7. (2024·赤峰)如图，AD是$\odot O$的直径，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$，连接CD，交OB于点E，$∠ BOC=42°$，则$∠ OED$的度数是 （ ）
A. $61°$
B. $63°$
C. $65°$
D. $67°$

B

8.(2024·陕西)如图,BC是$\odot O$的弦,连接OB,OC,$∠A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,则$∠A$与$∠OBC$的和的度数是______．

$90^{\circ}$

9. 在直径为10 cm的$\odot O$中，弦$AB=5\ \mathrm{cm}$，则弦AB所对的圆周角的度数是________．

$30^{\circ}$或$150^{\circ}$

10.(2024·沭阳模拟)如图,菱形ABCD的顶点A,D都在$\odot O$上,且$∠OAD=12°$,设AC与$\odot O$交于点E,则$∠AEB$的度数是________.

$78^{\circ}$

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，连接DO并延长交$\odot O$于点F，连接AF，$∠ AFD=∠ CDF$。
(1)求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$；
(2)连接AC，若$AB=12$，求AC的长。

第11题图

; 证明：​$(1)$​∵​$AB$​为​$\odot O$​的直径，​$CD\perp AB，$​∴​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AD}。$​ ∵​$∠AFD=∠CDF，$​∴​$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{CF}，$​∴​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{CF}。$​​$ (2)$​解：如图，连接​$OC。$​ ∵​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{CF}=\overset {\frown }{AD}，$​ ∴​$∠AOD=∠AOC=∠COF。$​ ∵​$DF $​是直径， ∴​$∠AOD=∠AOC=∠COF = 60°，$​​$ $​又​$OA = OC，$​ ∴​$\triangle AOC$​是等边三角形， ∴​$AC = AO=\frac {1}{2}AB = 6。$​

12. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE//AD交△ABC的外接圆⊙O于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AECD为平行四边形;
(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.

第12题图

; 证明：​$ (1)$​由圆周角定理得​$∠B=∠E，$​又​$∠B=∠D，$​ ∴​$∠E=∠D。$​∵​$CE// AD，$​∴​$∠D+∠ECD = 180°，$​ ∴​$∠E+∠ECD = 180°，$​∴​$AE// CD，$​∴四边形​$AECD$​为平行四边形。​$ (2)$​如图，连接​$OE，$​​$OB。$​ ∵四边形​$AECD$​为平行四边形，∴​$AD = CE。$​ 又∵​$AD = BC，$​∴​$CE = CB。$​ ∵​$OC = OC，$​​$OE = OB，$
​∴​$\triangle COE\cong \triangle COB，$​ ∴​$∠OCE=∠OCB，$​即​$CO$​平分​$∠BCE。$​