2025年勤学早课时导练八年级数学上册人教版第88页答案
1. (教材变式)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ \angle C = 30^{\circ} $, $ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ BC $ 于点 $ E $,试探究 $ BE $ 与 $ CE $ 之间的数量关系。

答案

解：连接 AE.
∵ DE 垂直平分 AB，
∴ BE = AE.
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = ∠BAE = 30°，
∴ ∠AEC = 60°，
∠EAC = 90°，
∴ CE = 2AE = 2BE.
2. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle B = 90^{\circ} $, $ DC // AB $, $ AC $ 平分 $ \angle BAD $, $ \angle DAB = 30^{\circ} $。求证： $ AD = 2BC $。

答案

证明：过点 C 作 CE ⊥ AD 交 AD 的延长线于点 E.
∵ AC 平分 ∠BAD，∠DAB = 30°，
∴ ∠DAC = ∠BAC = 15°，
CE = CB.
∵ DC // AB，
∴ ∠DCA = ∠BAC = ∠DAC = 15°，
∴ ∠CDE = 30°，
∴ AD = CD = 2CE = 2BC.
3. 如图, $ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线, $ CD \perp CB $, $ \angle ACD = 30^{\circ} $。求证： $ AC = 2BC $。

答案

证明：过点 A 作 AE ⊥ CD 交 CD 的延长线于点 E，
∴ ∠E = 90°，AC = 2AE.
∵ CD ⊥ CB，
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∴ ∠BCD = ∠E = 90°.
∵ CD 是 △ABC 的中线，
∴ AD = BD.
∵ ∠ADE = ∠BDC，
∴ △ADE ≌ △BDC (AAS)，
∴ AE = BC，
∴ AC = 2BC.
4. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle A = \angle B = 60^{\circ} $, $ \angle BCD = 90^{\circ} $, $ AB = 5 $, $ BC = 4 $。求 $ AD $ 的长。

答案

证明：延长 AD，BC 交于点 E.
∵ ∠A = ∠B = 60°，
∴ ∠E = 60°，
即 ∠A = ∠B = ∠E，
∴ △ABE 为等边三角形，
∴ AB = BE = AE = 5.
∵ BC = 4，
∴ CE = 1.
∵ ∠BCD = 90°，
∴ ∠CDE = 30°，
∴ DE = 2CE = 2，
∴ AD = AE - DE = 3.