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6. (2024烟台中考改)某公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利$200$元时,每天可售出$60$辆;单价每降低$10$元,每天可多售出$4$辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于$180$元.设每辆轮椅降价$x$元,每天的销售利润为$y$元.
(1)每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润$12160$元,请问这天售出了多少辆轮椅?
(1)每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润$12160$元,请问这天售出了多少辆轮椅?
答案
解：(1)$ y = ( 200 - x ) ( 60 + 4 \times \frac { x } { 10 } ) = - 0.4 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 12250 $.
$ \because - 0.4 ＜ 0 $，
$ \therefore $当$ x ＜ 25 $时，
$ y $随$ x $的增大而增大.
$ \because 200 - x \geq 180 $，$ \therefore x \leq 20 $.
$ \therefore $当$ x = 20 $时，利润最大，最大利润为12240元；
(2)由$ 12160 = - 0.4 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 12250 $，解得$ x _ { 1 } = 40 $（不合题意，舍去），$ x _ { 2 } = 10 $.
$ \therefore $售出轮椅的辆数为：
$ 60 + 4 \times \frac { 10 } { 10 } = 64 $（辆）.
答：这天售出了64辆轮椅.
$ \because - 0.4 ＜ 0 $，
$ \therefore $当$ x ＜ 25 $时，
$ y $随$ x $的增大而增大.
$ \because 200 - x \geq 180 $，$ \therefore x \leq 20 $.
$ \therefore $当$ x = 20 $时，利润最大，最大利润为12240元；
(2)由$ 12160 = - 0.4 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 12250 $，解得$ x _ { 1 } = 40 $（不合题意，舍去），$ x _ { 2 } = 10 $.
$ \therefore $售出轮椅的辆数为：
$ 60 + 4 \times \frac { 10 } { 10 } = 64 $（辆）.
答：这天售出了64辆轮椅.
7. (2024青岛中考改)为了解樱桃的收益情况,从第$1$天销售开始,小明对自己家的两处樱桃园连续$15$天的销售情况进行了统计与分析:
A樱桃园
第$x$天的单价、销售量与$x$的关系如表:
第$x天的单价与x$近似地满足一次函数关系,已知A樱桃园每天的固定成本为$745$元.
(1)A樱桃园第$x$天的单价是____元/盒(用含$x$的代数式表示);
(2)直接写出A樱桃园第$x天的利润y_{1}$(元)与$x$的函数关系式;
(3)①$y_{2}与x$的函数关系式是____;
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即$y_{1}+y_{2}$)最大? 最大是多少元?
B樱桃园
第$x天的利润y_{2}$(元)与$x的关系可以近似地用二次函数y_{2}= ax^{2}+bx+25$刻画,其图象如图:
A樱桃园
第$x$天的单价、销售量与$x$的关系如表:
第$x天的单价与x$近似地满足一次函数关系,已知A樱桃园每天的固定成本为$745$元.
(1)A樱桃园第$x$天的单价是____元/盒(用含$x$的代数式表示);
(2)直接写出A樱桃园第$x天的利润y_{1}$(元)与$x$的函数关系式;
(3)①$y_{2}与x$的函数关系式是____;
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即$y_{1}+y_{2}$)最大? 最大是多少元?
B樱桃园
第$x天的利润y_{2}$(元)与$x的关系可以近似地用二次函数y_{2}= ax^{2}+bx+25$刻画,其图象如图:
答案
解：(1)设第$ x $天的单价$ m = k x + b $，
则$ \left\{ \begin{array} { l } { k + b = 50 }, \\ { 2 k + b = 48 }, \end{array} \right. $解得$ \left\{ \begin{array} { l } { k = - 2 }, \\ { b = 52 }, \end{array} \right. $
$ \therefore m = - 2 x + 52 $；
(2)$ y _ { 1 } = ( - 2 x + 52 ) ( 10 x + 10 ) - 745 = - 20 x ^ { 2 } + 500 x - 225 $；
(3)①由$ \left\{ \begin{array} { l } { a + b + 25 = 495 }, \\ { 4 a + 2 b + 25 = 905 }, \end{array} \right. $
解得$ \left\{ \begin{array} { l } { a = - 30 }, \\ { b = 500 }, \end{array} \right. $
$ \therefore y _ { 2 } = - 30 x ^ { 2 } + 500 x + 25 $；
②$ y _ { 1 } + y _ { 2 } = ( - 20 x ^ { 2 } + 500 x - 225 ) + ( - 30 x ^ { 2 } + 500 x + 25 ) = - 50 ( x - 10 ) ^ { 2 } + 4800 $，
$ \because - 50 ＜ 0 $，$ \therefore $当$ x = 10 $时，
$ y _ { 1 } + y _ { 2 } $有最大值4800，
$ \therefore $第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元.
则$ \left\{ \begin{array} { l } { k + b = 50 }, \\ { 2 k + b = 48 }, \end{array} \right. $解得$ \left\{ \begin{array} { l } { k = - 2 }, \\ { b = 52 }, \end{array} \right. $
$ \therefore m = - 2 x + 52 $；
(2)$ y _ { 1 } = ( - 2 x + 52 ) ( 10 x + 10 ) - 745 = - 20 x ^ { 2 } + 500 x - 225 $；
(3)①由$ \left\{ \begin{array} { l } { a + b + 25 = 495 }, \\ { 4 a + 2 b + 25 = 905 }, \end{array} \right. $
解得$ \left\{ \begin{array} { l } { a = - 30 }, \\ { b = 500 }, \end{array} \right. $
$ \therefore y _ { 2 } = - 30 x ^ { 2 } + 500 x + 25 $；
②$ y _ { 1 } + y _ { 2 } = ( - 20 x ^ { 2 } + 500 x - 225 ) + ( - 30 x ^ { 2 } + 500 x + 25 ) = - 50 ( x - 10 ) ^ { 2 } + 4800 $，
$ \because - 50 ＜ 0 $，$ \therefore $当$ x = 10 $时，
$ y _ { 1 } + y _ { 2 } $有最大值4800，
$ \therefore $第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元.
