1.如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若$EF=AF$，$BE=7.5$，$CF=6$，则EF的长度为().


A.2.5
B.2
C.1.5
D.1

C

【分析】
本题是三角形中线相关的边长计算问题，解题思路如下：首先看到AD是△ABC的中线，优先考虑用倍长中线法构造全等三角形，实现边和角的转移；接着结合已知EF=AF得到角相等的关系，通过等量代换推导得出等腰三角形，得到边的等量关系；最后设EF的长度为未知数，根据边的和差关系列方程求解即可。
【解析】
解：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△BDG和△CDA中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ BDG=∠ CDA\\ DG=AD\end{array} $
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG=AC，∠G=∠CAD。
设EF的长度为$x$，
∵EF=AF，
∴AF=$x$，∠CAD=∠AEF。
又
∵∠AEF=∠BEG（对顶角相等），
∴∠G=∠BEG，
∴BG=BE（等角对等边）。
∵AC=AF+CF=$x+6$，BE=7.5，且BG=AC，
∴$x+6=7.5$，
解得$x=1.5$，即EF的长度为1.5。
【答案】
C
【知识点】
倍长中线辅助线作法；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，核心是通过倍长中线构造全等完成边的转化，结合等腰三角形的性质建立等量关系，掌握中线相关的辅助线作法是解题的关键。
【难度系数】
0.6

2.【观察发现】(1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=7$,$AC=5$,点$D$为$BC$的中点,求$AD$的取值范围.
小明的解法如下:延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$CE$.
在$△ ABD$与$△ ECD$中,$\{\begin{array}{l} BD=DC, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=DE, \end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AB=$.
又$\because$在$△ AEC$中,$EC-AC＜AE＜EC+AC$,$AB=EC=7$,$AC=5$,
$\therefore$$＜AE＜$.
又$\because AE=2AD$,
$\therefore$$＜AD＜$.
【探索应用】(2)如图②,$AB// CD$,$AB=25$,$CD=8$,点$E$为$BC$的中点,$∠ DFE=∠ BAE$,则$DF$的长为.

解：(1)
由$△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，可得$AB=\boldsymbol{EC}$。
在$△ AEC$中，$EC-AC＜AE＜EC+AC$，$EC=7$，$AC=5$，
$\therefore 7-5＜AE＜7+5$，即$\boldsymbol{2}＜AE＜\boldsymbol{12}$。
又$\because AE=2AD$，
$\therefore \boldsymbol{1}＜AD＜\boldsymbol{6}$。
(2)
延长$AE$交$CD$的延长线于点$G$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ G$，$∠ B=∠ ECG$。
$\because E$为$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$。
在$△ ABE$和$△ GCE$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ G \\∠ B=∠ ECG \\BE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ GCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CG=25$。
$\because CG=CD+DG$，$CD=8$，
$\therefore DG=CG-CD=25-8=17$。
又$\because ∠ DFE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ DFE=∠ G$，
$\therefore DF=DG=17$。
答案依次为：$EC$；$2$；$12$；$1$；$6$；$\boldsymbol{17}$。

【分析】
(1) 遇到三角形中线相关的边长范围问题，可使用倍长中线法构造全等三角形，将已知边AB转化为与之相等的EC，把AB、AC和2倍AD放入同一个三角形中，再利用三角形三边关系先求出AE的取值范围，最后结合AE=2AD推导AD的取值范围。
(2) 已知点E是BC中点，可类比倍长中线的思路，延长AE交CD延长线于G，利用平行线的性质得到相等的内错角，结合中点条件证明三角形全等，将AB转化为CG，求出DG长度后，再根据等角对等边的性质推出DF=DG即可求解。
【解析】
(1) 延长AD到点E，使DE=AD，连接CE。
在$△ ABD$与$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=DC \\ ∠ ADB=∠ EDC \\ AD=DE \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=EC$。
在$△ AEC$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$EC-AC＜AE＜EC+AC$，
代入$EC=AB=7$，$AC=5$，得$7-5＜AE＜7+5$，即$2＜AE＜12$。
又$\because AE=2AD$，
$\therefore 1＜AD＜6$。
(2) 延长AE交CD的延长线于点G。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ G$，$∠ B=∠ ECG$（两直线平行，内错角相等）。
$\because E$为$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$。
在$△ ABE$和$△ GCE$中，
$\begin{cases} ∠ BAE=∠ G \\ ∠ B=∠ ECG \\ BE=CE \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ GCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CG=25$。
$\because CG=CD+DG$，$CD=8$，
$\therefore DG=CG-CD=25-8=17$。
又$\because ∠ DFE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ DFE=∠ G$，
$\therefore DF=DG=17$。
【答案】
(1) $EC$；$2$；$12$；$1$；$6$
(2) $17$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，核心考查中点类问题的常用构造方法“倍长中线法”，通过构造全等实现边、角的转化，再结合相关几何性质求解，掌握构造全等的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

3.如图，$AB=AC$，$AB⊥ AC$，$AD=AE$，$AD⊥ AE$，$M$为$BD$的中点，$AM$交$CE$于$N$，求证：$CE=2AM$.

证明：
延长AM至点F，使$MF=AM$，连接BF。
∵ M为BD的中点，
∴ $DM=BM$。
在$△ ADM$和$△ FBM$中，
$\begin{cases}AM=FM \\∠ AMD=∠ FMB \\DM=BM\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ FBM$（SAS）。
∴ $AD=BF$，$∠ D=∠ DBF$。
∵ $AD=AE$，
∴ $BF=AE$。
∵ $AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
∴ $∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 360° - ∠ BAC - ∠ DAE = 180°$。
在$△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ D + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ ABF = ∠ ABD + ∠ DBF = ∠ ABD + ∠ D = 180° - ∠ BAD$，
∴ $∠ ABF = ∠ CAE$。
在$△ ABF$和$△ CAE$中，
$\begin{cases}AB=CA \\∠ ABF=∠ CAE \\BF=AE\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CAE$（SAS）。
∴ $AF=CE$。
又∵ $AF=AM+MF=2AM$，
∴ $CE=2AM$。

【分析】
要证明CE=2AM，这类线段倍分关系的证明，当题目出现中点条件时，最常用的方法是倍长中线法：将中线AM延长一倍，把2AM转化为一条独立的线段AF，接下来只需证明AF和CE相等即可。具体推导思路：首先利用中点和对顶角相等，证明延长线构造出的△ADM和△FBM全等，得到AD=BF以及角的等量关系；再结合已知的两组垂直条件，推导角之间的和差关系，得到△ABF和△CAE的一组对应角相等；最后结合已知的AB=AC、AD=AE的条件，证明△ABF和△CAE全等，得到AF=CE，即可推出要证的结论。
【解析】
证明：
延长AM至点F，使$MF=AM$，连接BF。
∵ M为BD的中点，
∴ $DM=BM$。
在$△ ADM$和$△ FBM$中，
$\begin{cases}AM=FM \\∠ AMD=∠ FMB \\DM=BM\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ FBM$（SAS）。
∴ $AD=BF$，$∠ D=∠ DBF$。
∵ $AD=AE$，
∴ $BF=AE$。
∵ $AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
∴ $∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 360° - ∠ BAC - ∠ DAE = 180°$。
在$△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ D + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ ABF = ∠ ABD + ∠ DBF = ∠ ABD + ∠ D = 180° - ∠ BAD$，
∴ $∠ ABF = ∠ CAE$。
在$△ ABF$和$△ CAE$中，
$\begin{cases}AB=CA \\∠ ABF=∠ CAE \\BF=AE\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CAE$（SAS）。
∴ $AF=CE$。
又
∵ $AF=AM+MF=2AM$，
∴ $CE=2AM$。
【答案】
$CE=2AM$，证明过程如上。
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题是几何中线段倍分关系证明的常见题型，解题关键是根据中点条件合理选用倍长中线的辅助线构造全等，将待证的倍分关系转化为线段相等的证明，能有效锻炼逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6

4.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,E是BC的中点,AF与DC的延长线交于点F.若AE是∠BAF的角平分线,试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明.

解：线段AB，AF，CF之间的数量关系为$\boldsymbol{AB=AF+CF}$，证明如下：
延长AE，交DC的延长线于点G。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ G$。
$\because E$是BC的中点，
$\therefore BE = CE$。
在$△ ABE$和$△ GCE$中：
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ G \\∠ AEB = ∠ GEC \\BE = CE\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ GCE \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB = GC$。
$\because AE$是$∠ BAF$的角平分线，
$\therefore ∠ BAE = ∠ FAE$。
又$\because ∠ BAE = ∠ G$，
$\therefore ∠ FAE = ∠ G$，
$\therefore AF = FG$。
$\because GC = FG + CF$，
$\therefore AB = AF + CF$。

【分析】
要探究AB、AF、CF三条线段的数量关系，观察发现三条线段位置分散，可结合已知条件构造全等转化线段：首先由AB//CD、E是BC中点的条件，考虑延长AE交DC的延长线于点G，构造“X”型全等三角形，将AB转化为与AF、CF共线的GC；再结合AE是角平分线的条件，利用平行线的内错角相等推导角相等，得到等腰三角形，将AF转化为FG；最后通过线段的和差关系即可推出三者的数量关系。
【解析】
线段AB，AF，CF之间的数量关系为$\boldsymbol{AB=AF+CF}$，证明如下：
延长AE，交DC的延长线于点G。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BAE = ∠G$（两直线平行，内错角相等）。
$\because E$是BC的中点，
$\therefore BE = CE$。
在$△ABE$和$△GCE$中：
$\begin{cases}∠BAE = ∠G \\∠AEB = ∠GEC（对顶角相等） \\BE = CE\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △GCE \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB = GC$（全等三角形对应边相等）。
$\because AE$是$∠BAF$的角平分线，
$\therefore ∠BAE = ∠FAE$（角平分线定义）。
又$\because ∠BAE = ∠G$，
$\therefore ∠FAE = ∠G$，
$\therefore AF = FG$（等角对等边）。
$\because GC = FG + CF$，
$\therefore AB = AF + CF$。
【答案】
$\boldsymbol{AB=AF+CF}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差探究类的典型几何题，解题的核心是通过构造全等三角形将位置分散的线段转化到同一直线上，再结合角平分线、平行线的性质推导等腰三角形，最终通过线段和差得到结论，很好地考察了几何综合推理能力和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7