计算乘法项后求和：
$=4+30$
$=34$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{34}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数四则混合运算
3. 带分数与假分数互化
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时优先处理绝对值，乘除运算中先约分再计算可大幅简化计算过程，要特别注意负号参与运算时的符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
12. 能力训练点·批判性思维 阅读下列解题过程：
计算：$-5÷(\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2})×6$.
解：原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6$ 第①步
$=-5÷1$ 第②步
$=-5$. 第③步
(1)上面的解题过程在第
(2)请写出正确的解题过程.
计算：$-5÷(\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2})×6$.
解：原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6$ 第①步
$=-5÷1$ 第②步
$=-5$. 第③步
(1)上面的解题过程在第
②
步开始出现错误，错误的原因是运算顺序错误
；(2)请写出正确的解题过程.
答案
(1)②;运算顺序错误
(2)原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6=-5×6×6=-180$.
(2)原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6=-5×6×6=-180$.
解析
【分析】
对于第(1)问，先回忆有理数乘除混合运算的规则：有括号先算括号内的，乘除是同级运算，无括号时需按从左到右的顺序依次计算。先核对给出的解题步骤：第①步先算括号内的乘法得到$\frac{1}{6}$，计算正确；第②步跳过左侧的除法，直接计算右侧$\frac{1}{6}×6=1$，不符合同级运算的顺序要求，因此错误出在第②步，错误原因是运算顺序错误。
对于第(2)问，按照正确的运算顺序，先算括号内的结果，再将除法转化为乘倒数，从左到右依次计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 逐步骤核对解题过程：
第①步计算括号内的$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，运算正确；
第②步中，乘除属于同级运算，应从左到右依次计算，该步优先计算了右侧的乘法，违反了运算顺序，因此从第②步开始出现错误，错误原因为运算顺序错误。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=-5÷(\frac{1}{3}×\frac{1}{2})×6\\&=-5÷\frac{1}{6}×6\\&=-5×6×6\\&=-180\end{aligned}$
【答案】
(1)②;运算顺序错误
(2)原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6=-5×6×6=-180$
【知识点】
有理数乘除混合运算，同级运算顺序
【点评】
本题重点考查有理数乘除混合运算的运算规则，易错点是进行同级运算时随意改变运算次序，解题时要严格按照运算规则逐步计算，避免因跳步出现运算错误。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，先回忆有理数乘除混合运算的规则：有括号先算括号内的，乘除是同级运算，无括号时需按从左到右的顺序依次计算。先核对给出的解题步骤：第①步先算括号内的乘法得到$\frac{1}{6}$，计算正确；第②步跳过左侧的除法，直接计算右侧$\frac{1}{6}×6=1$，不符合同级运算的顺序要求，因此错误出在第②步，错误原因是运算顺序错误。
对于第(2)问，按照正确的运算顺序，先算括号内的结果，再将除法转化为乘倒数，从左到右依次计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 逐步骤核对解题过程：
第①步计算括号内的$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，运算正确；
第②步中，乘除属于同级运算，应从左到右依次计算，该步优先计算了右侧的乘法，违反了运算顺序，因此从第②步开始出现错误，错误原因为运算顺序错误。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=-5÷(\frac{1}{3}×\frac{1}{2})×6\\&=-5÷\frac{1}{6}×6\\&=-5×6×6\\&=-180\end{aligned}$
【答案】
(1)②;运算顺序错误
(2)原式$=-5÷\dfrac{1}{6}×6=-5×6×6=-180$
【知识点】
有理数乘除混合运算，同级运算顺序
【点评】
本题重点考查有理数乘除混合运算的运算规则，易错点是进行同级运算时随意改变运算次序，解题时要严格按照运算规则逐步计算，避免因跳步出现运算错误。
【难度系数】
0.8
13. 中考趋势·开放性问题 “24点”游戏的规则是利用加、减、乘、除(可加括号)，将四个数进行列式运算(四个数都要用到且都只能使用1次)，使其结果为24.例如：1,2,3,4可进行如下运算：$(1+2+3)×4=24$.(注意：上述运算与$4×(2+3+1)=24$视作同一种运算)
(1)给出$－1,－3,4,4$四个数，请你写出一个算式使其结果为24；
(2)若再加入乘方计算，现给出$2,－3,－4,5$四个数，请你写出一个算式使其结果为24.
(1)给出$－1,－3,4,4$四个数，请你写出一个算式使其结果为24；
(2)若再加入乘方计算，现给出$2,－3,－4,5$四个数，请你写出一个算式使其结果为24.
答案
(1)$(-1)×(-3)×(4+4)=24$.(答案不唯一)
(2)$2^5÷(-4)×(-3)=24$.(答案不唯一)
(2)$2^5÷(-4)×(-3)=24$.(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 解第一问时，先回忆24点运算规则：四个数各用1次，通过四则运算（可加括号）凑出24。首先观察数的特征：-1和-3都是负数，负负得正，计算得$(-1)×(-3)=3$；接下来想3乘多少得24，可知需要凑出8，剩下的两个4相加刚好得8，将三步运算组合并添加合适括号即可得到算式。
(2) 解第二问时，允许使用乘方，优先尝试用乘方得到易凑24的数：观察到2和5可计算乘方$2^5=32$，接下来用32和剩余的-4、-3运算，$32÷(-4)=-8$，$-8×(-3)=24$，刚好满足要求，组合运算即可得到算式。
【解析】
(1) 先算两个负数的乘积：$(-1)×(-3)=3$，再算剩余两个4的和：$4+4=8$，最后算两者乘积：$3×8=24$，四个数均只使用1次，符合运算规则，可得对应算式，同类型合理算式均正确。
(2) 先算乘方：$2^5=32$，再依次计算除法和乘法：$32÷(-4)=-8$，$(-8)×(-3)=24$，四个数均只使用1次，符合运算规则，可得对应算式，同类型合理算式均正确。
【答案】
(1)$(-1)×(-3)×(4+4)=24$.(答案不唯一)
(2)$2^5÷(-4)×(-3)=24$.(答案不唯一)
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，24点巧算
【点评】
本题属于开放性趣味运算题，核心考查对有理数运算法则的灵活运用能力，需要熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算规律，多尝试不同的数的组合方式，就能快速找到符合要求的算式，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
(1) 解第一问时，先回忆24点运算规则：四个数各用1次，通过四则运算（可加括号）凑出24。首先观察数的特征：-1和-3都是负数，负负得正，计算得$(-1)×(-3)=3$；接下来想3乘多少得24，可知需要凑出8，剩下的两个4相加刚好得8，将三步运算组合并添加合适括号即可得到算式。
(2) 解第二问时，允许使用乘方，优先尝试用乘方得到易凑24的数：观察到2和5可计算乘方$2^5=32$，接下来用32和剩余的-4、-3运算，$32÷(-4)=-8$，$-8×(-3)=24$，刚好满足要求，组合运算即可得到算式。
【解析】
(1) 先算两个负数的乘积：$(-1)×(-3)=3$，再算剩余两个4的和：$4+4=8$，最后算两者乘积：$3×8=24$，四个数均只使用1次，符合运算规则，可得对应算式，同类型合理算式均正确。
(2) 先算乘方：$2^5=32$，再依次计算除法和乘法：$32÷(-4)=-8$，$(-8)×(-3)=24$，四个数均只使用1次，符合运算规则，可得对应算式，同类型合理算式均正确。
【答案】
(1)$(-1)×(-3)×(4+4)=24$.(答案不唯一)
(2)$2^5÷(-4)×(-3)=24$.(答案不唯一)
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，24点巧算
【点评】
本题属于开放性趣味运算题，核心考查对有理数运算法则的灵活运用能力，需要熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算规律，多尝试不同的数的组合方式，就能快速找到符合要求的算式，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
