三、解答题
1. 如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后使得点B与点C重合.
(1)图中是否存在全等三角形?若存在,请写出两个全等的三角形,并写出它们的对应边及对应角;
(2)求∠PAQ的度数.

解：
(1) 存在全等三角形，$△ ABP ≌ △ ACQ$。
对应边：$AB$与$AC$，$AP$与$AQ$，$BP$与$CQ$；
对应角：$∠ BAP$与$∠ CAQ$，$∠ ABP$与$∠ ACQ$，$∠ APB$与$∠ AQC$。
(2) $\because △ ABP ≌ △ ACQ$，
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$。
$\because ∠ BAC = ∠ BAP + ∠ PAC = 90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ PAC = ∠ PAQ = 90°$，
即$∠ PAQ = 90°$。

【分析】
(1) 首先根据旋转的性质：图形旋转前后形状、大小完全不变，可知旋转前后的两个三角形全等。找对应边和对应角时，旋转后重合的顶点是对应点，对应点所连的边是对应边，对应点所对的角是对应角，本题中点B旋转后与点C重合，点P旋转后与点Q重合，点A是旋转中心，据此即可确定所有对应边和对应角。
(2) 求∠PAQ的度数时，先利用全等三角形对应角相等得到∠BAP=∠CAQ，再结合已知∠BAC=90°，通过角的和差关系，将∠PAQ转化为已知的∠BAC即可求出结果。
【解析】
(1) 存在全等三角形，$△ ABP ≌ △ ACQ$。
对应边：$AB$与$AC$，$AP$与$AQ$，$BP$与$CQ$；
对应角：$∠ BAP$与$∠ CAQ$，$∠ ABP$与$∠ ACQ$，$∠ APB$与$∠ AQC$。
(2) $\because △ ABP ≌ △ ACQ$，
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$（全等三角形对应角相等）。
$\because ∠ BAC = ∠ BAP + ∠ PAC = 90°$，
$\therefore ∠ CAQ + ∠ PAC = ∠ PAQ = 90°$。
【答案】
(1) 存在，$△ ABP ≌ △ ACQ$；对应边：$AB$与$AC$、$AP$与$AQ$、$BP$与$CQ$；对应角：$∠ BAP$与$∠ CAQ$、$∠ ABP$与$∠ ACQ$、$∠ APB$与$∠ AQC$。
(2) $∠ PAQ=90°$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查旋转性质和全等三角形性质的结合应用，解题核心是准确识别旋转得到的全等三角形的对应元素，再通过角的等量代换完成求解，熟练掌握旋转前后图形全等的性质可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8

2*. 如图8，A，D，E三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$.
(1)求证：$BD=CE+DE$；
(2)当$∠ BAC$满足什么条件时，$BD// CE$？并说明理由.

(1) 证明：
∵ $△ BAD ≌ △ ACE$，
∴ $BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $A,D,E$三点在同一条直线上，
∴ $AE = AD + DE$，
将$AD=CE$代入得：$AE = CE + DE$，
∴ $BD = CE + DE$。
---
(2) 解：当$∠ BAC = 90°$时，$BD// CE$，理由如下：
∵ $△ BAD ≌ △ ACE$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA$，$∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAD = 90°$，
等量代换得：$∠ ACE + ∠ CAD = 90°$，
在$△ ACE$中，$∠ CEA = 180° - (∠ ACE + ∠ CAD) = 90°$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$，
∴ $∠ BDE = 180° - ∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BDE = ∠ CED = 90°$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$BD// CE$。

【分析】
(1) 要证明BD=CE+DE，首先利用全等三角形的性质得到对应边相等：BD=AE，AD=CE。再结合A、D、E三点共线，可知AE是AD与DE的和，将AD替换为CE，即可得到BD与CE、DE的数量关系。
(2) 要使BD//CE，根据平行线的判定，需要内错角相等。结合全等三角形对应角相等的性质，可推导当∠BAC=90°时，能得到∠BDE和∠CED均为90°，内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ BAD ≌ △ ACE$，
∴ $BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $A,D,E$三点在同一条直线上，
∴ $AE = AD + DE$，
将$AD=CE$代入得：$AE = CE + DE$，
∴ $BD = CE + DE$。
(2) 解：当$∠ BAC = 90°$时，$BD// CE$，理由如下：
∵ $△ BAD ≌ △ ACE$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA$，$∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAD = 90°$，
等量代换得：$∠ ACE + ∠ CAD = 90°$，
在$△ ACE$中，$∠ CEA = 180° - (∠ ACE + ∠ CAD) = 90°$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$，
∴ $∠ BDE = 180° - ∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BDE = ∠ CED = 90°$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$BD// CE$。
【答案】
(1) BD=CE+DE，得证；
(2) 当∠BAC=90°时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等应用的典型习题，需要结合线段和差关系、平行线判定定理进行推导，解题核心是灵活运用全等三角形对应边、对应角相等的性质进行等量代换，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图，下列条件能判定$△ ABO ≌ △ DCO$的是()

A.$AB=CD,AO=CO$
B.$AB=CD,BO=CO$
C.$AO=DO,AB=CD$
D.$AO=DO,BO=CO$

D

【分析】
要判定△ABO≌△DCO，首先挖掘图形隐含条件：AD与BC交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC。结合三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，SSA不能判定全等），逐一分析选项给出的边相等条件，判断是否符合判定定理即可选出正确答案。
【解析】
∵ AD与BC相交于点O，
∴ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
对各选项分析如下：
A选项：给出AB=CD，AO=CO，结合∠AOB=∠DOC，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等，故A错误；
B选项：给出AB=CD，BO=CO，结合∠AOB=∠DOC，属于SSA，不能判定三角形全等，故B错误；
C选项：给出AO=DO，AB=CD，结合∠AOB=∠DOC，属于SSA，不能判定三角形全等，故C错误；
D选项：给出AO=DO，BO=CO，此时∠AOB是AO和BO的夹角，∠DOC是DO和CO的夹角，满足两边及其夹角相等（SAS），可以判定△ABO≌△DCO，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；三角形全等的SAS判定
【点评】
本题考查三角形全等的判定，解题关键是先找到图形中隐含的对顶角相等的条件，同时要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定定理错选选项。
【难度系数】
0.8