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例1 计算：
(1) $(-\frac{1}{2}ab)(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab + \frac{4}{3}b)$；
(2) $(-\frac{1}{3}xy + \frac{3}{2}y^2 - x^2)(-6xy^2)$；
(3) $(\frac{3}{2}a^2 + ab - 0.6b^2)(-\frac{4}{3}a^2b^2)$；
【思路导析】将单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加，要注意多项式的每一项包含该项前面的符号。
【请你解答】
(1) $(-\frac{1}{2}ab)(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab + \frac{4}{3}b)$；
(2) $(-\frac{1}{3}xy + \frac{3}{2}y^2 - x^2)(-6xy^2)$；
(3) $(\frac{3}{2}a^2 + ab - 0.6b^2)(-\frac{4}{3}a^2b^2)$；
【思路导析】将单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加，要注意多项式的每一项包含该项前面的符号。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$= (-\frac{1}{2}ab)·\frac{2}{3}ab^2 + (-\frac{1}{2}ab)·(-2ab) + (-\frac{1}{2}ab)·\frac{4}{3}b$
$= -\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) 原式$= (-\frac{1}{3}xy)·(-6xy^2) + \frac{3}{2}y^2·(-6xy^2) + (-x^2)·(-6xy^2)$
$= 2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) 原式$= \frac{3}{2}a^2·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + ab·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + (-0.6b^2)·(-\frac{4}{3}a^2b^2)$
$= -2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
(1) 原式$= (-\frac{1}{2}ab)·\frac{2}{3}ab^2 + (-\frac{1}{2}ab)·(-2ab) + (-\frac{1}{2}ab)·\frac{4}{3}b$
$= -\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) 原式$= (-\frac{1}{3}xy)·(-6xy^2) + \frac{3}{2}y^2·(-6xy^2) + (-x^2)·(-6xy^2)$
$= 2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) 原式$= \frac{3}{2}a^2·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + ab·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + (-0.6b^2)·(-\frac{4}{3}a^2b^2)$
$= -2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
解析
【分析】
这三道题均属于单项式乘多项式的运算题型，解题核心依据乘法分配律。思考步骤如下：首先明确单项式以及多项式的每一项（注意每一项要包含自身前面的符号）；其次用单项式分别乘以多项式的每一项，计算单个乘积时按照单项式乘单项式的规则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，单独出现的字母连同指数直接保留；最后把所有乘积相加得到最终结果，运算过程中要注意符号判断：同号相乘得正，异号相乘得负。
【解析】
(1) 根据乘法分配律展开运算：
原式$= (-\frac{1}{2}ab)·\frac{2}{3}ab^2 + (-\frac{1}{2}ab)·(-2ab) + (-\frac{1}{2}ab)·\frac{4}{3}b$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$，同底数幂计算得$a^2b^3$，即$-\frac{1}{3}a^2b^3$；
第二项系数计算$-\frac{1}{2}×(-2)=1$，同底数幂计算得$a^2b^2$，即$a^2b^2$；
第三项系数计算$-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$，同底数幂计算得$ab^2$，即$-\frac{2}{3}ab^2$；
合并得结果：$= -\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) 同理展开运算：
原式$= (-\frac{1}{3}xy)·(-6xy^2) + \frac{3}{2}y^2·(-6xy^2) + (-x^2)·(-6xy^2)$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$(-\frac{1}{3})×(-6)=2$，同底数幂计算得$x^2y^3$，即$2x^2y^3$；
第二项系数计算$\frac{3}{2}×(-6)=-9$，同底数幂计算得$xy^4$，即$-9xy^4$；
第三项系数计算$(-1)×(-6)=6$，同底数幂计算得$x^3y^2$，即$6x^3y^2$；
合并得结果：$= 2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) 展开运算：
原式$= \frac{3}{2}a^2·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + ab·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + (-0.6b^2)·(-\frac{4}{3}a^2b^2)$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$\frac{3}{2}×(-\frac{4}{3})=-2$，同底数幂计算得$a^4b^2$，即$-2a^4b^2$；
第二项系数计算$1×(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}$，同底数幂计算得$a^3b^3$，即$-\frac{4}{3}a^3b^3$；
第三项先将0.6转化为$\frac{3}{5}$，系数计算$(-\frac{3}{5})×(-\frac{4}{3})=\frac{4}{5}$，同底数幂计算得$a^2b^4$，即$\frac{4}{5}a^2b^4$；
合并得结果：$= -2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
【答案】
(1) $-\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) $2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) $-2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查乘法分配律的应用和单项式乘法的运算能力，解题的易错点是忽略多项式项的符号、漏乘某一项，或者同底数幂指数计算错误，熟练掌握运算规则即可轻松解决。
【难度系数】
0.75
这三道题均属于单项式乘多项式的运算题型，解题核心依据乘法分配律。思考步骤如下：首先明确单项式以及多项式的每一项（注意每一项要包含自身前面的符号）；其次用单项式分别乘以多项式的每一项，计算单个乘积时按照单项式乘单项式的规则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，单独出现的字母连同指数直接保留；最后把所有乘积相加得到最终结果，运算过程中要注意符号判断：同号相乘得正，异号相乘得负。
【解析】
(1) 根据乘法分配律展开运算：
原式$= (-\frac{1}{2}ab)·\frac{2}{3}ab^2 + (-\frac{1}{2}ab)·(-2ab) + (-\frac{1}{2}ab)·\frac{4}{3}b$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$，同底数幂计算得$a^2b^3$，即$-\frac{1}{3}a^2b^3$；
第二项系数计算$-\frac{1}{2}×(-2)=1$，同底数幂计算得$a^2b^2$，即$a^2b^2$；
第三项系数计算$-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$，同底数幂计算得$ab^2$，即$-\frac{2}{3}ab^2$；
合并得结果：$= -\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) 同理展开运算：
原式$= (-\frac{1}{3}xy)·(-6xy^2) + \frac{3}{2}y^2·(-6xy^2) + (-x^2)·(-6xy^2)$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$(-\frac{1}{3})×(-6)=2$，同底数幂计算得$x^2y^3$，即$2x^2y^3$；
第二项系数计算$\frac{3}{2}×(-6)=-9$，同底数幂计算得$xy^4$，即$-9xy^4$；
第三项系数计算$(-1)×(-6)=6$，同底数幂计算得$x^3y^2$，即$6x^3y^2$；
合并得结果：$= 2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) 展开运算：
原式$= \frac{3}{2}a^2·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + ab·(-\frac{4}{3}a^2b^2) + (-0.6b^2)·(-\frac{4}{3}a^2b^2)$
分别计算每一项乘积：
第一项系数计算$\frac{3}{2}×(-\frac{4}{3})=-2$，同底数幂计算得$a^4b^2$，即$-2a^4b^2$；
第二项系数计算$1×(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}$，同底数幂计算得$a^3b^3$，即$-\frac{4}{3}a^3b^3$；
第三项先将0.6转化为$\frac{3}{5}$，系数计算$(-\frac{3}{5})×(-\frac{4}{3})=\frac{4}{5}$，同底数幂计算得$a^2b^4$，即$\frac{4}{5}a^2b^4$；
合并得结果：$= -2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
【答案】
(1) $-\frac{1}{3}a^2b^3 + a^2b^2 - \frac{2}{3}ab^2$
(2) $2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2$
(3) $-2a^4b^2 - \frac{4}{3}a^3b^3 + \frac{4}{5}a^2b^4$
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查乘法分配律的应用和单项式乘法的运算能力，解题的易错点是忽略多项式项的符号、漏乘某一项，或者同底数幂指数计算错误，熟练掌握运算规则即可轻松解决。
【难度系数】
0.75
例2 计算：
$2a(a^2 + 3a - 2) - 3(a^3 + 2a^2 - a + 1).$
【思路导析】先将单项式乘多项式去掉括号，然后移项，再合并同类项进行化简。
【请你解答】
$2a(a^2 + 3a - 2) - 3(a^3 + 2a^2 - a + 1).$
【思路导析】先将单项式乘多项式去掉括号，然后移项，再合并同类项进行化简。
【请你解答】
答案
解：
原式$=2a· a^2 + 2a· 3a + 2a· (-2) - 3· a^3 - 3· 2a^2 - 3· (-a) - 3×1$
$=2a^3 + 6a^2 - 4a - 3a^3 - 6a^2 + 3a - 3$
$=(2a^3 - 3a^3) + (6a^2 - 6a^2) + (-4a + 3a) - 3$
$=-a^3 - a - 3$
原式$=2a· a^2 + 2a· 3a + 2a· (-2) - 3· a^3 - 3· 2a^2 - 3· (-a) - 3×1$
$=2a^3 + 6a^2 - 4a - 3a^3 - 6a^2 + 3a - 3$
$=(2a^3 - 3a^3) + (6a^2 - 6a^2) + (-4a + 3a) - 3$
$=-a^3 - a - 3$
解析
【分析】
本题考查整式的化简运算，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的法则去掉括号，运算时要注意括号前的系数符号，若系数为负，乘括号内各项时都要变号；去括号完成后，找出式子中的同类项，再按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，最终得到化简结果。
【解析】
解：
原式$=2a· a^2 + 2a· 3a + 2a· (-2) - 3· a^3 - 3· 2a^2 - 3· (-a) - 3×1$
$=2a^3 + 6a^2 - 4a - 3a^3 - 6a^2 + 3a - 3$
$=(2a^3 - 3a^3) + (6a^2 - 6a^2) + (-4a + 3a) - 3$
$=-a^3 - a - 3$
【答案】
$-a^3 - a - 3$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的易错点是去括号时的符号处理，只要掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的化简运算，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的法则去掉括号，运算时要注意括号前的系数符号，若系数为负，乘括号内各项时都要变号；去括号完成后，找出式子中的同类项，再按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，最终得到化简结果。
【解析】
解：
原式$=2a· a^2 + 2a· 3a + 2a· (-2) - 3· a^3 - 3· 2a^2 - 3· (-a) - 3×1$
$=2a^3 + 6a^2 - 4a - 3a^3 - 6a^2 + 3a - 3$
$=(2a^3 - 3a^3) + (6a^2 - 6a^2) + (-4a + 3a) - 3$
$=-a^3 - a - 3$
【答案】
$-a^3 - a - 3$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的易错点是去括号时的符号处理，只要掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
例3 先化简，再求值.
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$，其中$x=-1$；
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$，其中$x=\sqrt{3}$.
【思路导析】先利用乘法的计算法则将多项式化简，然后代入求值.
【示范解答】
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$.
当$x=-1$时，原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2=3 - 1 + 1=3$.
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$.
当$x=\sqrt{3}$时，原式$=(\sqrt{3})^2 + 1=4$.
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$，其中$x=-1$；
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$，其中$x=\sqrt{3}$.
【思路导析】先利用乘法的计算法则将多项式化简，然后代入求值.
【示范解答】
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$.
当$x=-1$时，原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2=3 - 1 + 1=3$.
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$.
当$x=\sqrt{3}$时，原式$=(\sqrt{3})^2 + 1=4$.
答案
解：
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$
当$x=-1$时，
原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2$
$=3 - 1 + 1$
$=3$
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$
当$x=\sqrt{3}$时，
原式$=(\sqrt{3})^2 + 1$
$=3 + 1$
$=4$
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$
当$x=-1$时，
原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2$
$=3 - 1 + 1$
$=3$
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$
当$x=\sqrt{3}$时，
原式$=(\sqrt{3})^2 + 1$
$=3 + 1$
$=4$
解析
【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，按照“先化简，再求值”的思路求解：第一步先运用单项式乘多项式的运算法则，用单项式依次乘多项式的每一项，运算时注意不要漏乘项、不要搞错符号；第二步将展开后式子中的同类项合并，得到最简整式；第三步将给定的未知数的值代入最简整式中，按乘方、加减的运算顺序计算最终结果，这种方法比直接代入原式计算运算量更小，出错概率更低。
【解析】
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$
当$x=-1$时，
原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2$
$=3 - 1 + 1$
$=3$
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$
当$x=\sqrt{3}$时，
原式$=(\sqrt{3})^2 + 1$
$=3 + 1$
$=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题型，重点考查整式乘法的运算规则和合并同类项的方法，化简时要注意符号变化，不要漏乘多项式的项，代入求值时准确掌握乘方运算性质，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式化简求值类题目，按照“先化简，再求值”的思路求解：第一步先运用单项式乘多项式的运算法则，用单项式依次乘多项式的每一项，运算时注意不要漏乘项、不要搞错符号；第二步将展开后式子中的同类项合并，得到最简整式；第三步将给定的未知数的值代入最简整式中，按乘方、加减的运算顺序计算最终结果，这种方法比直接代入原式计算运算量更小，出错概率更低。
【解析】
(1) $3x^2(2x^2 - x + 1) - x(3x^3 - 4x^2 + 2x)$
$=6x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^4 + 4x^3 - 2x^2$
$=3x^4 + x^3 + x^2$
当$x=-1$时，
原式$=3×(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2$
$=3 - 1 + 1$
$=3$
(2) $x^2(3 - x) + x(x^2 - 2x) + 1$
$=3x^2 - x^3 + x^3 - 2x^2 + 1$
$=x^2 + 1$
当$x=\sqrt{3}$时，
原式$=(\sqrt{3})^2 + 1$
$=3 + 1$
$=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题型，重点考查整式乘法的运算规则和合并同类项的方法，化简时要注意符号变化，不要漏乘多项式的项，代入求值时准确掌握乘方运算性质，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
如果一个三角形的底边长为$2x^2y + xy - y^2$，底边上的高为$6xy$，那么这个三角形的面积为()
A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^2y^2 + 3xy - 3xy^2$
C.$6x^2y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^2y + 3x^2y^2$
A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^2y^2 + 3xy - 3xy^2$
C.$6x^2y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^2y + 3x^2y^2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形的面积计算公式：三角形面积=1/2×底×底边上的高。接下来把题目给出的底和高代入公式，再按照整式的乘法法则计算即可。计算时要遵循单项式乘多项式的运算规则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，同时同底数幂相乘时要注意底数不变、指数相加，也要留意各项的符号不要出错。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×底×高$
$=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy$
先计算常数项与单项式的乘积：$\frac{1}{2}×6xy=3xy$
则原式转化为：$3xy·(2x^2y + xy - y^2)$
根据单项式乘多项式法则展开计算：
$=3xy·2x^2y + 3xy·xy + 3xy·(-y^2)$
分别计算每一项：
$3xy·2x^2y=6x^3y^2$，
$3xy·xy=3x^2y^2$，
$3xy·(-y^2)=-3xy^3$
合并结果得：$S=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法和几何面积计算的结合基础题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，计算时注意不要漏乘多项式的每一项，也要留意负号和同底数幂的指数运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆三角形的面积计算公式：三角形面积=1/2×底×底边上的高。接下来把题目给出的底和高代入公式，再按照整式的乘法法则计算即可。计算时要遵循单项式乘多项式的运算规则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，同时同底数幂相乘时要注意底数不变、指数相加，也要留意各项的符号不要出错。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×底×高$
$=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy$
先计算常数项与单项式的乘积：$\frac{1}{2}×6xy=3xy$
则原式转化为：$3xy·(2x^2y + xy - y^2)$
根据单项式乘多项式法则展开计算：
$=3xy·2x^2y + 3xy·xy + 3xy·(-y^2)$
分别计算每一项：
$3xy·2x^2y=6x^3y^2$，
$3xy·xy=3x^2y^2$，
$3xy·(-y^2)=-3xy^3$
合并结果得：$S=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法和几何面积计算的结合基础题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，计算时注意不要漏乘多项式的每一项，也要留意负号和同底数幂的指数运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
